初中數學一題多變教育研究

王銳泉

摘 要：隨著教學改革不斷地深入發展，初中數學教學過程中越來越重視學生的思維擴展能力、創新能力與舉一反三的能力。教學實踐證明，在數學教學過程中使用一題多變的方式進行教學能夠有效地培養學生的創新能力和思維擴展能力。

關鍵詞：初中數學；一題多變；教學應用

初中數學教學中使用一題多變的教學方式能夠有效地提高學生的思維創新能力、識圖能力、運用數學知識解決實際問題的能力、鞏固知識與學習自主探索能力。本文主要選取的例題是人教版八年級（下冊）課本64頁教學活動1。

如果我們身旁沒有量角器或三角尺，又需要作60°，30°，15°等大小的角，可以采用下面的方法（如圖1）：

（1）將矩形紙片ABCD對折，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展開。

（2）再一次折疊紙片，使點A落在EF上，并使折痕經過點B，得到折痕BM。同時得到了線段BN。如圖1所示：

觀察所得的∠ABM，∠MBN和∠NBC，這三個角有什么關系？你能證明嗎？

縱觀最近幾年的數學中考題，折疊問題出現的頻率較高，試題設計的綜合性逐漸增強，能夠有效地考查學生的動手能力與學習研究能力。此道例題主要的考點是折疊問題、三角函數及三角形內角和定理。解題過程如下：

解：由折疊可知，AE=BE，AB=BN，∠AEN=∠BEN=90°，

在Rt△BEN中，∵sin∠BNE= =

∴∠BNE=30°，

∴∠EBN=90°-30°=60°，

∴∠ABM=∠MBN=30°，∠NBC=30°，

∴∠ABM=∠MBN=∠NBC=30°

以上述例題為基礎進行例題的延伸，從而達到提高學生創新能力、思維擴展能力等目的。

一、一題多變，培養學生解決實際問題的能力

變式一：首先在一個足夠長的矩形ABCD上沿著寬AB中點E對折得到折痕EF并打開，其次把矩形的頂點A沿著點B所在直線折疊，使點A落在直線EF上的點為N（不用打開），再次沿MN所在直線折疊使點B落在線段MD之間，如圖2所示，利用展開圖探究出△BMH是什么特殊的三角形，能說出你的理由嗎？

圖2

改變式題是在沿用了例題折疊思維的基礎上進行三次折疊，既尊重原題又深化原題，主要考查的是折疊問題、等邊三角形的判定、矩形的性質。解題過程如下：

解：△BMH是等邊三角形

根據折疊性質可知，折疊前后對應角相等，即∠AMB=∠NMB=∠DMN= =60°

∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC∥AD

∴∠DMN=∠BHM=∠MBC=60°，即∠HMB=∠BHM=60°，

∴△BMH是等邊三角形

本次例題的改編，是在原題的基礎上進行的，有助于培養學生的發散思維，根據原題的知識點相關內容解決這道例題，可以幫助學生靈活地運用數學學習過程中的相應知識點，在實際生活中遇到折疊問題，例如，手工制作的過程中、模型制作時等，學生能夠使用所學的數學知識解決生活中的實際問題。

二、一題多變，培養學生的創新能力

變式二：在矩形ABCD上沿著寬AB中點E對折得到折痕EF并打開，其次把矩形的頂點A沿著點B所在直線折疊，使點A落在直線EF上的點為N，再過點N作PQ⊥BC于點Q，

求證：（1）△NMP∽△BNQ；（2）BM=2NM；

（3）∠DMN=∠BMN=∠BMA；

本次變式題主要考查的知識點是相似三角形的性質定理，有著較強的綜合性。在原題的基礎上增加了一條垂直線段使PQ⊥EF。本道變式題在原題折疊的基礎上引入了相似三角形及直角三角形中有一個角是30°的相關知識，將折疊問題與相似三角形、直角三角形的知識進行了融合，使原題目由原本的6分題，變為了9分題。這樣可以培養學生綜合分析問題的能力，有助于學生創新思維的培養。

三、一題多變，鞏固知識點，建立數形結合思想

變式三：在原題的基礎上假設BM與折痕EF相交于點P，以點P為圓心，PB長為半徑畫圓跟矩形BC相交于點R，與EF相交于點N，連接PR，如下圖3：

（1）試問PB與PM有怎樣的數量關系？

（2）求證：PR垂直平分BN

（3）求證：∠BPN=2∠BMN

本道變式題是在原題的基礎上再把折疊問題跟圓結合起來。主要考查的是折疊問題、圓的內接四邊形性質、圓周角與圓心角的知識以及垂徑定理。在本道變式題中，包含的知識點種類較多，主要考查學生對知識點融會貫通的能力，而且在本道題中，將不同的知識點進行了串聯，既能使學生學習到新的知識，又能幫助學生鞏固舊的知識，考驗學生的臨場應變能力與學生的邏輯思維能力，學會數學建模的數形結合思想。

