觸及數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的自主學(xué)習(xí)

顧亞龍

【編者按】日常教學(xué)中，除接受學(xué)習(xí)外，學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。自主學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)有巨大的促進(jìn)作用。我們倡導(dǎo)教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，并處理好講授與學(xué)生自主學(xué)習(xí)間的關(guān)系，關(guān)注師生、生生間的有效交流，最終創(chuàng)設(shè)出能夠引導(dǎo)學(xué)生觸及知識(shí)本質(zhì)，開展真實(shí)的自主學(xué)習(xí)。本期話題，我們圍繞“創(chuàng)設(shè)觸及知識(shí)本質(zhì)的自主學(xué)習(xí)”這一問題來共同探討。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式與學(xué)習(xí)效果之間有著高度的相關(guān)性。有意義的接受是學(xué)生最基本的學(xué)習(xí)方式;但是，單一的接受式學(xué)習(xí)，特別是機(jī)械灌輸式的接受，往往讓學(xué)生覺得單調(diào)、枯燥，甚至?xí)a(chǎn)生學(xué)生游離學(xué)習(xí)、虛假學(xué)習(xí)的現(xiàn)象。因此，作為教師，如何讓學(xué)生“在”學(xué)習(xí)、“真”學(xué)習(xí)？如何讓學(xué)生由淺表學(xué)習(xí)走向深度學(xué)習(xí)？如何讓學(xué)生的學(xué)習(xí)能觸及數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)？要做到這幾點(diǎn)，不僅需要我們深刻領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)（因?yàn)椋嵌葲Q定深度，眼界決定境界），變革知識(shí)本位，改變以教為中心的教學(xué)方式（因?yàn)椋痰姆绞阶笥抑鴮W(xué)的方式），而且還需要我們有將理念轉(zhuǎn)化為行動(dòng)的實(shí)踐智慧。

一、深刻理解數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要觸及知識(shí)的本質(zhì)，作為數(shù)學(xué)教師，首先要對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)有深刻的理解。數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。但是，僅僅知道數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。隨著數(shù)學(xué)的迅猛發(fā)展，許多新的數(shù)學(xué)分支，如混沌、群論和數(shù)理邏輯等，已經(jīng)不再局限于數(shù)量關(guān)系和空間形式的范疇。因此，數(shù)學(xué)專業(yè)研究者們一直在尋找關(guān)于數(shù)學(xué)的更加本質(zhì)的定義。

1939年，英國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家懷特海在《數(shù)學(xué)與善》中率先指出：數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是，在從模式化的個(gè)體作抽象的過程中對(duì)模式進(jìn)行研究。1988年，美國數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)前主席斯蒂恩在《科學(xué)》雜志上發(fā)表的《模式的科學(xué)》一文中提出：數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)。眾多的數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家都認(rèn)為這是一個(gè)定位恰當(dāng)?shù)亩x。這里的模式包括了“數(shù)量關(guān)系、空間形式、結(jié)構(gòu)、模型”，與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》上關(guān)于數(shù)學(xué)的定義具有內(nèi)在的兼容性，即：基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，不管是對(duì)數(shù)量關(guān)系還是空間形式的研究，都是對(duì)數(shù)學(xué)模式的研究，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)所在。

從數(shù)學(xué)模式論的視角審視日常的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐，一個(gè)重要的啟迪是：既然“數(shù)學(xué)是關(guān)于模式的科學(xué)”，那么，作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)教學(xué)，就不能被題海所遮蔽，不能止于顯性的數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得，而是要基于知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生指向?qū)?shù)學(xué)模式的建構(gòu)，指向?qū)?shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解。

這樣的學(xué)科理解內(nèi)在地啟迪著教師“教什么”與“怎么教”，進(jìn)而引導(dǎo)著學(xué)生“學(xué)什么”與“怎么學(xué)”，使得“基于知識(shí)，高于知識(shí)，注重實(shí)質(zhì)，指向模式”成為教師理論自覺下的應(yīng)然選擇。

二、指向自主學(xué)習(xí)的三重追問

觸及知識(shí)本質(zhì)的自主學(xué)習(xí)，基本前提是“秉持兒童立場(chǎng)”。意即：①學(xué)習(xí)，歸根結(jié)底是學(xué)生自己的事，自己的事就得自己干;②學(xué)生是天生的學(xué)習(xí)者，要相信學(xué)生能學(xué)、會(huì)學(xué);③在課堂教學(xué)中要自覺尊重和捍衛(wèi)學(xué)生的學(xué)習(xí)權(quán)。

