企業利潤數學模型的建立與分析

王子龍

摘 要 利潤是企業可持續發展的基石，如何用最小的成本獲得更多的利潤是股東繼續經營企業的根本。本文以企業利潤最大化為目標，通過對其進行數學模型的建立及相應的方法分析，并以某企業往年利潤數據為例，進行企業過程數據分析，為將數學模型分析方法應用于企業經營等日常經濟管理提供思路。

關鍵詞 利潤 數學模型 數據分析 最值

一、引言

隨著社會生產的專業化與規模化發展，在社會資源有限的情況下，人力成本越來越高、環保壓力越來越大，造成企業的生產壓力不斷增大，利潤空間也餓越來越小。很多情況下，企業會通過升級技術裝備、減少用工成本，進而提高實際盈利能力，但是裝備設施的升級成本也很高，很多企業無法承受，這就給許多企業帶來困擾，甚至由于經營不善最終導致破產。近些年隨著一些先進管理理念的引進，企業家們開始不斷嘗試采用基于數學分析的方法，為企業經營提供新的思路與方法。

基于數學分析的管理方法主要是借助數學模型對企業全過程進行精密管理，通過對實際經營過程的不斷分析優化，為企業生產節約資源，減少不必要的成本支出，給企業帶來新的利潤空間。本文主要結合數學建模方法，闡述了經濟分析中的典型數學工具，并以某工廠的利潤進行了應用分析，為企業經營發展提供新的方向與基礎。

二、經濟分析中的數學工具

（一）數學模型

數學模型從概念上說，是借助數理邏輯與數學語言建立的一種描述對象的某種特性所呈現的關系表達式。從廣義上來理解，數學模型是由數學中的相關概念、公式與理論所組成，建立數學模型就是要對現實物理世界進行抽象描述，從某種意義上來說，整個數學基礎可以看成是一門有關建立數學模型，并進行數學分析的科學。從狹義上來理解，數學模型是指描述那些特定問題或特定事物及系統的數學關系式，這也可理解為是對一個系統內各變量間關系的一種數學表達方式。

數學模型的應用歷史可以追溯到早期使用數字的時代，隨著人類采用數字來進行簡單的計數到現在進入數字化時代，就開始不斷地采用并建立各種對象的數學模型，以解決日常生產生活中的各種現實問題。如很多科技工作者主要工作就是對特定對象進行特性研究、教師借助數據對學生進行綜合評價分析、企業對生產過程與采購過程數據進行分析等，其本質都是基于特定數學模型，借助數學方法進行內在規律的分析與挖掘。

（二）數學建模與數學分析方法

數學模型是對真實物理世界的一種描述表達方式，因此在實際數學建模過程中必須要求符合客觀物理規律，才能為后續的數學分析提供有力的模型基礎，確保得到精確可靠的分析結果。主要體現在以下三方面：

第一：要求數學建模的真實完整性。真實完整性是要求所建立的數學模型是真實的、系統的、完整的，且要與實際情況相符合。

第二：要求數學建模的簡明實用性。是指在實際建模過程中，盡量地保留系統本質問題及內在關系，對于非本質的、次要的、對反映客觀真實程度影響不大的要素可以進行舍去，這樣在保證模型精度的基礎之上，實現模型簡單化和易操作性，同時也需要兼顧數據的可采集性。

第三：要求數學建模具有適應性。是指隨著外部環境和人們理解事物能力的變化，只要通過對之前所建立模型中的相關變量及參數進行調整，確保調整后的模型具有很好的適應性。

在模型的基礎之上，要想得到可靠的分析結果，良好的數學分析方法是十分關鍵的。對經濟領域的問題分析，往往最終都轉化為求解模型的最值極值問題。

因此可以說，數學模型是解決實際問題的基礎，而數學分析方法是解決實際問題的有力工具，兩者之間具有相互關聯，且密不可分的關系。

三、某工廠利潤的數學分析

（一）企業利潤最大化原則

總所周知，企業生產的目的是生產銷售商品，進而獲得實際利潤，為了衡量企業的生存擴張能力，其利潤率水平是一個十分關鍵的指標。在實際企業運營過程中，企業家們總是追求利潤的最大化。

