基于有限元/邊界元的雙層周期加筋板聲輻射分析

周海安，修孝廷，孟建兵

(1.山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，山東 淄博 255049;2.徐州徐工礦山機(jī)械有限公司，江蘇 徐州 221000;

聲振問(wèn)題包含結(jié)構(gòu)振動(dòng)的相互作用和聲結(jié)構(gòu)的耦合效應(yīng)，其在工程應(yīng)用中具有重要的意義。雙層周期加筋板在現(xiàn)代建筑、汽車(chē)、船舶和航空航天等行業(yè)應(yīng)用越來(lái)越廣泛。對(duì)加筋板的振動(dòng)聲輻射研究，早期主要是以單層無(wú)限大具有相同加強(qiáng)筋的薄板為研究對(duì)象。Laulagnet[1]研究了簡(jiǎn)支無(wú)限平板的聲輻射問(wèn)題，在一系列簡(jiǎn)支平板模型中發(fā)展出了聲壓跳動(dòng)量和平板位移量。Berry等[2]采用瑞利—李茲法(Rayleigh-Ritz method)研究了無(wú)限障板中流體加載下單層加筋板的振動(dòng)和聲輻射。近年來(lái)，金葉青等[3]采用傅立葉變換技術(shù)，在波數(shù)域?qū)辛ψ饔孟碌膯螌訜o(wú)限大加強(qiáng)筋板進(jìn)行了輻射聲壓的數(shù)值求解。金葉青，姚熊亮等[4]還對(duì)均勻流中剪切變形的加筋層合板的振動(dòng)及聲學(xué)特性通過(guò)數(shù)值截?cái)嗟姆椒ㄟM(jìn)行了分析，并驗(yàn)證了其數(shù)學(xué)模型的正確性。周海安等[5]則通過(guò)一種高效的半解析方法對(duì)簡(jiǎn)諧面力作用下的雙周期正交加筋板的振動(dòng)及聲輻射性質(zhì)進(jìn)行了理論預(yù)測(cè)與分析，并考慮了加強(qiáng)筋的扭轉(zhuǎn)作用對(duì)結(jié)構(gòu)的影響。基于空間諧波法及虛功原理，陳海龍等[6]分析了單向周期加筋板的隔聲性能,而龐福振等[7]則繼續(xù)分析了無(wú)限大正交周期加筋層合板的隔聲性能。尹劍飛等[8]則基于統(tǒng)計(jì)能量法和聲波傳播的相關(guān)理論研究了單向周期加筋板中彎曲波的傳播特性。Takahashi[9]研究了在諧點(diǎn)力作用下周期性連接無(wú)限雙層結(jié)構(gòu)的聲輻射問(wèn)題，并計(jì)算出了兩個(gè)不同結(jié)構(gòu)的聲輻射功率。Ma等[10]運(yùn)用解析方法研究了雙層周期加筋板結(jié)構(gòu)聲傳輸?shù)闹鲃?dòng)控制機(jī)理，并對(duì)聲傳輸機(jī)理給出了物理解釋。本文主要用有限元和邊界元相結(jié)合的方法研究雙層周期加筋板結(jié)構(gòu)的聲輻射特性，計(jì)算在諧力作用下結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)的輻射聲場(chǎng)，為揭示雙層周期加筋板結(jié)構(gòu)聲學(xué)特性提供一種數(shù)值方法。

1 結(jié)構(gòu)有限元方程

有限元的基本方程可以用微分方程法和變分法推導(dǎo)得到，以下采用變分法中的Hamilton原理推導(dǎo)有限元基本方程[11]

(1)

式中：M為結(jié)構(gòu)總質(zhì)量矩陣；C為總阻尼矩陣；K為總剛度矩陣；Q為總體力系數(shù)矩陣；H為總面外力系數(shù)矩陣。當(dāng)外力項(xiàng)F、p、Fc均為零時(shí)，則式(1)變?yōu)榍蠼饨Y(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)方程

(2)

