如何讓其他學生學習優秀生的數學思維方法

黃河清

[摘? ?要]優秀生在數學學習上有許多有別于他人的思維方式和學習習慣，這讓他們在數學學習中總能領先一步.認真研究優秀生數學思維的特點，指導更多學生學習、借鑒，這對大面積提高數學教學的效益有很好的促進作用.

[關鍵詞]優秀生;數學思維;問題導學;學習策略

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）02-0001-03

我們常常驚嘆一些學生數學成績為何如此優異，羨慕他們數學學習上的悟性，甚至認為這都是遺傳或天賦所然.事實并非如此，很多理論與實踐研究表明，優秀生能力超人主要靠后天積累.其中，思維方法精良、思維積極性超群是最重要的因素.怎樣深入了解優秀生的思維方法，促進其他學生改變原有學習方式，提高其他學生的思維能力？優秀生的數學思維有哪些基本特征呢？筆者認為主要表現為以下幾個方面.

一、注重“拓展”，想得更“遠”

借用《桃花源記》中的情景：走進桃花林，有些人只會欣賞桃花，眼睛只停留在“桃花”上;有些人不僅會欣賞桃花，還會尋到桃林盡處、溪流源頭方罷;而真正的探尋者哪怕到“山窮水盡”時，仍去努力發現山洞，憑借 “仿佛若有光 ”的聯想，猜想山洞那頭必有另一番天地并努力前往，最終發現新景象.

這和數學學習上的道理是一樣的.不少學生想象太“窄”，學習只考慮眼前事，很少主動往“遠”處想，限制了思維的展開.像對公式的學習，大多數學生只局限于套用公式，思維停留在 “認知”階段;中等學生雖然解決了認知問題，但很少思考公式變形、怎樣轉化等.優秀生就不一樣，他們不滿足于一般的認知，不滿足于“已理解”，喜歡刨根問底，總是努力尋找疑點，去猜想公式是否有多種形式，是否存在反例.遇到問題，他們喜歡“正反”看、“左右”看、“前后”看、 “上下”看，既能整體思考又能局部分析，使得他們的思維空間更大.例如，對一個變“元”，一般學生常常習慣把它用一個x表示，但優秀生就敢于把代數式中多次出現的同一結構成分看作新“元”x，從而把復雜的代數式看成關于新“元”的簡單式子，使思維得以順利進行.主動拓展，是優秀生反應快的原因之一.

二、注重“積累”，記得更“牢”

數學學習不是建“空中樓閣”，它是建立在一定知識、技能基礎上的.你要聯想，你就要有東西可“想”，這些“東西”就是你所學過的知識、方法，沒有強大的知識儲備，記得不“熟”、不“牢”，你的“聯想”就無法展開.

優秀生之所以能對所學內容總做到熟練于心，其奧秘在于他們會“讀”書，能主動構建自身的知識框架.這體現在幾個方面.

一是讀課本，過好教材關.課本是知識的呈現和概括，要讀懂、讀透.讀課本可從三方面去抓好：讀目錄、列知識清單、找核心內容.

讀目錄，每本書、每章書、每節書到底講什么內容，目錄是最畫龍點睛的，要讀好、記牢目錄，這樣知識要點、脈絡就清楚了;列知識清單，要根據課本內容把相關知識做個梳理，進行排序或列框架圖，使眾多的知識一目了然，幫助記憶;找核心內容，要將這個單元的重要概念、重要方法、重要數學思想進行提煉，使重點知識更突出.知識能否記“熟”、記“牢”，完全取決于你是否這樣認真去讀課本，是否這樣認真去訓練，是否這樣認真去堅持.

二是讀題，過好習題關.習題是檢驗運用所學知識解決問題能力的基本考量.認真讀題，就是要學會了解題目設置的目的所在，題目考查了哪些知識、方法，它與所學知識有什么內在聯系，等等，強化對知識學習的深入理解.

讀題首先要一題一題讀.課本每道題都有其鮮明的用意，考查什么、怎樣考查，要求各有不同，要讀懂其含義，明白為什么出了第一題還要出第二題;其次要一套一套讀.套題從某個層面講，就是一章（節）知識的概括，反映了一章學習的主要內容和方法，把套題讀懂讀熟，既得到了訓練，也把本章知識做了很好的復習，一舉兩得;三是讀題要一遍一遍讀.一遍讀不懂再來一遍，你對知識的認知就強化了一遍，再分析哪些題是真“懂”真“會”的，哪些題是“懂”而“不會”的（課堂上聽得懂遇到問題不會做），哪些題是不“懂”又“不會”的，從而明確自己努力的方向.

