基于變換聲學的角反射器的設計?

畢亞峰1,2 賈 晗1,2?楊 軍1,2

(1中國科學院噪聲與振動重點實驗室(聲學研究所) 北京 100190)

(2中國科學院大學 北京 100049)

0 引言

后向反射器，是一種能將入射波按照入射方向進行反射的器件。由于它可以顯著地增加散射截面和回波強度，所以有著廣泛的應用。通常情況下，后向反射器表現為角反射器[1?3]的形式，通過兩個互相垂直的反射面將入射聲(電磁)波多次反射，最終實現出射聲(電磁)波的反向傳播。然而由于體積和形狀的限制，很多情況下角反射器難以實用，往往需要平面或者較為扁平的幾何結構去實現類似的反射效果，而變換聲學[4?8]則為此提供了可能。變換聲學將空間坐標的變換與器件的材料屬性兩者關聯起來，從而可以設計出許多新型聲學器件，如隱身衣[9?12]、聲學彎管[13?15]、透鏡等等[16?18]。利用變換理論設計的反射器也已出現[19?23]，但是這些器件大多參數極端，不均勻而且各向異性，因此難以實現。本文提出一種基于線性坐標映射的反射器，在這種映射下，反射器的參數變得均勻，僅僅需要各向異性的超材料即可實現。結合Biot流體理論[24]，這種反射器可以由周期層狀流體構成。有限元仿真結果證明了該結構的有效性，對于不同頻率的聲波，該反射器也具有較好的性能。這種基于變換聲學的反射體更具有實用性，為超材料的具體應用帶來了可能。

1 映射關系與變換聲學

二維的聲反射器的映射關系如圖1所示。圖1(a)中，y=0界面為硬地面，在地面上放置藍色三角形的反射器。根據角反射器的原理[1?3]，兩個互相垂直的反射面，在45?范圍內可以將入射波按照原方向反射，因此，在圖1(b)中v<0的區域需要構建出一個直角空間，并將紅色虛線設置為反射邊界。聲波在該空間中的傳播如黃色箭頭所示，入射波將被反射回相應的方向。聲反射器實物所處的空間為圖1(a)，稱為實空間；它所表現出的聲學性質應該與圖1(b)所示的空間一致，因此圖1(b)所處的空間稱為虛空間。

利用以下數學關系，可以將實空間與虛空間中的藍色區域進行相互映射：

其中，±分別對應u<0與u>0的情況。在該映射下，虛空間(u,v,w)中藍色的四邊形區域被壓縮至實空間中(x,y,z)的藍色三角形區域。紅色虛線邊界則對應到實空間中的x軸。該映射的雅克比矩陣A為

根據變換聲學理論[8]，反射器的密度和模量為

其中，ρ0和κ0分別為背景流體的密度和模量。將公式(2)中的雅克比矩陣A帶入，可得

該密度矩陣與模量即為實現聲反射器所需的參數。

圖1 聲反射器的空間映射關系Fig.1 The mapping rules of the acoustical retrodirective ref l ector

2 單元與反射器模型

為了更清晰地說明聲反射器的設計過程，此處將其幾何參數設定為a=160 cm，b=20 cm。該反射器為一個放置于地面上的鈍角三角形，空氣的密度和模量分別為ρ0=1.21 kg/m3和κ0=142.36 kPa。根據前文所述的變換聲學方法，可以求得其密度矩陣和模量為

可見，此時密度矩陣存在非對角項，這是因為在變換聲學的計算過程中，選取的是笛卡爾坐標系，該坐標系與密度矩陣的主軸方向存在一定的夾角，所以在矩陣中出現了非對角分量。因此，需要將密度矩陣進行旋轉α=6.42?，從而將其中的非對角項消除[9]，得到密度矩陣的特征值：

