“一題一課”：有效落實“數學深度學習”的教學智慧
——以一道不等式題展開的高三二輪復習課為例

江蘇省常熟市外國語學校 劉 虹

一、復習中的困惑

對于高三數學復習教學，很多教師都頗感困惑，特別是到了二輪復習，不斷地“炒冷飯”，普遍的做法是依據高考內容中的重點、難點，進行同類試題的堆積，然后集中講解，以期能夠提升這類試題的得分率，但學生的參與率較低，學習興趣不濃，課堂效益不高，總之，教師教的痛苦，學生學的茫然。這樣的二輪復習還是在“穿新鞋走老路”，只是對已有知識的再回顧，不能達成學生對數學本質的深度理解，不能促進學生對知識系統的再建構和再完善。

二、“一題一課”的內涵

一輪復習后高中數學知識零散地儲存在學生的腦海里，這為我們建立知識間的豐富聯系、整合知識體系、提高學生深度學習能力提供了有利的條件。近年來我們在二輪復習中積極探索基于“數學深度學習”的“一題一課”的教學設計，取得了較好的效果?！耙活}一課”是指一節課的教學設計中，通過對一道典型例題的知識背景、信息轉化、切入角度、變式拓展、細節突破、思想方法等多方位的認識和分析，將問題研究得更透、更深入；幫助學生鞏固基礎知識、熟練基本方法、理解數學本質，構建豐富聯系的知識系統和完善的認知結構，提高學生分析問題和解決問題的能力，從而提高學生核心素養，促進學生深度學習。

三、案例實踐

在高考數學試題中，常常出現含參數的不等式問題，這類問題與函數，導數等知識綜合在一起，特別是含參的不等式恒成立和能成立問題，思辨性很強，往往讓人眼花繚亂，使解題者不知所措。為此筆者特意精心挑選了這樣一個題展開深入研究。

（1）求θ的值；

（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調函數，求m的取值范圍；

00g（x0）＞h（x0）成立，求m的取值范圍。

展示題目后，就讓學生思考第（1）小題。

很快學生1提出：從題目信息抓住函數g（x）在[1，+∞）上為增函數，轉化為不等式g'（x）≥0在[1，+∞）恒成立，即xsinθ≥1在[1，+∞）恒成立。

學生2提出構造函數，利用函數的最小值可以求解。便令s（x）=xsinθ,x∈[1，+∞），直接考慮單調遞增的一次函數s（x）=xsinθ在x∈[1，+∞）的最小值即可解決問題。∵θ∈（0，π），∴ sinθ＞0,∴ sinθ=1，而

教師：對于含參不等式恒成立問題，你有什么體會或總結？

學生4得到結論：若不等式f（x）＞A在區間D上恒成立，則f（x）min＞ A；若不等式f（x）＜A在區間D上恒成立，則f（x）max＜ A。

學生5指出：可以直接構造函數或通過變量分離再構造函數來進行解決，利用函數的最大、最小值或上、下限來決定參數的范圍。

這時學生的思維很活躍了，第（2）小題的研究就變得很順理成章。

學生6提出：這個小題也可以轉化為不等式恒成立問題。

教師：與第（1）小題有什么區別？

學生7提出：要分單調遞增和單調遞減兩類進行討論，再轉化為不等式的恒成立問題。

教師：直接構造函數還是變量分離？

學生通過觀察不等式的結構和變量范圍，得出變量分離更為簡單，于是很快有了結論：不等式在x∈[1，+∞）恒成立，或不等式在x∈[1，+∞）恒成立。令+∞）,可得，故m≥1或m≤0。

這時學生的思維更加活躍，開始討論研究第（3）小題。

教師：如何解讀“若在[1，e]上至少存在一個x0，使得

當x=1時，不存在這樣的m；

教師：問題解決了，你有什么收獲？

學生9：若在區間D上存在實數x使不等式f（x）＞A成立，即f（x）＞A在區間D上能成立，則f（x）min＞ A；若在區間D上存在實數x使不等式f（x）＜A成立，即f（x）＜A在區間D上能成立，則f（x）max＜ A。