將兒童立場(chǎng)轉(zhuǎn)化為教學(xué)實(shí)踐的具體路徑不一而足，實(shí)踐表明，兼具方向性與可操作性的至少有三重追問。

追問一：這個(gè)內(nèi)容學(xué)生怎么學(xué)？

長期的教學(xué)習(xí)慣，使得教師在面對(duì)具體教學(xué)內(nèi)容時(shí)的第一思考往往是“這個(gè)內(nèi)容我怎么教”。這便使得教師的教學(xué)設(shè)計(jì)與課堂實(shí)施都必然是以“教為中心”展開的，學(xué)生的自主學(xué)習(xí)就無從談起。因此，教師要不斷突破自己教學(xué)的“舒適區(qū)”，首先追問“這個(gè)內(nèi)容學(xué)生怎么學(xué)？其中哪些內(nèi)容是學(xué)生易學(xué)能懂的？哪些是學(xué)生難學(xué)未懂的？”進(jìn)而思考如何設(shè)計(jì)具有適度挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)單，前置到課前，讓學(xué)生先獨(dú)立嘗試，自主探究。

一份具有適度挑戰(zhàn)性的前置性的學(xué)習(xí)任務(wù)單，便為學(xué)生創(chuàng)造了自主學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)與空間;讓學(xué)走在教的前面，讓學(xué)生直面真問題，進(jìn)行真思考，這不僅是學(xué)生走向“真學(xué)習(xí)”的第一步，而且，學(xué)生帶著自己或正確或片面或錯(cuò)誤的思考走進(jìn)課堂，為新的課堂教學(xué)生成了豐富的資源。師生皆有備而來，使得教學(xué)能高開高走，讓學(xué)生的學(xué)逐步走向高階思維和深度學(xué)習(xí)，逐步觸及知識(shí)的本質(zhì)。

在具體教學(xué)板塊的設(shè)計(jì)與實(shí)施上，對(duì)易學(xué)能懂的內(nèi)容，采用低結(jié)構(gòu)教學(xué)設(shè)計(jì)，便于學(xué)生的生生互動(dòng)、自主學(xué)習(xí)。對(duì)于難學(xué)未懂的內(nèi)容，則采用高結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，教師應(yīng)及時(shí)介入，師班互動(dòng)、辨析質(zhì)疑、拓展延伸。低結(jié)構(gòu)板塊+高結(jié)構(gòu)板塊，高低搭配，辯證施教。

追問二：這個(gè)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

受考試文化的影響，日常的數(shù)學(xué)課常常是“就著知識(shí)教知識(shí)，圍繞考點(diǎn)炒知識(shí)”，甚至要求學(xué)生能“一看到，就想到”。這樣的刷題訓(xùn)練，讓學(xué)生難以觸及知識(shí)的本質(zhì)。因此，在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的過程中，創(chuàng)設(shè)內(nèi)在的、契合數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的問題情境，是引導(dǎo)學(xué)生觸及知識(shí)本質(zhì)的有效策略之一。

例如，在執(zhí)教“圓的認(rèn)識(shí)”這節(jié)課時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了這樣一個(gè)問題情境：同學(xué)們開展野外尋寶活動(dòng)，寶物在距離小明右腳兩米處。如果用點(diǎn)O表示小明右腳的位置，用圖上的1厘米表示實(shí)際長度1米，請(qǐng)你在圖上畫一畫，找一找寶物可能在哪里？

隨著學(xué)生在紙上描出的距離O點(diǎn)2厘米的點(diǎn)

不斷增加，一個(gè)半徑2厘米的圓形軌跡躍然紙上。

這個(gè)不斷添加點(diǎn)的過程，巧妙地詮釋了圓的本

質(zhì)特征：圓，一中同長也。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)并不一定要加深知識(shí)本身的難度，有時(shí)候，如果能在淺顯中見深刻，往往更能讓學(xué)生觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)，歷練學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的數(shù)學(xué)眼光。

師：觀察一下，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：我發(fā)現(xiàn)每道題中兩個(gè)加數(shù)的計(jì)數(shù)單位是相同的。

生2：我發(fā)現(xiàn)相加時(shí)，只要把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相加，計(jì)數(shù)單位不變。

在同分母分?jǐn)?shù)加法與整數(shù)加法之間建立起實(shí)質(zhì)性聯(lián)系;這樣的設(shè)計(jì)，直指加法運(yùn)算的本質(zhì)，學(xué)生對(duì)計(jì)算法則的理解才通透明白。

