大地測(cè)量病態(tài)線性問題解算的奇異值修正

馮壯壯，徐 工

(山東理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，山東 淄博 255049)

病態(tài)問題廣泛存在于大地測(cè)量控制網(wǎng)平差、航空重力向下延拓和GPS快速定位等領(lǐng)域中，線性方程組設(shè)計(jì)矩陣具有嚴(yán)重的復(fù)共線性，數(shù)據(jù)微小的變化對(duì)導(dǎo)數(shù)參數(shù)估計(jì)結(jié)果產(chǎn)生較大的影響[1]。雖然線性最小二乘具有線性無偏性和方差最小性，但由于小奇異值影響方差被嚴(yán)重放大，得不到所期望的結(jié)果。目前處理線性最小二乘病態(tài)問題的算法多以正則化理論為基礎(chǔ)，通過修正設(shè)計(jì)矩陣病態(tài)性或者避免矩陣求逆來提高參數(shù)估計(jì)的解[2-3]。較常用的線性正則化算法有截?cái)嗥娈愔捣椒?TSVD)、Tikhonov算法和兩參數(shù)LIU估計(jì)等[4-5]。正則化算法是通過引入偏差量來降低方差，從而提高參數(shù)解的精度和穩(wěn)定性[6]。

TSVD實(shí)質(zhì)為分割法，該方法將小奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異分量刪除，保留大奇異值及其對(duì)應(yīng)的主成分信息，雖然能夠提高解的穩(wěn)定性和精度，但降低了解的分辨率[7]。標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov方法對(duì)線性方程組設(shè)計(jì)矩陣無差異修正，引入了偏差量，降低了參數(shù)估計(jì)的可靠性[8]。此外，截?cái)鄥?shù)和正則化參數(shù)的確定問題是制約線性正則化算法求解精度和穩(wěn)定性的主要因素，常用的正則化算法有L曲線、方差最小法、和GCV廣義交叉法[9-11]。但由于問題復(fù)雜性，各種算法都有其實(shí)用性和局限性，即使最為經(jīng)典的L曲線法，針對(duì)某些問題也會(huì)出現(xiàn)無法收斂的問題，為此開展新的正則化參數(shù)確定方法顯得尤為重要，比如最近基于L曲線法發(fā)展起來的U曲線法，克服了L曲線法的不足，能夠更為準(zhǔn)確的定位正則化參數(shù)[12-13]。

本文針對(duì)TSVD方法和標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov方法存在的不足，基于兩種算法處理病態(tài)問題的思想，根據(jù)奇異值分布空間差異性，提出了一種混合正則化方法。該方法主要是將奇異值進(jìn)行分割，保留大奇異值及其主成分信息，采用正則化參數(shù)來修正小奇異值及其奇異分量，以提高解的精度和參數(shù)估計(jì)的可靠性，最后采用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 混合正則化方法

1.1 Tikhonov方法

設(shè)觀測(cè)向量為L(zhǎng)=[L1,L2,…,Ln]T，改正向量為V=[V1,V2,…,Vn]T，則誤差方程為

V=Ax-L

(1)

式中，A為系數(shù)矩陣，x為待求參數(shù)向量。線性最小二乘目標(biāo)函數(shù)為

φ(x)=VTV

(2)

根據(jù)最小二乘定理，按照拉格朗日求極值的思想，可解得線性最小二乘估計(jì)解為

xLS=(ATA)-1ATL

(3)

參數(shù)估值的協(xié)方差陣為

(4)

(5)

式中，λ1>λ2>…>λm為設(shè)計(jì)矩陣的奇異值。最小二乘估計(jì)解在線性估計(jì)類具有方差最小性。然而方程組設(shè)計(jì)矩陣呈病態(tài)時(shí)，較小的奇異值能夠過度放大參數(shù)估值的方差，導(dǎo)致最小二乘求解性質(zhì)變壞。為準(zhǔn)確獲取參數(shù)估計(jì)的最優(yōu)解，改善系數(shù)矩陣秩虧或病態(tài)對(duì)參數(shù)估值的影響，可引入穩(wěn)定泛函極小準(zhǔn)則，將最小二乘優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為