學生10：求函數最值時可考慮用求導來研究函數的性質。

學生11：解題時要仔細觀察，從局部到整體分析函數式的結構，結合x的范圍研究導函數的正負。

學生12：不等式能成立問題依然可以采用變量分離來解決。

教師：非常好！我們類比不等式恒成立問題考慮直接構造函數來解決。

學生13：由于不等式左邊f（x）-g（x）與右邊h（x）都含變量x，兩邊的值都在變化，考慮采取移項把一邊變為0來處理，這樣可使問題變得相對簡潔，便于解決問題。即構造函數F（x）=f（x）-g（x）-h（x），那么就變為[1，e]上至少存在一個x0，使F（x0）＞0成立即可，故只需研究F（x）的最大值。令F（x）=f（x）-g（x）-h（x）

教師：這個函數的最大值怎么研究呢？

教師：導函數的正負決定原函數的單調性，請大家結合x的范圍觀察何時能夠確定導函數的值為正？

學生 14：∵ x∈ [1，e]，∴ 2e-2x≥ 0，mx2+m＞0,∴ F'（x）＞0。

教師：非常好！那我們就可以對m的正負討論來解決問題。那當m≤0怎么突破呢？

學生15：當m≤0時，有F（x）＜0，是不滿足題意的。

∴F（x）＜0恒成立 ∴在[1，e]上不存在x0，使得F（x0）-g（x0）＞h（x0）成立。

∵x∈[1，e]，∴2e-2x≥0，mx2+m＞0 ∴F（x）＞0在 x∈[1，e]恒成立，

教師：剛才我們研究了不等式的恒成立與不等式能成立問題，邏輯上看，全稱命題的否定就是一個存在性命題，而存在性命題的否定就是一個全稱命題。而不等式的恒成立問題就是一個全稱命題，不等式的能成立問題也就是一個存在性命題，從邏輯上看它們是可以相互轉化的，那從集合論看，他們有什么關系呢？

學生16：從集合論來看，它們就是互為補集的關系。

教師：基礎真扎實！那我們用這個思路繼續來研究第三小題。

方案3：假設對任意x∈[1，e]，都有f（x）-g（x）≤h（x）成立，

當x=1時，m為任意實數，

（研究函數M（x）的單調性與方案1同）∴M（x）min=M（e）

綜上可得：若在[1，e]上至少存在一個x0，使得f（x0）-g（x0）＞h（x0）成立，則

四、教學思考

一節好的數學課，猶如一段美妙的旋律，給人以美好的體驗，這節課所產生的效果是令人欣慰的。

1.“一題一課”是以教師的“深度設計”為前提，是用教師的教學智慧來點燃學生學習的火把。“一題一課”的“題”需要教師去篩選、研究和把握，要深刻理解這道題的問題背景、考查的知識點和基本數學方法、考查的思維能力和數學素養，要深入思考如何將這道題加以利用和設計、如何通過這道題打開思維的窗口。而且在課堂教學中，如何適時引領學生探索和反思，并提煉、歸納和總結等等，對教師平時的思考和積累、課前的精心預設和準備、課上的激勵評價和教學機智等都提出了更高的要求。

2.“一題一課”一定是學生“深度參與”的過程，是在教師的“貼地而行”中實現學生的“翩翩起舞”。“一題一課”的設計基礎是“學生”，若離開對學生知識現狀、數學基礎、特定知識的生長點與潛在困難的準確把握，再完善、再漂亮的設計也達不到理想的效果。“一題一課”的課堂要充分發揮學生主體作用，一定要讓學生體會和經歷知識的發生、發展的過程，有充分的思考，去體驗數學的本質，學會理性思維，從而獲得感受、體驗和領悟。

3.“一題一課”是促進學生“深度學習能力”提升的途徑和方法，讓學生學會深度思考，學會感悟，從而提高學生的核心素養?！耙活}一課”的研究能引導學生認真觀察題目中的信息和結構特征，從不同的角度，不同的方向，加以分析探討；“一題一課”讓學生通過解題分析，重視知識的聯系及相互轉化，深入領悟數學本質；“一題一課”讓學生學習遇到障礙善于觀察分析，敢于猜想實踐，從而培養學生積極思考、勇于探究的學習習慣。所以“一題一課”更重視學生深度學習能力的提升、核心素養的培養，讓學生獲得更長久的發展和成長，使學生終身受益。

“一題一課”遵循學生的認知規律，“借題發揮”，引導學生去探索數學問題的規律和方法，引領學生自主探究和獨立思考；使學生的認知不斷完善，思維層次不斷遞進，分析問題和解決問題的能力不斷提升，達到了“做一題，通一類，會一片”的教學效果，可以說，“一題一課”的教學智慧讓課堂有效落實了“數學深度學習”。