對(duì)于時(shí)間因子為ejωt的情況，式(2)變?yōu)?/p>

K+jωC-ω2Mu=0

(3)

即有

K+jωC-ω2M=0

(4)

式(4)為結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)模態(tài)本征頻率方程。若結(jié)構(gòu)無(wú)阻尼，則變?yōu)?/p>

K-ω2M=0

(5)

本文對(duì)雙層加筋板中的板結(jié)構(gòu)采用基于Mindlin板彎曲理論的殼單元進(jìn)行有限元離散，筋結(jié)構(gòu)采用了考慮剪切變形的梁?jiǎn)卧吔缭捎门c殼單元相對(duì)應(yīng)的四邊形四節(jié)點(diǎn)等參單元。

2 聲學(xué)邊界元

簡(jiǎn)諧振動(dòng)情況下的聲壓為

p(t)=Pejωt

(6)

理想流體介質(zhì)中聲學(xué)波動(dòng)方程為

(7)

將式(6)代入式(7)，得

(8)

(9)

從而得到可壓縮流體小振幅下聲學(xué)波動(dòng)Helmholtz方程。

對(duì)于空間中某一封閉曲面結(jié)構(gòu)，其表面為S，當(dāng)封閉結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，在結(jié)構(gòu)內(nèi)部或結(jié)構(gòu)外部流體域B'中產(chǎn)生結(jié)構(gòu)聲輻射。考慮邊界條件，對(duì)式(9)使用加權(quán)余量法，并采用基本解自由場(chǎng)格林函數(shù)

(10)

式中：

P為空間中任意點(diǎn)；Q為S上任意點(diǎn)；G(P,Q)為自由場(chǎng)格林函數(shù)。

2.1 直接邊界元

可壓縮理想流體中，根據(jù)小振幅振動(dòng)的Helmholtz方程、流固面邊界條件及在無(wú)限遠(yuǎn)處的Sommerfeld輻射條件，可以得到Helmholtz邊界積分方程[12]

C(P)p(P)=

(11)

(12)

式中：n的下標(biāo)Q表示在Q點(diǎn)處的法向?qū)?shù)；Ni(ξ,η)表示第m個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)i處的插值函數(shù)在(ξ,η)處的取值。

將式(12)表達(dá)為與邊界結(jié)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的4M個(gè)離散方程，并在整個(gè)邊界S上積分化為在各個(gè)單元上的積分，用等參元可表示為

(13)

式中:e為單元序號(hào)，Se為單元的區(qū)域;|Jm|是將四邊形變換為ξη平面的正方形的變換行列式。

式(13)可表達(dá)為矩陣形式

(14)

其中：

(15)

(16)

Ap=Cvn

(17)

在將邊界元模型導(dǎo)入聲學(xué)分析軟件(如SYSNOISE)中時(shí)，A和B會(huì)自動(dòng)生成，結(jié)點(diǎn)上的法向振速已知時(shí)，通過(guò)求解(17)式可得出節(jié)點(diǎn)的聲壓值。之后可以求出邊界上包含聲壓在內(nèi)的其它聲場(chǎng)參數(shù)，進(jìn)一步利用邊界積分公式，就可以對(duì)聲場(chǎng)內(nèi)有關(guān)聲場(chǎng)參數(shù)進(jìn)行分析計(jì)算。

圖1 四節(jié)點(diǎn)線性元引入退化元Fig.1 The linear 4-node element introduced degenerate element

結(jié)構(gòu)表面上的聲壓、聲速和聲強(qiáng)等通過(guò)求解系統(tǒng)方程得到后，直接用Helmholtz積分方程(P∈E)，即可得到流體介質(zhì)中任一點(diǎn)P處的聲壓。

2.2 間接邊界元

(18)

當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P在邊界單元的模型上時(shí)，根據(jù)流固面Neumann邊界條件可得

-jρωvn(Q)

(19)