φ(xtik)=VTV+αxTRx

(6)

式中，α為正則化參數(shù)，用來平衡解的不穩(wěn)定性和光滑性；R為正則化矩陣，主要是平滑參數(shù)分量和殘差分量。根據(jù)拉格朗日求極值的思想，基于穩(wěn)定泛函極小準(zhǔn)則可得Tikhonov正則化解為

xtik=(ATA+αR)-1ATL

(7)

Tikhonov正則化是一類通過修正病態(tài)矩陣而降低均方誤差的有偏估計(jì)理論。嶺估計(jì)是正則化矩陣為單位陣的Tikhonov正則化的特例，稱為標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化，其估計(jì)解為

xtik=(ATA+αI)-1ATL

(8)

嶺估計(jì)在修正病態(tài)矩陣的同時(shí)，不可避免的引入了偏差量。嶺估計(jì)參數(shù)估值的協(xié)方差陣為

(9)

則參數(shù)估值協(xié)方差陣的跡為

(10)

嶺估計(jì)的偏差計(jì)算公式為

bias(xα)=E(xα)-x=

(ATA+αI)-1ATEL-x=

((ATA+αI)-1ATA-I)x=

-α(ATA+αI)-1x

(11)

綜上分析，嶺估計(jì)無差別修正雖能夠良好的修正小奇異值的奇異分量，但不可避免的給大奇異值的主成分信息摻入了虛假信息，以致于標(biāo)準(zhǔn)Tikhonov正則化算法有效降低LS估計(jì)的均方誤差的同時(shí)不可避免的引入了偏差。為此，正則化矩陣的合理構(gòu)造是提高Tikhonov正則化估計(jì)解的可信度的重要手段之一。

(12)

式中，k為截?cái)鄥?shù)且1≤k≤m，該值主要是根據(jù)奇異值和正則化參數(shù)值的相對(duì)關(guān)系進(jìn)行確定，該方法能夠?qū)⑿∑娈惡痛笃娈愔颠M(jìn)行分割處理，這樣既能夠保留大奇異值及其對(duì)應(yīng)的主成分信息，也能夠采用Tikhonov正則化方法對(duì)小奇異值及其對(duì)應(yīng)的奇異信息進(jìn)行修正。

(13)

式(13)稱為混合正則化方法，該方法能夠保證解的分辨率，又能降低偏差量的引入，相比于嶺估計(jì)和截?cái)嗥娈愔捣煽啃愿摺?/p>

1.2 正則化參數(shù)的確定

正則化估計(jì)的作用效果主要取決于正則化參數(shù)的選擇。獲取正則化參數(shù)較常用的方法，主要有GCV交叉檢驗(yàn)法、L曲線法和U曲線法，本文將采用U曲線法確定正則化參數(shù)。U曲線法基于SVD分解理論，由正則化參數(shù)α>0的殘差范數(shù)的倒數(shù)平方和信號(hào)范數(shù)的倒數(shù)平方之和定義U(α)。以U(α)為縱軸，α為橫軸所表示的曲線形狀U曲線，故稱為U曲線法，定義為

(14)

(15)

式中，U(α)′、U(α)″分別是U(α)的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，并且

(16)

2 實(shí)驗(yàn)

采用文獻(xiàn)[14]模擬空間測(cè)邊網(wǎng)的案例。設(shè)P1,P2,...,P9為9個(gè)已知點(diǎn)，且已知點(diǎn)到待測(cè)點(diǎn)P10,P11(模擬值分別為(0,0,0) 和(7,10,-5)的觀測(cè)距離即表1所示，兩個(gè)待測(cè)點(diǎn)的觀測(cè)距離為13.107 85，觀測(cè)圖形如圖1所示，要求根據(jù)19個(gè)觀測(cè)距離確定待測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)。距離為等精度觀測(cè)，中誤差為±0.001 m。假定坐標(biāo)近似值為(0.01,-0.01,0.02)和(7.01,9.99,-5.01)。經(jīng)計(jì)算設(shè)計(jì)矩陣條件數(shù)為cond(N(x))=4.601 5×103，表明方程組具有嚴(yán)重的病態(tài)性。

