一類具有B-D功能反應(yīng)和Allee效應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng)的漸近性質(zhì)

李佳美 張 勇 田寶單

(西南科技大學(xué)理學(xué)院 四川綿陽 621010)

種群生態(tài)學(xué)是生物數(shù)學(xué)中的一個重要分支，而捕食者與食餌之間的動力學(xué)關(guān)系又是種群生態(tài)學(xué)的中心研究課題之一。通常情況下對一個捕食系統(tǒng)，捕食者為大個體，食餌為小個體。捕食的結(jié)果一方面將直接影響食餌的種群數(shù)量，另一方面也影響著捕食者的種群變化，兩者關(guān)系十分復(fù)雜。比如在很多捕食系統(tǒng)中，捕食者對食餌捕食的功能反應(yīng)都依賴于獵物，但在現(xiàn)實中也有許多捕食系統(tǒng)的功能反應(yīng)依賴于捕食者，特別是對于一些必須通過搜尋食物的捕食者[1]，而Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)(以下簡稱B-D功能反應(yīng))：

(1)

就是一種能較好刻畫這種捕食關(guān)系的功能反應(yīng)函數(shù)[2-3]。B-D功能反應(yīng)類似于HollingⅡ型功能反應(yīng)，它可以通過考慮時間的利用或捕食的空間限制來機械地導(dǎo)出，但它在分母中還多了一個額外項，從而更好地模擬了捕食者之間的相互干擾，這種功能反應(yīng)是由捕食者和獵物共同作用的，并且它還具有與比率依賴形式相同的一些定性特征，避免了一些在低密度下比率依賴模型的奇異行為。

事實上，傳統(tǒng)的獵物依賴型和比率依賴型功能反應(yīng)都可以視為B-D型的極限情況，例如前者可視為c=0的情況，后者則可看成a=0的情況。因此，B-D型功能反應(yīng)是一種應(yīng)用更為廣泛的功能反應(yīng)，從而引起了許多生物數(shù)學(xué)學(xué)者的關(guān)注。例如，文獻(xiàn)[4]研究了一個具有B-D功能反應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng)：

(2)

得到了系統(tǒng)持久生存與滅絕的充分條件、系統(tǒng)周期解存在唯一性、全局漸近穩(wěn)定性等動力學(xué)性質(zhì)。

另一方面，文獻(xiàn)[5]中介紹了以生態(tài)學(xué)家Warder Clyde Allee命名的一種效應(yīng)——Allee效應(yīng)，這種效應(yīng)對生態(tài)學(xué)家和數(shù)學(xué)家來說都是一個非常重要和有趣的現(xiàn)象，其特征在于能更好地描述種群規(guī)模或密度與種群平均個體適應(yīng)度之間的相關(guān)性。盡管存在著許多針對Allee效應(yīng)的生態(tài)學(xué)機制，但促成Allee效應(yīng)的促進(jìn)行為主要包括配偶限制、合作防御、合作性喂養(yǎng)和環(huán)境調(diào)節(jié)等。雖然這些行為可分為不同的類別，但它們可以重疊并且僅在特定條件下才會運行，例如：只有在有捕食者或競爭對手出現(xiàn)時合作防御才會有用。近年來，對Allee理論演化而來的捕食-食餌系統(tǒng)的種群動力學(xué)模型的建立和研究備受關(guān)注。

基于上述生態(tài)學(xué)背景，本文建立了下面的一類具有B-D功能反應(yīng)和Allee效應(yīng)的非自治捕食系統(tǒng):

(3)

文章下面的討論是在如下條件(4)下進(jìn)行的：

(4)

1 系統(tǒng)的持久生存

當(dāng)x(0)>0;

當(dāng)y(0)>0時。

引理2 設(shè)(x(t),y(t))T是系統(tǒng)(2)初始值為正的任一正解，則：

(1) ?T1>0，使得當(dāng)t>T1時有：x(t)≤M1;

證明：(1) 由系統(tǒng)(2)的第一個方程有

(2) 由系統(tǒng)(2)的第二個方程有

一方面，若y(0)≤M2，則當(dāng)t≥0時有y(t)≤M2;若y(0)>M2,則?T2>0，使得當(dāng)t≥T2時，y(0)≤M2,即總?T2>0,使得當(dāng)t≥T2時y(t)≤M2.

定理1 系統(tǒng)(2)若滿足條件(3)和下列條件：

(4)

(5)

(6)

則系統(tǒng)(2)將最終一致持久生存，其中

證明：當(dāng)t≥T時，由系統(tǒng)(2)的第一個方程得：

存在當(dāng)T3≥T1時，使得t≥T3時有x(t)≥m1.

再看系統(tǒng)的第二個方程，當(dāng)t≥T3時，有

于是?T4>0,使得t≥T4時總有y(t)≥m2>0 .

取T=max{T1,T2,T3,T4}，則t≥T時總有：m1≤x≤M1,m2≤y≤M2.

2 周期解的存在性及全局漸近穩(wěn)定性

在本節(jié)中我們將假設(shè)系統(tǒng)(2)的所有參數(shù)均為時間t的具有ω周期的正的連續(xù)函數(shù)，則稱對應(yīng)的系統(tǒng)為系統(tǒng)(2)的ω-周期系統(tǒng)。

定理2 如果周期系統(tǒng)(2)滿足式(3)-(6)，則系統(tǒng)(2)至少有一個正的周期解。

接下來考慮周期解的唯一性及全局漸近穩(wěn)定性。

定理3 若ω-周期系統(tǒng)(2)滿足式(3)-(6)及下列條件

(7)

則系統(tǒng)有唯一的全局漸近穩(wěn)定的周期解。

證明：由定理2知系統(tǒng)(2)在滿足式(3)-(6)時至少存在一個嚴(yán)格正的周期解，不妨設(shè)為U(t)={u(t),v(t)}，設(shè)X(t)={x(t),y(t)}是系統(tǒng)(2)具有正初始值的任一解。由定理1知，系統(tǒng)(2)任一具有正初始值的解，最終進(jìn)入K1,因此不失一般性，設(shè)U(t),X(t)∈K,t≥0，構(gòu)造Lyapunov函數(shù)：V(t)=|lnx(t)-lnu(t)|+|lny(t)-lnv(t)|，則有：

其中

又

|D1(t)|≤

|D2(t)|≤

所以

D+V(t)≤

|x(t)-u(t)|+

由條件(7)知，存在γ>0，使得

D+V(t)≤-γ[|x(t)-u(t)|+|y(t)-v(t)|]即

3 數(shù)值模擬

再取兩個初值x(0)=25,y(0)=10;x1(0)=40,y1(0)=30，利用Matlab求解作圖，結(jié)果如圖1所示。從圖中可以看出，此時系統(tǒng)的兩個種群在兩組初值條件下都是一致持久生存的，并且隨著時間的增大，不同初值條件下的種群密度時間序列最終趨于吻合，這也就進(jìn)一步佐證了系統(tǒng)周期系統(tǒng)(3)存在周期解，并且該周期解還是漸近穩(wěn)定的，如圖3所示。

圖1 持久生存的數(shù)值模擬Fig.1 Numerical simulation of the persistence of the system

圖2 出現(xiàn)滅絕的數(shù)值模擬Fig.2 Numerical simulation of the extinction of the predator

圖3 周期性數(shù)值模擬Fig.3 Numerical simulation of the periodic solution of the system

4 結(jié) 論