此時，可以得到密度矩陣的主軸坐標系：將x-y坐標系逆時針旋轉α=6.42?后所得到的x′-y′坐標系，如圖2(a)所示。由求出的密度矩陣可知，在聲反射器中，各個方向表現出的密度并不一樣，所以需要各向異性密度的流體進行實現。然而在自然界中并不存在天然各向異性的流體，因此需要引入人工周期介質，Biot流體理論[6,24]則為此提供了可能。假設有兩種不同的各向同性的流體介質(A和B)，其密度和模量分別為ρA，ρB和κA，κB。在兩種介質分層厚度d相等的情況下，將其周期交錯排列(圖2(b))，于是在長波極限條件下可以得到該結構的等效參數：

圖2 反射器結構Fig.2 The model of the acoustical retrodirective ref l ector

對于公式(6)中的介質而言，利用分層流體可以在長波極限下獲得等效的各向異性密度。假設每層厚度d=0.5 mm，則單元大小L=1 mm。結合公式(6)和公式(7)，計算可得ρA=21.99 kg/m3，ρB=0.07 kg/m3和κA=2.62 MPa，κB=7.93 kPa。將流體A與流體B周期交錯排列形成單元，并利用參數檢索法[25]得到它的等效參數，以驗證設計的單元的有效性。檢索結果如圖3所示，圖3(a)為厚度L=1 mm的單元等效密度隨頻率變化圖，其中方塊和圓點標志為單元所體現出的密度，直線為器件設計所需的密度。可見在100 Hz～4000 Hz范圍內，單元兩個方向的密度隨頻率改變很小，而且與設計所需的密度相吻合。兩個方向上密度的巨大差別也體現出了該單元密度各向異性的特點。圖3(b)為單元等效模量隨頻率變化圖，同樣的，方塊和圓點為單元表現出的模量，而直線為器件設計所需模量。圖3(b)中，低頻情況下兩個方向上的模量幾乎完全一致，隨著頻率增加，模量值逐漸有所偏差，一直到4000 Hz時，兩個方向上的模量相差達到10%。整體而言，兩個方向上的模量與器件所需模量吻合，因此該單元具有密度各向異性，模量各向同性的特點。

圖3 單元參數隨頻率變化Fig.3 Ef f ective parameters of the unit cell from 100 Hz to 4000 Hz

該單元的穩定性也能從它的能帶曲線中體現出來。對于文中所述的厚度為1 mm、兩種介質周期分層的單元，圖4給出了它的能帶曲線。圖4中，橫坐標為波矢k，波矢垂直于分層方向(圖2(b)中的y′方向)，縱坐標為頻率f。黑色點線為單元的能帶曲線，而紅色虛線為沿y′方向理論上設計所需要的聲速。在能帶曲線中，相速度cp=2πf/k，所以黑色點線的斜率與單元聲速直接相關，而且斜率的穩定性也可以反映出單元的工作帶寬。在圖4中，頻率低于4 kHz時，黑色點線與紅色虛線幾乎完全重合，因此在這段頻率范圍內，該單元都可以穩定有效地工作。此時聲波波長遠大于單元的尺寸，兩種流體被視為一個整體做運動，所以在低頻條件下，單元會體現出穩定的特性。隨著頻率的增加，黑色點線逐漸偏離紅色虛線，單元參數不再穩定，這時單元內聲波波長與流體的層厚越來越接近，兩種流體不能再被視為一個整體，所以頻率高于4 kHz后單元開始慢慢失效。

綜上所述，該單元的參數在較寬頻率范圍內且與設計的參數相吻合，因此可以進一步利用其構建超材料聲反射器。

圖4 單元能帶曲線Fig.4 Band structure of the layered unit

3 仿真分析

使用有限元軟件COMSOL可以對實現的器件進行聲場仿真，其中，聲反射器的結構尺寸為a=160 cm，b=20 cm。按照圖2(a)所示進行分層，藍色層為介質A(ρA=21.99 kg/m3，κA=2.62 MPa)，黃色層為介質B(ρB=0.07 kg/m3，κB=7.93 kPa)，層狀結構與x軸夾角α =6.42?。每層厚度為t=0.5 mm，形成厚度為1 mm的分層介質單元。將聲反射器放置于硬地面上，以保證理想的全反射邊界，如圖5所示，其余的邊界設置為吸收邊界，以減小周圍反射的影響。