表1 測(cè)邊網(wǎng)控制點(diǎn)坐標(biāo)和已知觀測(cè)距離

Tab.1 Control point coordinates of trilateration network and known observation distance

點(diǎn)號(hào)坐標(biāo)觀測(cè)距離XYZdi,10di,11P123.00010.000 0.01025.078 616.765 17P2- 10.000 9.9900.00014.134 517.719 65P335.00010.010- 0.01036.415 928.442 94P4100.00019.9900.005101.479 493.168 39P5- 36.00010.005- 0.00037.364 243.299 05P60.00010.010- 0.00510.010 08.600 60P756.000 9.9950.01056.996 149.256 18P8- 15.00010.015- 0.01018.035 922.559 66P9-1.700 010.0080.01510.150 610.043 82

圖1 測(cè)邊網(wǎng)平面觀測(cè)圖形Fig.1 Plane observation graph of trilateration network

圖2給出了U曲線確定正則化參數(shù)的變化曲線圖，由圖可知，U曲線確定正則化參數(shù)相對(duì)于L曲線法不同之點(diǎn)，是U曲線存在兩個(gè)極值點(diǎn)，通過兩個(gè)極值點(diǎn)去逼近最佳正則化參數(shù)，能夠克服L曲線法無法收斂的情況。經(jīng)確定，該案例最佳正則化參數(shù)為0.4130。分別采用LS估計(jì)、TSVD、嶺估計(jì)和混合正則化進(jìn)行解算，對(duì)比其偏差量bias和均方誤差RMSE，結(jié)果詳見表2。

圖2 U曲線確定正則化參數(shù)的變化曲線圖Fig.2 The curve diagram of U curve determining regularization parameter

表2給出不同方法的對(duì)比結(jié)構(gòu)。由表能夠看出，LS估計(jì)由于線性方程組病態(tài)的影響，其估計(jì)解以偏離真實(shí)解。嶺估計(jì)和截?cái)嗥娈愔捣椒ň岣吡司€性估計(jì)解的精度，但嶺估計(jì)作用于小奇異值及其奇異值分量時(shí)，也會(huì)給大奇異值及其主成分信息摻雜虛假信息，降低了解的可靠性。截?cái)嗥娈愔捣椒ń档土私獾姆直媛?。本文提出的方法，所?jì)算的結(jié)果優(yōu)于嶺估計(jì)和截?cái)嗥娈愔捣?，相比于兩種方法可靠性更好。這是因?yàn)樘岢龅姆椒軌蚪档土似畹臄z入量，減少對(duì)解分辨率的影響。

表2 不同方法的解空間對(duì)比表

Tab.2 Solution space comparison table for different methods

參數(shù)真值LS估計(jì)/m嶺估計(jì)/mTSVD/m新方法/mX1 0-0.036 8-0.032 8-0.064 8-0.044 6Y100.051 80.008 0-0.017 10.029 5Z109.363 10.295 40.143 20.088 2X277.048 86.980 36.977 76.973 2Y2105.596 39.882 19.687 810.038 1Z2-5-4.648 2-4.914 9-4.960 4-4.871 7Bias010.353 30.331 60.352 90.171 1RMSE04.226 70.135 40.144 10.069 8

3 結(jié)束語

線性方程組求解過程中，若設(shè)計(jì)矩陣具有病態(tài)性，即使最小二乘具有線性無偏性和線性無偏估計(jì)類的方差最小性，但也會(huì)由于奇異值及其奇異分量的影響，方差被過度放大，最小二乘性質(zhì)變壞。截?cái)嗥娈愔捣椒m能夠提高線性估計(jì)解的精度，但會(huì)降低解的分辨率，嶺估計(jì)無差異修正方式，會(huì)給大奇異值及其主成分信息摻雜虛假信息，參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生偏差，降低解的可靠性。本文提出的方法，能夠分割處理大奇異值和小奇異值對(duì)應(yīng)的成分信息，降低偏差量的攝入，提高了參數(shù)估計(jì)的可靠性和精度，最后實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的解算精度明顯優(yōu)于嶺估計(jì)和TSVD方法。