淺談模型思想在數學教學中的滲透策略

謝文鋒

數學模型是隱含的、內斂的、不易感知的一種數量關系，致使許多一線教師在實際教學中，似無意又有意忽略了對模型思想的滲透。在蘇教版教材一系列“解決問題的策略”的教學內容中，便蘊含著模型思想，是教師們培養學生模型意識、滲透模型思想的良好素材。如果用得恰當，會起到事半功倍的作用。下面，筆者就結合蘇教版六上“解決問題的策略”為例，談談自己的看法。

一、多種方式循序漸進，精準構建數學模型

在課堂中，首先要盡快抓住模型的特征，讓學生直觀感受到模型的特點，為建立清晰、完整的模型思想奠定基礎。

1. 自主探究，嘗試建構。自主探索與合作交流是重要的學習方式，創造學生主動參與的課堂環境，讓學生經歷模型的再創造過程，這樣的模型建構才越有效。

例如，在課的一開始，筆者先出示一道復習題：小明把720毫升果汁倒入9個同樣的杯子里，每個杯子的果汁是多少毫升？學生解答完之后，出示例題：小明把720毫升果汁倒入6個小杯和1個大杯，小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？學生讀完題后，筆者提問：“通過讀題，這道題是不是比上一題難，那么難在哪呢？”學生順勢展開思考，經過師生、學生之間的互動與引導，學生有了如下的感受：一是這個問題含有兩個未知量，前面的復習題只有一個未知量;二是兩個未知量之間存在相關數量關系。

當學生已經知道要求兩個杯子的容量應圍繞兩個特征展開時，筆者引導學生獨立思考，并在讓其與同桌討論、交流的基礎上，整理出如下兩種方法。

方法一：假設把720 mL的果汁全部倒入大杯，因為一個大杯等于3個小杯，就可以看作一共有大杯：6÷3+1=3（個），這時就能求出一個大杯的容量是：720÷3=240（mL），小杯的容量是：240÷3=80（mL）。

方法二：假設把720 mL果汁全部倒入小杯，因為一個大杯等于3個小杯，所以一共就有小杯：6+1×3=9（個），一個小杯的容量是：720÷9=80（mL），大杯容量就是：80×3=240（mL）。

接著引導學生共同分析這兩種解法有什么不同和相同的地方，這兩種解法都運用了什么樣的方法？在學生回答的基礎上，筆者進一步指出并明確：“同學們解答這道題就用了今天所學習的內容——假設策略。”這樣的過程，既讓學生自主經歷探索模型ax=c的構建過程，又能激發學生對數學學習的興趣與自信心。

2. 重視語言表達，促進建構模型。小學生在理解、掌握、運用數學模型的過程中，要充分發揮語言的作用，讓模型以完整的姿態出現在學生腦海中，才能對所學模型有深刻的認識。在本課例中，筆者就使用了描述性語言幫助學生建構模型。

學生在用前面的兩種方法解答出所求問題后，筆者接連出示如下問題：（1）這道題為什么用假設策略？（2）根據什么來假設？（3）你認為解答什么樣的問題要用到假設策略？筆者組織小組與小組進行辯論，最終學生就用語言完整、清晰地描述出數學模型：使用假設策略的問題必須要含有兩個未知量，同時這兩個未知量之間還要存在一定的聯系。

3. 重視對比，內化模型。在課堂教學中可以運用對比的方式，讓學生在對比中辨別數量關系的本質，使得模型的內涵更加突顯，以便學生對模型的理解更精確。

例如，學生在掌握策略之后，筆者出示如下三道題。

（1）8輛小貨車和1輛大貨車共載貨48噸，1輛大貨車的載重量是小貨車的4倍，那么小貨車和大貨車的載重量分別是多少噸？

（2）__________________一支鋼筆與鉛筆各是多少元？

（3）明明有蘭花6朵，軍軍的蘭花是明明的3倍，冬冬的蘭花是軍軍的4倍。軍軍和冬冬各有蘭花多少朵？

在學生完成三道題的解答后，筆者提問：“同學們，做完這三道題，你有什么想說的？”

生1：第一道題能用假設策略解答，第二道題和第三道題不能用假設策略解答。

生2：第二道題如果加上“一支鋼筆的價格是鉛筆的幾倍”也可以用假設策略解答了。

師：看來要用假設策略解答問題，必需滿足什么樣的條件？

生1：問題中除了要有兩個未知數，而且兩個未知數之間一定要有關系。

師：第三個問題也有兩個未知數，兩個未知數之間也有關系，怎么就不用呢？

在學生不斷地思考和筆者的引導下，就有以下的結論。

生3：這道題按照條件一步步算下去，就非常容易解決了，沒有必要再用假設的方法來解決。

生4：前面用假設策略解決的問題中，兩個未知量與總量之間有關系，這道題中總量與這兩個未知數沒有聯系，所以就不能用假設策略。

到此，學生對假設策略的理解就更進一步了，這歸功于學生在對比中辨別題目中兩個未知量a、b的數量對應關系，最終在對比中提升對數學模型ax=c的再認識。

二、拓寬學習厚度，靈活運用模型

模型源于生活，它是將抽象的數學問題進行簡化構建，以利于實際問題的有效解決。因此，學生在掌握模型之后，應適當拓寬學生的眼界，幫助他們溝通模型的內在聯系，并能靈活應用模型解決生活中的實際問題。

1. 縱向拓寬，溝通知識的內在本質。教師可以通過挖掘相關的知識，讓學生感受模型的多樣性與靈活性。

例如，下面的環節設計就充分考慮這方面因素。教師出示三種不同的假設：（1）計算除數是兩位數的除法;（2）整數相乘的估算;（3）已知兩數的和與差，分別求兩數的問題。筆者啟發學生思考：“同學們，看到這些，你們有什么想說的呢？”經過交流，學生對假設思想就有了更深的體會：（1）假設思想可以運用在不同的地方;（2）假設策略的表現形式靈活多樣，既可以用圖形來表達，也能用線段圖表達，還能在計算中表達。

2. 變化問題情境，深刻體會模型要素。模型運用的廣泛性決定了其表現的多樣性。因此，應通過讓學生在不同的問題情境中應用模型，從多樣性的情境中感悟、把握模型的本質特征，使學生體會到變的是外形，不變的是模型本質。教師可設計如下的課堂鞏固練習。

（1）右邊木架子的藥水共有1690毫升，每個小瓶里的藥水是大瓶子的。每個大瓶子里的藥水有多少毫升？每個小瓶呢？

甲、乙兩車載重量各是多少噸？

以上習題的設置，一方面讓學生體會到：雖然情境及問題不同，但它們之間的本質是相同的，都可以運用假設的策略來解答。另一方面，通過練習，學生運用模型解決實際問題的靈活性與自覺性得以培養，有助于學生把模型思想內化為一種能夠對數學學習起支撐作用的觀念和意識。

（作者單位：福建省霞浦縣教師進修學校 責任編輯：王振輝）