破解一道中考四邊形壓軸題

江蘇省啟東市建新中學 洪 巖

幾何推理、圖形的證明和計算一直是初中數學的重難點。發掘幾何圖形的結構特征，多方面找到圖形的數量關系，引導學生歸納基本幾何圖形組合結論，通過添加輔助線找到相似圖形，間接尋找邊與邊的關系，有助于開闊學生的思路。

一、試題呈現，展示解法生成

（2017 衢州） 在直角坐標系中，過原點O及點A(8,0),C(0,6)作矩形OABC,連接OB，D為OB的中點，點E是線段AB上的動點，連結DE，作DF⊥DE，交OA于點F,連接EF。已知點E從A點出發，以每秒1個單位長度的速度在線段AB上移動，設移動時間為t秒。

圖1

圖2

（1）如圖1，當t=3時，求DF的長。

（2）如圖2，當點E在線段AB上移動時，∠DEF的大小是否發生變化？如果變化，請說明理由；如果不變，請求出tan∠DEF的值。

（3）連接AD，當AD將△DEF分成的兩部分面積之比為1∶2時，求相應的t的值。

解：（1）∵四邊形OABC為矩形，∴AB=OC,∵C點為（0，6），∴AB=6,

∵E點從A點出發，每秒走一個單位，∴t=3時，AE=3。

∵AB=6，E為AB上一點 ∴點E為AB的中點?！唿cD為OB的中點，∴DE∥OA，DE=OA=4。

∵OA⊥AB，∴DE⊥AB ∵∠OAB=∠DEA=90°，又∵DF⊥DE, ∴∠EDF=90°。

∵四邊形DFAE為矩形， ∴DF=AE=3。

（2）∠DEF大小不變，如圖3，過D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M，N。

圖3

∵四邊形OABC為矩形，∴OA⊥AB，∴四邊形DMAN是矩形。

∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA,根據平行線分線段成比例定理得

∵點D為OB中點，∴M,N分別為OA,AB的中點?！逜點坐標為（8，0），∴OA=8，∴DN=OA=4，∵AB=6，∴DM=AB=3?！摺螮DF=90°，∠EDF=90°，∴∠NDE+∠EDM=90°，∠FDM+∠EDM=90°。

∴∠NDE=∠FDM，又∵△DMF和△DNE是直角三角形，

（3）過D作DM⊥OA,DN⊥AB,垂足分別是M，N。

連接AD交EF于點G，DG將△DEF分成的兩個三角形：△DEG和△DFG，設D點到EF的距離為h,則·h，

①∵AD將△DEF的面積分成1∶2的兩個部分，

當S△DEG∶S△DFG=2∶1時，。過點G1作G1H⊥AF，則△FHG1∽△FAE。

∵G1是直線AD上的一點，G1的縱坐標為HG1的長度，也就是

②∵AD將△DEF的面積分成1∶2的兩個部分，當S△DEG∶S△DFG=1∶2時，

過點G2作G2H⊥AF,則

∵G2是直線AD上的一點，G2的縱坐標為HG2的長度，也就是

綜上所述，當AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1∶2時，的值為

二、分析難點，提升思維能力

從解題過程，我們可以看到，這道題雖然是個四邊形的問題，但是這個四邊形與數軸相結合，就需要明白直線上所有點的橫坐標與縱坐標都滿足一個數量關系。在解題過程中，要求學生能根據已知條件找到結論中數據的數量關系，一步步地推理，每一步都要依據已知條件或者是相關定理得出，這有助于培養學生精確的數學邏輯思維能力。

三、教學感悟

四邊形問題的解析是一個不斷探索的過程，在解題的過程中會需要用到代數相關的數量關系，教師在教學過程中要擴大解題思路，要求不斷地探索新的解方法，要能靈活運用知識，并能在眾多數量關系中提取有用信息，這樣將有助于提升中學生的解題技巧和解題能力，從而提高課堂教學的有效性。