企業利潤最大化原則[4]是指產量的邊際收益要等于邊際成本，邊際收益是指生產商品過程中最后增加單位產量所增加的實際收益，而邊際成本是指生產商品過程中最后增加單位產量所需要的實際支出。可見，如果最后增加單位產品生產時，其邊際收益大于邊際成本，則企業便會繼續生產，進而實現利潤最大化，否則企業便會停止生產。從數學的最大值原理可以知道，當邊際收益與邊際成本相等時，企業的總利潤最大，可見這是企業利潤最大化的條件，適合所有的市場結構模型。

（二）某工廠過程數據分析

現在以工廠生產兩種產品為例進行過程數據分析。某工廠在計劃期內要安排生產甲、乙兩種產品，已知生產單位產品所需要的設備臺時和兩種原材料的消耗以及資源的限制情況，如表1所示。

其中該工廠每生產一單位產品A可獲利50元，每生產一單位B產品可獲利100元，因此工廠就會考慮如何生產產品A和B才能實現利潤率最大。

該問題已經不是生產技術問題，而是生產管理問題，為了解決這個實際生產管理問題，其解決的方法是采用數學模型與數學分析的工具。因此需要按照文章第2部分所描述的過程進行分析。

首先，確定決策變量。工廠目前要決策的是產品A和產品B的生產量，可以用變量X1和X2來表示，即：決策變量X1表示生產產品A的數量；決策變量B表示生產產品X2的數量。由于它們表示產品產量，所以只取非負數。

其次，根據問題的限制條件，列出表示條件的線性不等式。對于臺時數方面的限制可以表示為x1+x2≤300，原材料的限量可以表示為2x1+x2≤400和x2≤250。除了上述約束外，顯然還有x1≥0，x2≥0。

最后，根據實際問題所追求的目標，列出其線性表函數式。則總利潤可表示為Z=50x1+100x2。

綜上所述，得到了描述該問題的一組數學表達式：

目標函數為：Max z=50x1+100x2 （1）

約束條件為：

由式（1）（2）所建立的數學描述即是對該工廠生產A/B兩種產品的數學模型，因此只要對其進行數學分析即可得到科學合理的決策依據。

（三）某工廠數據分析結果

3.2節所描述的數學模型中，目標函數為變量的線性函數，約束條件也為變量的線性等式或不等式，故此模型稱之為線性規劃。如果目標函數是變量的非線性函數，或約束條件中含有變量非線性的等式或不等式的數學模型則稱之為非線性規劃。把滿足所有約束條件的解稱為該線性規劃的可行解。把使得目標函數值最大（即利潤最大）的可行解稱為該線性規劃的最優解，此目標函數值稱為最優目標函數值，簡稱最優值。

結合高中所學的線性規劃方法，可以根據線性約束條件采用圖解進行分析，如圖1所示。

從圖1就得到了問題的最優解為B點，B點的坐標為（50，250），因此最佳決策為X1=50，X2=250，此時Z=27500這說明該廠的最優生產計劃方案是生產A產品50單位，生產B產品250單位，可得最大利潤27500元。

因此，當生產50單位A產品，250單位B產品才能使工廠獲得最大利潤，同樣，在該工廠其他方面的銷售或成本方面的問題也可以采用此類方法進行優化與解決。當然，數據的分析必須精準嚴密。相信依據對數學模型的合理應用加上對實際生活中的需求了解，該工廠在未來的發展道路上能把利潤最大化并越走越遠。

四、結語

數學不僅是工程技術的基礎，也是企業經營管理和國民經濟分析的基礎。本文通過對經濟分析中數學模型的建立與數學分析方法的闡述，來探討經濟中的數學問題，并通過實例闡述企業利潤最優問題的求解。通過從原理到實例的論述，為企業經營和社會經濟中的優化問題采用數學方法得到解決提供了新思路與新方法，不僅如此，當前大數據技術在經濟中的分析也正在如火如荼開展，相信在數學工具的幫助下，人們將會越來越多地通過數據挖掘內在的規律，為人們進一步深入掌握經濟運行規律提供有力技術基礎。

參考文獻：

[1] 李銀魁，許雁琴.優化商品經營利潤的數學模型[J].河南機電高等專科學校學報，2005，13（4）：86-88.

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[4] 郝芳，王淑英.數學模型在經濟產業中的應用[J].經濟研究導刊，2016（17）：48-49.

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