多“讀”，對知識和解題方法的理解就會不斷深入，就能做到熟能生巧，能力的提升就會“螺旋式上升、 波浪式前進”.這是優秀生反應快的原因之二 .

三、注重“聯系”，轉化更“快”

很多學生遇到新問題時，常常找不到思路，不知如何入手.因為，他們缺少廣泛的“聯系”意識，不會主動將新問題與舊知識聯系起來，造成思維受阻.

優秀生的一個重要特質，就是他們喜歡聯系猜想.一見新問題，就會立即回憶以前解過的老問題，努力從中得到啟發.而能否找到合適的老問題，常常取決于怎樣在新問題中尋找熟悉的成分，一旦發現，就立即回想有關的老問題，回憶其解法，利用它擬出全局或局部解題方案，哪怕僅僅引出關于解題方向的預感、猜測也好.換言之，優秀生總是試圖把學過或解過的問題，都變成解難題的跳板，在知識與難題之間架設一座橋梁.

優秀生非常善于轉化.當他們一時想不到合適的定理，沒辦法把難題分解時，就會迅速轉換路徑，覓取其他解題信息，引出新的猜想，從而找到下一步思維的方向，使問題由陌生轉化為熟悉.

轉化有多種形式，有加減法的轉化、乘除法的轉化、乘方與開方的轉化、對數與指數的轉化、數形轉化等.而添置輔助線、設輔助元、構造方程、構造不等式、構造模型等，也是實現轉化的具體手段.轉化有等價轉化與不等價轉化兩種.等價轉化后的新對象與原對象的形式不同，但實質一樣.不等價轉化則部分地改變了原對象的實質.例如，解簡單的無理方程時，通過在方程兩端乘方將無理方程轉化為有理方程，新方程與原方程未必同解，這個轉化就是不等價轉化.這時，就要對所得結論進行必要的修正（如驗根）.轉化的意識不僅來源于做習題，更來源于對習題典型解法的總結、回味與“提煉”，堅持訓練，思維才能更規范、更科學.能注重聯系，迅速轉化，是優秀生反應快的原因之三.

四、注重“發散”，探索更“深”

發散性思維是創造性思維的主導成分，對創造性思維的產生和發展有著極大的作用.數學學習要敢于發散思維和標新立異，敢于另辟蹊徑，培養創新品質.

優秀生從不就題論題，他們常常在解決問題的過程中，努力感悟更多的數學思想方法.他們通過一題多解、一題多串、一空多填、一問多答、一題多證等形式的訓練，培養思維的發散性.他們十分注重挖掘解題過程中的“副產品”，常常會把習題升華為定理形式，訓練自己由表及里、去粗取精、抽象概括和文字表達等能力.他們喜歡通過減弱條件、加強結論等方式，嘗試得到更“精”的命題，或者去探討逆命題的真假，等等.換言之，優秀生解一道題往往可以引出幾道新題，并存入腦海，使知識體系和方法積累不斷膨脹，使思路向各方延伸，這讓他們在解決新問題時，更容易識別那些改頭換面的題目.這是優秀生有驚人的聯想力和記憶力的奧秘所在.

舉個例子，解方程[x2-4x+7+x2-4x+7=6].學生通常都是用常規的換元法或移項平方求解.但有的優秀生卻發現到這樣的特點：[6=4+4]，于是推出[x2-4x+7=4]，解得[x1=1，x2=3]都是原方程的解.多有創見的解法！可以說，注重發散、勇于探索是優秀生反應快的原因之四.

五、注重“猜想”，方法更“多”

數學中的猜想，是依據某些知識和已知事實，對未知量及其關系做出的似真推理，是科學假說在數學中的體現.牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就沒有偉大的發現.”猜想是點燃創造性思維的火花，數學創造往往開始于不嚴格的猜想，“觀察（實驗、分析）—猜想—證明”是數學乃至科學發展的重要途徑.因此，數學學習要注重依據經驗素材，利用實驗、歸納、類比、變換條件等手段，對所研究的問題通過合情推理，形成數學猜想，并通過邏輯驗證其結論，尋找解決問題的辦法.