式中：?nP，?nQ為結(jié)構(gòu)表面上點(diǎn)P和Q處的內(nèi)法向單位矢量；vn(Q)為Q點(diǎn)處的法向振速。

邊界單元模型上未知變量可用該模型上節(jié)點(diǎn)的未知變量及其形函數(shù)表示。利用變分原理，可推導(dǎo)出間接邊界元一般形式

AX=Fa

(20)

3 結(jié)構(gòu)有限元和間接邊界元耦合方程

結(jié)構(gòu)—聲耦合分析是將結(jié)構(gòu)的有限元方程和聲場(chǎng)的邊界元方程耦合起來(lái)。結(jié)構(gòu)—聲耦合的方程[14]可表示為

(21)

因此，本文無(wú)阻尼聲輻射問(wèn)題所要求解的方程如下：

(22)

將結(jié)構(gòu)有限元和聲邊界元模型的單元進(jìn)行離散，有限元結(jié)構(gòu)模型劃分為M個(gè)單元，在每一個(gè)單元上采取L個(gè)積分點(diǎn)，耦合矩陣變換到單元的局部物理坐標(biāo)系中的形式如下：

(23)

(24)

(25)

將式(24)和式(25)代入式(23)中，整理可得

(26)

結(jié)構(gòu)有限元模型的節(jié)點(diǎn)和單元可分成與邊界元模型公共的部分和非公共的部分，只有公共部分的結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)和單元才參與計(jì)算耦合矩陣。

在通過(guò)聲學(xué)分析軟件求解式(22)得到模型表面的未知變量u和X后，可利用式(18)計(jì)算得到任意場(chǎng)點(diǎn)處的聲壓。

聲壓級(jí)[15](Sound Pressure Level, SPL)定義為聲壓的有效值與基準(zhǔn)聲壓的有效值之比，然后取20倍常對(duì)數(shù)，單位dB，其表示形式如下：

(27)

式中：pP為所得測(cè)量聲；pr為參考聲壓，pr=2×10-5Pa，即人耳對(duì)1 kHz空氣聲所能感覺(jué)到的最低聲壓。

4 算例

以如圖2所示的雙層雙周期正交加筋板計(jì)算模型為例：板厚均為t，筋高為H，寬為W，周期數(shù)為n，x方向的間距為lx，y方向的間距為ly，板間距為h，板材與筋材料相同。計(jì)算中取：鋼材密度為7 800 kg/m3，彈性模量為210.0 GPa，泊松比為0.3，t=0.005 m，H=0.1 m，W=0.01 m，lx=ly=0.2 m，h=0.3。在有限元中平板用SHELL63單元，筋用BEAM188單元，流體單元采用Fluid30，有限元模型如圖3所示。

圖2 雙層雙周期加筋板示意圖Fig.2 Schematic of double periodical beam-stiffened panels

圖3 部分雙周期加筋板有限元模型Fig.3 Partial FEM model of double periodicalbeam-stiffened panels

在周期結(jié)構(gòu)的下層周期加筋板上施加力幅值為{Fe}=1 000 N的簡(jiǎn)諧面力，兩周期加筋板之間充滿(mǎn)水介質(zhì)，水的密度ρ=1 000 kg/m3，水中的聲速c=1 500 m/s。在四面的邊界上施加周期對(duì)稱(chēng)邊界條件；在有限元中進(jìn)行諧分析，分析的頻率范圍為20～2 000 Hz，步長(zhǎng)為20 Hz。

將諧分析結(jié)果導(dǎo)入到聲學(xué)邊界元軟件中，可計(jì)算出周期結(jié)構(gòu)在水中任意點(diǎn)處的聲壓。本文計(jì)算了距雙層周期加筋板上層周期結(jié)構(gòu)0.1 m處(見(jiàn)圖4)聲壓隨頻率變化的聲壓級(jí)(見(jiàn)圖5)，可以看出在800 Hz和1 200 Hz附近處場(chǎng)點(diǎn)的聲壓級(jí)較大，說(shuō)明在該頻率段處周期結(jié)構(gòu)的輻射能力強(qiáng)。

