絕對值函數(shù)多變量最值問題的解法研究

浙江省義烏市義亭中學(xué) 葉劍飛

在選擇填空的解題中，我們主張小題小做。而很多題型中，我們往往只停留于表面，用表面所呈現(xiàn)的函數(shù)題意，運用相應(yīng)的所學(xué)知識去解答。殊不知此時我們應(yīng)該應(yīng)用數(shù)學(xué)中的等價轉(zhuǎn)化思想，將題轉(zhuǎn)化到易于解答或免于參數(shù)討論的形式下去解題。而數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中的重要解題思想，函數(shù)本身就是數(shù)與形的結(jié)合體。一元二次函數(shù)是我們學(xué)生最熟悉不過的函數(shù)模型，也是高中階段研究函數(shù)問題的精髓所在，再加入若干參數(shù)的不等式模型，成為一類難題。可謂是最熟悉的陌生人。

那我們應(yīng)如何突破這類難題呢？首先來看一下以下題型的多種解題思路，那么同種類型的題解也是異曲同工的。

法一：基于函數(shù)思想，通過換元把函數(shù)等價轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)恒成立問題，通過討論圖像開口、對稱軸及函數(shù)平移使得絕對值內(nèi)最大最小值之差小于等于1，這是參數(shù)討論的基本功，這里不作贅述。

法二：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的間距問題，即把絕對值內(nèi)轉(zhuǎn)化成兩個初等函數(shù)的差，運用數(shù)形結(jié)合使得兩函數(shù)的最大間距不超過。

抓住三個關(guān)鍵點（0,0），（1,1），（4,0），可知當(dāng)且僅當(dāng)時，即a=-1,。兩函數(shù)差的絕對值剛好為，其他任何情況都不行。∴a+2b=-2。

法三：轉(zhuǎn)化為直線夾在兩曲線間問題，即運用絕對值不等式，把已知不等式等價轉(zhuǎn)化成一條含參數(shù)直線在固定的范圍內(nèi)夾于兩已知曲線之間。

我們會發(fā)現(xiàn)第三種方法的奇妙之處不僅不需要參數(shù)討論，而且給我們提供了解題的另一種思路，曲線夾于兩直線之間，直線夾于兩曲線之間。

變式一：已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c，若存在實數(shù)b,使得對任意x∈[1,2]，都有|f（x）|＜x成立。則實數(shù)c的取值范圍是_______。

法一：轉(zhuǎn)化為曲線夾于兩直線間問題。

當(dāng)c≤0時，函數(shù)在x∈[1,2]上單調(diào)遞增，

法二：轉(zhuǎn)化為直線夾于兩曲線間問題。

可看成直線y=bx+c夾在y=-x-x2與y=x-x2兩曲線之間，而c為截距。

因為當(dāng)y=bx+c過點（1,0）與曲線y=-x-x2相切時，

法一：轉(zhuǎn)化為函數(shù)間距問題。

∴當(dāng)a=0時，f（x）=0，|b|≤2，∴6a+bmax=2。

∴當(dāng)a＞0時，f（x）max-f（x）min=5a-4a≤4，即a≤ 4，

而此時5a-（-b）≤2且-b-4a≤2，∴6a+b≤6a-5a+2=a+2≤ 6。

∴當(dāng)a＜0時，f（x）max-f（x）min=4a-5a≤4，即a≥ -4，

此時4a-（-b）≤2且（-b）-5a≤2，

法二：轉(zhuǎn)化為直線夾于兩直線間問題。

解析：（轉(zhuǎn)化為函數(shù)間距問題）

解析：（轉(zhuǎn)化為函數(shù)間距問題）

解含絕對值的函數(shù)問題，困難往往在于函數(shù)含有絕對值。我們首先應(yīng)該清醒地認(rèn)識到去絕對值還是不去絕對值，并非什么時候都要盲目地去掉絕對值，有些問題保留絕對值正好能化難為易；而去絕對值也并非一定要討論，那么絕對值這個困難也并非都是“絆腳石”，如果把它看成是“墊腳石”，正好可以從絕對值出發(fā)，借用有關(guān)絕對值的知識巧妙突破；再者，含絕對值的函數(shù)的前提還是函數(shù)，又正好運用有關(guān)函數(shù)類問題的那些思想方法，使解題時“如虎添翼”。

其次，在中學(xué)數(shù)學(xué)里，我們不可能把“數(shù)”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數(shù)問題可以幾何化，幾何問題也可以代數(shù)化，“數(shù)”和“形 ”在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透. 可以通過變量問題的條件和結(jié)論，或通過適當(dāng)?shù)卮鷵Q轉(zhuǎn)化問題的形式.絕對值的幾何意義本身就是距離問題，不管是數(shù)軸的還是平面問題。學(xué)會將復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成兩初等函數(shù)差的問題，再利用數(shù)形結(jié)合的思想方法去解決含絕對值多變量函數(shù)的不等式問題還是非常具有發(fā)展空間的，拓展數(shù)學(xué)解題方向。