頻率為3 kHz的仿真聲場如圖5所示。圖5(a)中，左邊一束高斯波從上向下垂直入射(0?)，進入反射器之后在其內部傳播，然后通過結構右側再次向外輻射，反射方向為豎直向上(入射方向的反方向)。圖5(a)中用紅色箭頭在反射器內部標出了聲波的傳播路徑，聲波進入結構后，受到密度各向異性介質的影響，波束傳播方向發生偏折，斜入射在硬地面上，反射后又再次斜向右上方傳播。由于結構的對稱性，聲波的傳播路徑也是相應對稱的。經過地面的反射，波束變寬，能量密度下降，所以反射波的幅度會有所降低。圖5(b)則為一定小傾斜角入射情況下的聲場分布，可見當入射角增加到20?，反射聲波也仍然可以保持回向傳播的特點，隨著傾斜角的增加，反射波束會逐漸向入射波束靠近；當傾斜角增加到45?時(圖5(c))，此時反射波束與入射波束基本重合。繼續增加傾斜角到60?，如圖5(d)所示，此時入射波與反射波的方向存在一定的夾角，反射波已經不再向入射波的方向回向傳播，所以在該角度下聲反射器失效。

對于一個理想的角反射器而言(圖1(b))，根據簡單的幾何關系可知，兩塊相互正交的反射面可以將45?以內的入射波按照原方向進行反射(圖1(b)中黃色箭頭)。如果入射角度大于45?，反射波就會逐漸偏離入射方向。該現象與文中所設計的反射器的效果一致，因此證明了這種正面凸起向上的超材料結構也能夠達到角反射器的效果。

圖5 聲反射器的有限元聲場仿真Fig.5 Simulated acoustic pressure f i elds of the retrodirective ref l ector by FEM

圖6 不同頻率下的仿真聲場Fig.6 Simulated acoustic pressure f i elds of the retrodirective ref l ector at dif f erent frequencies

為了驗證結構的寬頻有效性，圖6給出了聲波以10?入射情況下，使用不同頻率的高斯波束作用于聲反射器的仿真聲場。圖6(a)～圖6(d)分別對應于頻率為1 kHz、2 kHz、3 kHz、4 kHz的聲場，圖中左側為入射波束，以10?小角度入射到結構表面，然后經過結構內部將聲波引導至右側，仍然以10?斜向左上方傳播。對于1 kHz、2 kHz、3 kHz、4 kHz的聲波，其反射波都保持回向傳播的特點，因此該反射器在這段頻率范圍內都能有較好的效果。它的工作頻帶與圖3中單元所表現出的穩定區間一致，實際上整體結構是由一系列單元按照特定的方式排布而成的，很顯然單元的特點也就決定了反射器的特性。在本文中，單元具有寬頻且穩定的各向異性的特點，因此設計的反射器也就相應的能夠在寬頻、多角度下工作。圖5中的仿真證明了結構的有效工作角度范圍，而圖6中的仿真則驗證了結構的寬頻有效性，這與上述結論相符。

4 結論

利用變換聲學理論，本文提出了一種線性變換的聲反射器。這種聲反射器需要利用密度各向異性的超材料進行實現。結合Biot流體理論，本文設計了一種具有強各向異性的超材料單元，并利用其構建了聲反射器。仿真實驗表明，該反射器可以改變反射聲波的傳播方向，在45?范圍內，無論聲波從任何角度入射，反射波都會朝入射方向進行回向傳播，從而顯著增加回波強度。此外，仿真實驗同樣驗證了該結構的寬頻有效性。基于超材料的聲反射器可調性強，寬頻有效，易于安裝布放，因此具有較強的實用價值。