圖4 場(chǎng)點(diǎn)位置(垂直距離為0.1m)Fig. 4 The location of field point

圖5 雙層周期加筋板的輻射聲壓級(jí)圖Fig.5 Sound pressure level of double periodical beam-stiffened panels

以如圖6所示的雙層雙周期斜交成正六邊形加筋板模型為例，參數(shù)和邊界條件不變，有限元模型見(jiàn)圖7。在距雙層雙周期斜交成正六邊形加筋板結(jié)構(gòu)0.1 m處的聲壓隨頻率變化的聲壓級(jí)曲線如圖8所示，可以發(fā)現(xiàn)在800 Hz和1 100 Hz處場(chǎng)點(diǎn)的聲壓級(jí)較低，說(shuō)明在該頻率段處周期結(jié)構(gòu)的輻射能力弱。

圖6 雙層雙周期斜交成正六邊形加筋板示意圖Fig.6 Schematic of double dual-periodical hexagonal beam-stiffened panels

圖7 雙層雙周期斜交成正六邊形加筋板有限元模型Fig. 7 FEM model of double dual-periodical hexagonal beam-stiffened panels

圖8 雙層雙周期斜交成正六邊形加筋板的輻射聲壓級(jí)圖Fig.8 Sound pressure level of double dual-periodical hexagonal beam-stiffened panels

圖9 雙層雙周期斜交成正三角形加筋板示意圖Fig.9 Schematic of double dual-periodical trigonal beam-stiffened panels

以如圖9所示的雙層雙周期斜交成正三角形加筋板模型為例，參數(shù)和邊界條件不變，有限元模型見(jiàn)圖10。在距雙層雙周期斜交成正三角形加筋板結(jié)構(gòu)0.1 m處的聲壓隨頻率變化的聲壓級(jí)曲線如圖11所示。可以發(fā)現(xiàn)在800 Hz和1 600 Hz處場(chǎng)點(diǎn)的聲壓級(jí)較低，說(shuō)明在該頻率段處周期結(jié)構(gòu)的輻射能力弱；在1 100 Hz和1 700 Hz處場(chǎng)點(diǎn)的聲壓級(jí)較高，聲輻射能力強(qiáng)。這與結(jié)構(gòu)的固有頻率相關(guān)，結(jié)構(gòu)的固有頻率受結(jié)構(gòu)密度、剛度、尺寸及邊界條件等因素影響。一般情況下，當(dāng)外部激勵(lì)力的頻率與結(jié)構(gòu)的固有頻率相等或接近時(shí)，則結(jié)構(gòu)的聲輻射增大；當(dāng)外部激勵(lì)力的頻率與結(jié)構(gòu)的固有頻率相差較大時(shí)，則結(jié)構(gòu)的聲輻射減小。

圖10 雙層雙周期斜交成正三角形加筋板有限元模型Fig.10 FEM model of double dual-periodical trigonal beam-stiffened panels

圖11 雙層雙周期斜交成正三角形加筋板的輻射聲壓級(jí)圖Fig.11 Sound pressure level of double dual-periodical trigonal beam-stiffened panels

5 結(jié)束語(yǔ)

采用有限元和邊界元相結(jié)合的數(shù)值方法，建立了雙層周期加筋板在低頻諧力作用下，聲波在水中輻射的計(jì)算模型，并利用該模型計(jì)算研究了雙層周期加筋板的聲輻射特性。雙層周期加筋板結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧面力的作用下，振動(dòng)呈現(xiàn)出一定的周期性，在特定的頻率范圍內(nèi)或特定頻率附近處時(shí)，周期加筋板結(jié)構(gòu)振動(dòng)位移大于其他頻率處，為了增強(qiáng)(或減弱)周期結(jié)構(gòu)的聲輻射能力可以接近(或避開(kāi))特定的頻率。該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是可以計(jì)算任意復(fù)雜結(jié)構(gòu)的輻射聲場(chǎng)，數(shù)值計(jì)算的實(shí)例表明該方法具有一定的應(yīng)用前景.