高考利用函數(shù)圖像解題的策略

重慶外國語學(xué)校 劉永榮

函數(shù)是高考中考查的最重要部分，其中函數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想是函數(shù)的核心思想之一，數(shù)形結(jié)合思想的考查是高考中必不可少的內(nèi)容。今天就來簡單探討一下高考中數(shù)形結(jié)合思想常見的考查方式之一的作出函數(shù)圖像來解決相關(guān)問題的解題總結(jié)和策略。通過直接作出函數(shù)圖像來解決函數(shù)的相關(guān)問題的類型我們可以大致分為三大類型：

第一類型是利用基本初等函數(shù)圖像為基礎(chǔ)，通過函數(shù)的圖像變換作出所需要的圖像來解決問題。我們首先來看：

解題分析：本題討論函數(shù)的零點，實際就是考察函數(shù)圖像與x軸的交點個數(shù)問題，即可轉(zhuǎn)化為方程的實數(shù)根問題；進(jìn)一步變形為的實數(shù)根問題，于是用轉(zhuǎn)化思想還原為函數(shù)與常值函數(shù)y=2的圖像交點問題，所以我們只需要作出函數(shù)的圖像即可。要作出函數(shù)的圖像，可以從基本初等函數(shù)出發(fā)，通過向右平移1個單位得到，再利用部分對稱法，保留圖像x軸上方部分，將x軸下方部分圖像關(guān)于x軸的對稱部分作出，即得到函數(shù)，最后觀察與直線y=2的交點個數(shù)即可。作出函數(shù)與y=2的圖像如下：

A.2 B.4 C.6 D.8

利用數(shù)形結(jié)合的思想，由圖易得：兩個函數(shù)圖像有八個交點，兩兩關(guān)于點（1，0）對稱，所以所有的交點的橫坐標(biāo)之和為8。

總結(jié)：通過以上兩個例子不難看出，高考中的第一類型作圖問題就是以基本初等函數(shù)圖像為基礎(chǔ)，通過圖像變換的方式來實現(xiàn)所需函數(shù)的圖像，最終用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題。

第二類型是利用函數(shù)部分解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性來完成對函數(shù)的作圖。我們來看范例：

解題分析：經(jīng)過仔細(xì)讀題，很容易發(fā)現(xiàn)本題就是要求我們作出函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=log5x的圖像，觀察交點的個數(shù)。其中函數(shù)y=log5x是指數(shù)函數(shù)，圖像我們?nèi)菀鬃鞒觥ｊP(guān)鍵是函數(shù)y=f（x）只告訴了部分解析式，我們可以先作出范圍的圖像；要作出函數(shù)的全部圖像，就必須結(jié)合題目給出的相關(guān)性質(zhì)來作圖。首先可以由題目給出的奇偶性將函數(shù)的對稱范圍的圖像作出，得到的長度為2的圖像；最后由條件可知函數(shù)的周期為2，故可以將前面剛好一周期的圖像通過函數(shù)周期性作出全部圖像，觀察圖像得到最終結(jié)論。

第三類型是復(fù)雜函數(shù)的圖形，這類函數(shù)無法通過基本初等函數(shù)的圖像利用圖像變換和函數(shù)性質(zhì)完成，此時可以考慮利用導(dǎo)數(shù)的思想去分析函數(shù)的圖像性質(zhì)，完成大致圖像的作圖。我們來看一個范例：

由圖可知水平直線要與圖像有兩個交點，必須滿足直線在y=0和y=1之間，所以0＜2a＜1，故

通過對于以上三大類型的高考作圖解題的認(rèn)知和分析，我們不難看出高考對于函數(shù)圖像考查的基本方向，我們在高考中只要遇到涉及零點，實根的有無和個數(shù)問題，均可以考慮用數(shù)形結(jié)合的思想作出圖像來解決，進(jìn)一步可以參考以上三種類型的解決策略有效地完成相關(guān)高考函數(shù)問題。