高三文科求解幾何體體積復習策略

云大附中星耀校區 劉云英

三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力及運算能力是高中立體幾何學習的基本要求。教材從對簡單幾何體的認識出發，研究空間中點、線、面的位置關系，并對幾何體的相關量進行計算。針對教材的設計意圖和教學目標，文科數學高考命題中空間平行垂直的性質及判斷，幾何體體積的計算成了必考的內容。因而，高三復習階段，空間平行、垂直關系的快速證明，幾何體體積及距離的準確計算便成了復習時必須達成的教學目標。

文科學生的空間能力較弱，往往憑直覺去解決問題，求值耗時長，得分低。因而，帶領學生構建系統的求值思路，快速找到求值路子，是高三復習的教學重點及難點。在此，我們將系統分析幾何體求體積或距離的問題。

一、難點

求空間幾何體的體積，常用方法有：割補法、直接法、等體積法。割補法對空間想象力差的文科生來說，對一個幾何體進行割補并不是他們的強項；直接法，高考命題中極少出現能直接找到所給底面高的情況，問題的設置難點在找幾何體的高，往往需要“曲線救國”，通過轉換幾何體的頂點及底面利用等體積法來完成。在此我們探討用等體積法求解空間幾何體體積的常規思路。

二、思路及方法

1.底面的確定方法：既然待求幾何體頂點到底面的垂線段難找，那“曲線救國”必須選取幾何體中容易找垂線的面作底。確定底時注意關注以下兩點：（1）關注已知或已證的平面，利用已知條件中或已證過垂直關系的平面作底，幾何體的高就是面的垂線，或選取有平行關系的面作底；（2）關注幾何體中站位較有利的平面，比如平放或豎直放置的面作底，這樣的平面更容易找到垂線。

2.在確定所需底面時，會涉及點的靈活轉換，以便構建理想的底面。具體點的轉換主要有兩個依據：

（1）平面的平行線上所有點到平面的距離相等。

（2）中點轉化：

三、例題分析

【分析】（1）略

【分析】（1）略

總之，求幾何體的體積時，若能關注到題設或推證過程中涉及的平面及幾何體中位置較特殊的平面，把它們選作底面將可用等體積法快速解決求體積問題。當然，用等體積法的前提是求三棱錐的體積，若所求問題是多于四個面的幾何體，則需在多面體中選取較有優勢的四個不共面點構成三棱錐解決問題。