正弦定理的證法探討

摘要：三角形是最簡單的平面圖形，我們從小學就開始研究它。至此，似乎我們可以驕傲地認為：我們已經深刻地認識了這個小小的圖形。這種自大是很危險的！在這個簡單的圖形中還埋藏著無盡的寶藏，等待著我們前去發掘。讓我們一起踏上驚險、刺激的尋寶之旅。

關鍵詞：幾何法;向量法;坐標系法;外接圓法

探討一（幾何法）：

1. 在Rt△ABC中，如圖1，C為直角，A、B、C的對邊分別為a，b，c。由銳角三角函數的定義，有sinA=ac，sinB=bc，因為兩式中的c是相同的，

于是發現asinA=bsinB=c。因為C=90°，所以sinC=1。

上式可拓展為asinA=bsinB=csinC。

這就是我們要尋找的寶藏嗎？它僅僅屬于直角三角形，還是所有的三角形都有這一特點？可見探險之旅剛剛開始。

2. 在銳角△ABC中，

我們可以添加三角形的高，化歸為直角三角形。如圖2，CD是AB邊上的高。在Rt△BCD中，CDa=sinB，有CD=asinB，在Rt△ACD中，有CD=bsinA，于是asinB=bsinA，

寫成比例式asinA=bsinB。同理，添加BC邊上的高，可得bsinB=csinC。

所以銳角三角形中，總有asinA=bsinB=csinC。

探討二（向量法）：

△ABC是銳角三角形，如圖3，過A作AD⊥AC，得到向量AD。

由于AB=AC+CB，

于是AD·AB=AD·（AC+CB）=AD·AC+AD·CB，

因此|AD|·|AB|cos（90°-A）=|AD|·|AC|cos90°+|AD|·|BC|cos（90°-C），

所以有csinA=asinC，得asinA=csinC。

同理，可得asinA=bsinB，于是有asinA=bsinB=csinC。

探討三（坐標法）：

建立直角坐標系，借助三角函數定義進行證明。在如圖4所示的直角坐標系中，點B，C的坐標分別為B（ccosA，csinA），C（b，0）。

于是S△ABC=12bcsinA。

同理，S△ABC=12absinC=12acsinB，

從而可證明asinA=bsinB=csinC。

探討四（外接圓法）：

通過△ABC的外接圓，將問題轉化為直角三角形進行證明。

1. 若△ABC是銳角三角形，如圖5甲，作直徑BD與弦CD，則∠BCD=90°，可得a=2RsinD=2RsinA，于是asinA=2R，

同理有bsinB=2R，csinC=2R，

可得結論：asinA=bsinB=csinC=2R。

2. 若△ABC是鈍角三角形，如圖5乙，作直徑BD與弦CD，則∠BCD=90°，同樣可得：a=2RsinD=2Rsin（180°-A）=2RsinA，

同理有b=2RsinB，c=2RsinC，

于是asinA=bsinB=csinC=2R。（R為△ABC外接圓半徑）

證明正弦定理時，無論使用何種方法，當三角形是直角三角形時，其關系都是顯而易見的，只需找到銳角三角形和鈍角三角形時的證明辦法即可。

“近測高塔遠看山，量天度海只等閑。古有九章勾股法，今看三角正余弦。”

作者簡介：

李哲林，浙江省寧波市，浙江省寧波市五鄉中學。