因此，不論是教學(xué)設(shè)計(jì)還是課堂實(shí)施，教師不斷地追問：本課的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？與其他知識(shí)有什么內(nèi)在的聯(lián)系？這有利于學(xué)生在相關(guān)知識(shí)間形成結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)，體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在的一致性。

追問三：本課知識(shí)目標(biāo)之上的目標(biāo)是什么？

教學(xué)目標(biāo)，特別是顯性的知識(shí)目標(biāo)是教師們教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的綱領(lǐng)，因而備受教師的關(guān)注。但是，這在一定程度上也會(huì)使教師的學(xué)科視野較為局促，只看到顯性的知識(shí)，卻弱化了對(duì)深層次思想方法和數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考。因此，在擬定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，教師應(yīng)該自覺地追問自己：這節(jié)課（或本單元）知識(shí)目標(biāo)之上的目標(biāo)是什么？所謂“知識(shí)目標(biāo)之上的目標(biāo)”，是指通過這個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生適應(yīng)未來社會(huì)發(fā)展和個(gè)人終身發(fā)展有著什么樣的潛在價(jià)值。因此，所謂“知識(shí)目標(biāo)之上的目標(biāo)”，即素養(yǎng)目標(biāo)。這種高觀念下對(duì)學(xué)科本質(zhì)的審視，有利于教師提升專業(yè)境界，能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)不斷觸及知識(shí)的本質(zhì)。

例如：“行程問題”的練習(xí)課。

在圍繞（V1+V2）t=S進(jìn)行變式訓(xùn)練的基礎(chǔ)上，教師設(shè)計(jì)一組習(xí)題。

只列方程，不計(jì)算：

1. 一個(gè)水池能容水72噸，兩個(gè)進(jìn)水管同時(shí)向池內(nèi)注水，A管每小時(shí)注水4噸，B管每小時(shí)注水5噸，多少小時(shí)注滿全池？

2. 學(xué)校買20套桌椅一共花了4800元，每張桌子150元，每把椅子多少元？

3. 師徒兩人共同加工54個(gè)零件。徒弟先做了2小時(shí)，每小時(shí)做6個(gè)，然后和師傅一起做。師傅每小時(shí)做15個(gè)，還需多少小時(shí)才能完成任務(wù)？

學(xué)生審每一道題，教師都追問：“這是我們今天研究的行程問題嗎？”（學(xué)生意見不一）

三道題分別列方程如下：

1. 解：設(shè)x小時(shí)注滿全池。

（4+5）x=72

2. 解：設(shè)每把椅子x元。

（150+x）×20=4800

3. 解：設(shè)還需x小時(shí)才能完成任務(wù)。

（6+15）x=54-6×2

師：這幾題是行程問題嗎？

師：奇怪了，難道說水管、桌椅、零件都會(huì)走路？

師：孩子們，我們的數(shù)學(xué)，它不研究水池里的水干凈不干凈，不研究買的桌椅結(jié)實(shí)不結(jié)實(shí)，也不關(guān)心師徒加工的零件是什么玩意兒，數(shù)學(xué)研究的是這些事情背后的數(shù)量關(guān)系。比較一下，它們的數(shù)量關(guān)系怎么樣？

生：它們的數(shù)量關(guān)系是相同的。

師：雖然從所講的具體事情來看，這幾題與行程問題是風(fēng)馬牛不相及;但只要它們數(shù)量關(guān)系的結(jié)構(gòu)是相同的，就可以看成是同一類問題。至于所講的具體事情，不管怎么變，那都是“換湯不換藥，還是那一套”。

師：是哪一套？

生：還是（V1+V2）t=S。

師：是的。但由于我們已經(jīng)不再局限于行程問題，這個(gè)模式表示為（a+b）c=d才更加恰當(dāng)。

將行程問題的情境變換成水池注水、購買桌椅、加工零件，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們的解題方法與行程問題是一致的，即從數(shù)量關(guān)系的角度講，它們是同一類問題。將（V1+V2）t=S進(jìn)一步抽象為（a+b）c=d，學(xué)生對(duì)行程問題的本質(zhì)會(huì)有一種深刻的洞悉與體悟。

需要指出的是，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，難以一蹴而就，而且學(xué)生的積極反思也不可或缺。其次，就像不能要求兒童是運(yùn)動(dòng)健將一樣，不能要求兒童對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解達(dá)到數(shù)學(xué)家的深度。所以，觸及知識(shí)本質(zhì)的自主學(xué)習(xí)，是教師指導(dǎo)下的自主，觸及的本質(zhì)也要顧及兒童所能理解的程度。

（作者單位：上海市徐匯區(qū)教育學(xué)院）