求雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率的新方法

吳 曉

（湖南文理學(xué)院?機(jī)械工程學(xué)院，湖南?常德?415000）

連續(xù)梁在土木、機(jī)械等實(shí)際工程中得到了廣泛的運(yùn)用。文獻(xiàn)[1]利用臨界載荷特征方程研究了任意線彈性支承的雙跨壓桿穩(wěn)定性，文獻(xiàn)[2]利用梁函數(shù)及能量法求得了兩等跨剛度不同連續(xù)梁的固有頻率，文獻(xiàn)[3]采用文獻(xiàn)[2]的計(jì)算方法求得了不等跨兩跨連續(xù)彈性支座梁的固有振動(dòng)頻率，文獻(xiàn)[4]采用固有頻率特征方程研究了失諧連續(xù)雙跨梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。采用以上方法計(jì)算雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率的工作量都比較大，但是，采用文獻(xiàn)[5，6]的計(jì)算方法研究雙跨連續(xù)梁的彈性穩(wěn)定及固有振動(dòng)，可以克服文獻(xiàn)[1-4]計(jì)算方法的不足。

1??臨界載荷計(jì)算公式

圖1 雙跨連續(xù)梁

對于圖1所示雙跨連續(xù)梁，假設(shè)其在外載荷作用下的撓度函數(shù)可用組合三角函數(shù)表示為：

式（1）中：a1，a2，a3為待定常數(shù)。

參閱文獻(xiàn)[7，8]可知，圖1所示雙跨連續(xù)梁的屈曲勢能表達(dá)式為：

式（2）中：E為彈性模量；I為慣性矩；P為軸向壓力。

由于中間支撐位移為：

式（3）中：

利用式（2）、式（3）可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

式（4）中：η為拉格朗日系數(shù)。

3.項(xiàng)目設(shè)計(jì)的數(shù)量要合理且可以量化評分。高職院校的思想政治理論課主要開設(shè)思想道德修養(yǎng)與法律基礎(chǔ)、毛澤東思想和中國特色社會主義理論體系概論兩門課程，兩門課程的實(shí)踐教學(xué)時(shí)數(shù)一般為16節(jié)。如果每一章都設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)踐教學(xué)項(xiàng)目明顯是不合理的，也是不現(xiàn)實(shí)的，因此每門課程的實(shí)踐教學(xué)項(xiàng)目的數(shù)量應(yīng)與教學(xué)時(shí)數(shù)相吻合，每門課程四到五個(gè)項(xiàng)目即可。實(shí)踐教學(xué)項(xiàng)目的開展雖然尊重學(xué)生的主觀能動(dòng)性和自主創(chuàng)新能力，且在項(xiàng)目實(shí)現(xiàn)過程中注重分工與合作，但活動(dòng)開展的效果最終還是要納入課程的考核體系計(jì)算總評成績的。因此項(xiàng)目的設(shè)計(jì)要科學(xué)合理，對學(xué)生在項(xiàng)目實(shí)施過程中的表現(xiàn)有比較客觀的評價(jià)指標(biāo)體系，能夠量化評分。

把式（1）代入式（4）中可得：

2??固有頻率計(jì)算公式

圖1 所示雙跨連續(xù)梁固有振動(dòng)時(shí)，可設(shè)其動(dòng)位移為：

式（9）中：ω為固有頻率，θ為相位，t為時(shí)間。

參閱文獻(xiàn)[7，8]可知圖1所示雙跨連續(xù)梁固有振動(dòng)勢能為：

式（10）中：m為梁單位質(zhì)量。

利用式（3）、式（10）可構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為：

把振型函數(shù)Y（x）代入式（11）中可得：

式（12）中：

利用式（12）可得：

利用式（3）、（13）可得：

式（14）中：

利用式（14）可得：

由式（15）可知圖1所示雙跨連續(xù)梁的一階固有頻率、二階固有頻率計(jì)算公式分別為：

3??計(jì)算分析

為了分析本文的計(jì)算精度，把式（8）的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的計(jì)算結(jié)果列在表1中，把式（16）的計(jì)算結(jié)果列在表2中。

表1 臨界載荷 P

表2 固有頻率

由表1可知，μ=0.5時(shí)，本文式（8）的計(jì)算結(jié)果就是精確解，μ=0.4、0.3、0.2時(shí)，本文式（8）的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的精確解誤差非常小。即使μ=0.1時(shí)，本文式（8）的計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[7]的精確解誤差也僅為3.69%，沒有超過實(shí)際工程所允許的誤差5%。

由文獻(xiàn)[8]可知，最左端與最右端皆為簡支撐的連續(xù)梁固有振動(dòng)頻率公式為：

式（17）中：i=1，2，…，n；n1=1，n2=1.25；N為連續(xù)梁中間支撐個(gè)數(shù)。

由式（17）可知圖1所示雙跨連續(xù)梁的一階固有頻率、二階固有頻率分別為：

從以上分析可知，本文方法研究圖1所示雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率，不但計(jì)算精度高且計(jì)算簡便，更易于工程設(shè)計(jì)人員實(shí)際工程中掌握應(yīng)用。

4??結(jié)束語

為了研究圖1所示雙跨連續(xù)梁臨界載荷及固有頻率，引入拉格朗日系數(shù)構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，把拉格朗日函數(shù)對撓度函數(shù)中待定系數(shù)求極值，即可求得雙跨連續(xù)梁的臨界載荷及固有頻率。此方法不但計(jì)算精度高且計(jì)算簡便，更易于工程設(shè)計(jì)人員實(shí)際工程中掌握應(yīng)用。