歸類解題是培養學生核心素養的門徑
——例談一元二次方程解答初中數學應用題

江蘇省啟東市長江中學 沙春杰

不管是二次函數應用題、統計應用題和幾何類應用題，還是方程應用題、一次函數應用題和不等式應用題，在南通市最近幾年中考試題中，涉及行程、增長率、商品打折、儲蓄和環境污染等背景的應用題占據一定比例。作為一名初中數學教師在引導學生進行一元二次方程的應用時，只有讓他們學會在歸類的基礎上逐步構建知識模型，才能培養學生的數學核心素養。

一、傳染問題

【例題1】某幼兒園有一個孩子患了流感經過兩輪傳染后共有121人患了流感，問每輪傳染中平均一個孩子傳染了幾個人？

【解題分析】流感性傳染病學生不會陌生，教師在引導學生解答此類應用題時可以如此思考：若一個孩子患了流感，每輪可以傳染給x人，則一輪結束后應該有（x+1）人患上流感；當第二輪結束后，又有x（x+1）人被感染，因此，共有[x+1+x（x+1）]人傳染流感，即（x+1）2人得病；第三輪有（x+1）3人得流感……所以，有了傳染病問題的一般模式（x+1）n，n就是傳染的輪數。本例提供的條件得知經過了兩輪傳染，因此，學生可以根據題意列方程（x+1）2=121。

【拓展延伸】樹枝問題與傳染問題有異曲同工之妙，兩者均由一開始，經過變化逐漸變多，其區別在于樹枝的主干不會二次生長，但傳染病患者可以不斷地傳染給別人，因此，教師在引導學生解答此類問題時要特別引起注意。

【例題2】月季花的主干生長了若干數目的枝干，每個枝干又長出同樣數目的小分支，主干、枝干以及小分支的總數是91，試問每個枝干長出多少小分支？

【解題分析】若設每個枝干生長出x個小分支，則主干為1，枝干是x，小分支就是x2，小小分支是x3……因此，主干、枝干和小分支的總數是（1+x+x2），根據題意列方程得1+x+x2=91。可見，樹枝問題與傳染問題極為相似，學生通過以上兩種題型的解答，能夠達到觸類旁通的效果。

【例題3】在人口密集的活動場所，信息傳遞的速度比較快，杏花居委會3人同時得到一條好消息，經過兩輪傳遞后使共有864人的居民小區知曉率達50%，試問每輪信息傳播中，平均每人傳遞了幾人？

【解題分析】教師在引導學生了解傳播問題與傳染病問題的相似性原理后，可以利用傳染問題的思路解決這一傳播問題：原有三人知道好消息，第一輪結束，總共有（3+3x）人知道；第二輪結束后，共有[3+3x+（3+3x）x]人，即3(1+x)2人，因此，本題可以列出方程：3(1+x)2=864×50%。同時，還可以讓學生引申為a(1+x)n的一般模型，其a是開始知曉的人數，n是傳播的輪數。當a等于1時，就是例題1中的傳染問題，即：當患流感的有a人時，就和本題的題型完全一致了。可見，傳播問題和傳染問題本質是一樣的，當學生掌握這一本質后，問題就迎刃而解了。

二、增長率問題

【例題4】北海市人民政府為了解決廣大民眾看病難的問題，要求藥監部門督促各醫院較大幅度下調藥品的價格。其中，進口類曲新霉素兩次降價后，由每盒250元降至160元，則曲新霉素平均每次降價的百分率是多少？

【解題分析】一般而言，涉及兩次增長率的問題可以用一元二次方程來解決，教師在引導學生解題時，可以讓他們把第二次當作在第一次基礎上的增長，先設平均每次降價的百分率為x，則可以列出方程250(1-x)2=160，在此基礎上輕松解答問題。

【例題5】東風養殖基地去年種植了10畝地西瓜，畝產量為2000千克，現順應市場供求趨勢，今年這個基地不僅擴大了種植面積，而且全部種植了高產的84西瓜新品種，已知西瓜種植面積的增長利率是畝產量增長率的兩倍，今年西瓜總產量為60000千克，試問西瓜畝產量的增長率是多少？

【解題分析】教師在引導學生解答此題時，可以按照增長后的產量=增長前的產量（1+增長率），先設西瓜畝產量的增長率為x,則種植面積的增長率為2x,然后列出方程求解，根據題意列出算式：10（1+2x)×2000(1+x)=60000,解得：x1=0.5,x2=-2(不符合題意，舍去），最后得出西瓜畝產量的增長率為50%的結論。

三、利潤問題

【例題6】鳳凰超市銷售一批羊毛衫，平均每一天能夠賣出20件，每一件獲取利潤40元，為了減少庫存、擴大銷售、增加利潤，商場總經理決定嘗試適度降價方案，后經研究發現，每一件羊毛衫每降價3元，超市每天可多銷售5件。假如超市每天獲得925元利潤，請你為超市籌劃一下，每件羊毛衫應降價多少元？

【解題分析】原來每銷售一件羊毛衫盈利40元，每天可以銷售20件，則超市每一天獲利20×40元。為了減少庫存、擴大銷售、增加利潤，超市決定實行降價方案，后經研究、分析，知曉每一件羊毛衫每降價3元，超市每天可以多售出5件。假如每一件羊毛衫降x元，那么每件羊毛衫的利潤是（40-x） 元，超市可以每天多銷售件。而每天的盈利=銷售量×每件利潤，即：，解得：x1=3，x2=25。最后根據“為了減少庫存、擴大銷售、增加利潤”這一已知描述，此題應該取較大的值x2=25，即每件羊毛衫應降價25元。

四、大小長方形問題

【例題7】如下圖所示，有一塊長100厘米、寬50厘米的長方形鐵皮，先把四角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒，若制作的無蓋方盒的底面積為3600平方厘米，那么鐵皮各角應切取多大的正方形？

【解題分析】此題最大的長方形的長100厘米，寬50厘米。如果設剪去的小正方形的邊長為x厘米，則里面黃色小長方形的長為（100-2x)厘米，寬為（50-2x）厘米，“若制作的無蓋方盒的底面積為3600平方厘米”，底面為黃色長方形部分，由此根據題意可列方程（100-2x)（50-2x）=3600，最后讓學生解方程后根據實際情況決定本題結果。

教無定法，貴在有效，但愿大家八仙過海，各顯神通，積極引導學生通過歸類總結出相應的解題思路，才能不斷提高數學核心素養。