優秀生經常訓練似真推理和反面思維，他們以特殊化、極限化、猜測、類比、歸納、模擬等似真推理為嘗試，去尋找可能的解題方向，這使他們不斷提高自主發現、舉一反三的能力.他們對似是而非的猜測總不滿足，一定要弄個水落石出;他們從不盲從于任何結論，總是想方設法構造反例推翻它，實在找不出反例才想辦法去證明它.注重構造反例，也是優秀生的一種特質，它是一個人理解力、創造力和論證力的集中反映，是思維能力強弱的重要表現.優秀生還常常運用特殊化手法先檢驗命題的可靠性，并順著這條思路尋找反例或解法.注重“猜想”，強化似真推理，是優秀生反應快的原因之五.

六、注重“內化”，掌握更“實”

建構主義學習理論認為，知識并不是對現實世界的客觀反映和準確表征，而是動態生成的，應該是學生在與自然的對話中主動建構的.其次，學習者是學習的主體，學習過程是學生主動建構自己知識的過程.它還認為，人的學習可以分為“初級學習”和“高級學習”兩種類型.在初級學習階段，學習過程主要是一種掌握結構性知識的過程，學習者由此獲得的往往是普遍而抽象的事實、概念和原理.高級學習主要是獲得非結構性的知識與經驗的過程，學習者由此獲得的是與具體情境相關聯的知識，這些知識是在解決問題的過程中不斷建構出來的.

優秀生學習上特別體現出建構主義學習理論的影子，他們總是積極參與教學活動的感知過程和理解過程;參與定義、結論的引入過程，主動培養實驗觀察力和探究意識;參與定義、結論的抽象過程，積極發展抽象思維能力和理解能力;參與例題的分析過程，培養想象力和運用數學思想方法的能力.一句話，他們在學習過程中，十分注重知識的內化，總是努力從自己的角度出發去思考問題、理解問題，而不盲目接受.他們很少去死記硬背自己不理解的東西，總是努力讓每一個知識在理解的基礎上去掌握.優秀生在解決數學問題面對疑難時，他們請教教師的方式也和一般學生不一樣，他們決不僅僅問教師怎么做，或者被動地接受教師的觀點，而是把自己解決問題的思路全盤向教師端出，讓教師了解自己的困惑所在，促使教師沿著自己的思路去分析問題，指導自己突破難點.因此，每一次請教教師，他們都能真正解決自己的困惑，這比很多學生經常簡單地讓教師幫助解題受益大得多.假以時日，他們擁有的知識更“實”，這是優秀生反應快的原因之六.

七、注重“超前”，思考更“廣”

創造性思維的特點是創新，不是重復，它要求具有較強的思維獨立性.思維的獨立性就是善于獨立地發現問題、分析問題和解決問題.

優秀生大多數都具有超前的意識和能力，無論在聽課還是在自學，都注重超前思考、超前學習.課堂中只要留心觀察你就會發現，當教師還在幫助一般學生理解問題、解釋命題時，在許多學生還在等待老師“下回分解”時，優秀生早就自行“上路 ”了.也就是說，教師才走第一步，他們就已經走第二步、第三步，甚至已經“跑”完了教師的所有思路，正在尋找別的解法.超前思考有很多益處，如能先于其他學生遇到問題，在遇到困難時，他們能有目的地等候教師的講解，而當教師點到，一般學生還未回過神來時，他們早已露出成功的喜悅.優秀生為什么能做到超前思維？究其原因，主要靠思維方法精良，也靠長期積極思維的習慣和毅力.一般學生缺乏這樣的習慣和毅力，常常就會自學到“半桶水”時就沾沾自喜、滿足，不愿超前思考，最終就會與優秀生拉開差距.這里要特別說明的是，預習不是思維超前，預習只是認知超前，與思維超前截然不同.

綜上可知，優秀生臉上“天賦”的面紗其實是超常思維的綜合體，他們依靠的是思維方法精良、擁有積極思維的習慣與毅力等.其他學生要學會從他們的思維方式中吸取精華和選擇適合自己的方法，不斷地轉變思維方式，這樣才能讓思維更活，數學學習更順暢，數學學習能力提升更快.

（責任編輯 黃桂堅）