四、一題多變，培養學生自主學習能力和創新思維

變式四：在原題的基礎上建立直角坐標系（如圖4），有一條拋物線圖像經過點E、M、N，連接EM交對稱軸于點P，若NB=2，

（1）求點N和M的坐標；

（2）求這條拋物線的解析式，并寫出頂點坐標和對稱軸；

（3）在對稱軸上是否存在一點P，使得△PNM的周長最小？若存在，求出△PNM的最小周長；若不存在，請說明理由。

本道變式題將幾何問題與二次函數問題進行結合，實現了幾何問題與代數問題知識點的穿插，同時滲透了對稱和三點共線問題。此類問題一直受到中考出題人的偏愛。因為目前大多數數學類型題都要求學生不僅要具備幾何的抽象思維能力，還要具備代數的邏輯思維能力。本道變式題主要考查的知識點有：折疊問題、二次函數解析式、平面直角坐標系等。其目的是考查學生代數思維與幾何思維融合的問題，考查學生是否在數學解題思維中學會數形結合的方式進行解題。例如，在第三問中，探究△PNM的周長最小時，點P存在的位置，學生在解題的過程中首先考慮△PNM的周長最小時，點P的位置，根據已知條件求出未知的結果，有效地促進了學生自主學習能力的提高。

解題過程：

（1）由折疊易得AB=NB=2，則OE=1，點N的縱坐標可知為1，利用勾股定理得橫坐標EN= ，AM=AB·tan30°= ，即點N坐標（ ，1），點M坐標（ ，2）

（2）求出拋物線的解析式，根據第一問求出點M、N、E的坐標，將三點的坐標分別代入拋物線的圖像中，建立方程組，求出方程的解析式，并把它化成頂點式，即可得到頂點坐標和對稱軸。

（3）在求△PNM周長最小的問題時MN固定，就是求PN+PM的最小問題，利用點N和點E關于對稱軸對稱問題，PN+PM=PE+PM，當點P、E、M三點共線，即△PNM周長最小，所以點P就是對稱軸跟線段EM的交點。

此類問題一般作為中考的壓軸題出現，考查的知識點較為豐富，而且在原題的基礎上進行變形，可以將知識由淺入深地傳授給學生，學生的思維有一個充分的過渡，能夠激發學生的學習興趣，主動探索與原題相關的知識點。

五、總結與反思

本次例題的改變素材來源于課本的例題，主要選取了教材中的折紙問題，在折紙問題的基礎上對原題進行了改編，首先考查了學生對稱軸性質以及等邊三角形的知識點。第二道例題主要考查了學生相似三角形的判定定理，強化了學生以往所學的知識點內容。第三道題主要考查了學生對圓的性質的了解，以及對圓內接圖形定理的熟悉程度，垂徑定理等相關知識。第四道題主要對學生進行了綜合的考查，考查學生數形結合的能力，如何用代數問題解決幾何問題。從變式一到變式四，知識點以及解題的復雜程度都是層層遞進的，難度呈階梯式向上，學生在鞏固舊知識點后會增加學生解題的自信心，學生在解題的過程中增加了自身的成就感，更加主動地接受新的挑戰。

本次將題目變化成為四種形式，可以讓學生了解幾何的簡單折疊、雙折疊以及三折疊等問題，學生在解題過程中會發現哪些線段與哪些角在折疊后可以保持相等。此過程培養了學生使用數形結合的方式解決數學問題，促進學生創新思維的培養，激發了學生的學習熱情，有效地提高了學生解決綜合題的能力。

在本次折疊問題的教學中，還可以使用折紙，讓學生親手進行試驗工作，可以讓學生更加直觀地了解折疊原理，幫助學生更加深入地了解折疊問題需要了解的知識點，培養學生的創新思維。

綜上所述，在初中數學教學中使用一題多變的教學方式，在原有例題的基礎上進行例題的改變，能夠提高學生的創新能力，并且鞏固所學的知識點，增加學生在學習過程中的成就感，增加學生對數學的學習興趣，從而提高教學效率。

參考文獻：

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編輯 謝尾合