旋轉葉片-柔性機匣碰摩振動響應分析

郭旭民， 孫 祺， 馬 輝,2,3， 孫 帆

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院, 沈陽 110819;2. 東北大學 航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室, 沈陽 110819;3. 上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室, 上海 200240)

航空發動機常運行在高溫、高壓和高轉速環境下，同時為了提高航空發動機性能，需盡量減小葉片和機匣間隙，因此在這種極端工況下極易導致葉片-機匣碰摩。

由于這種問題的存在，所以國內外學者對葉片-機匣碰摩模型進行了大量的研究。Sinha[1]研究了帶葉片的柔性轉子與剛性機匣的碰摩動力學特性以及碰摩導致的系統復雜振動響應。Lesaffre等[2]基于Sinha提出的轉子葉片模型，采用勞斯-赫爾維茨判據分析了旋轉梁和柔性環碰摩穩定性。太興宇等[3]將葉片等效為氣動載荷和離心載荷作用下的懸臂梁，將機匣簡化為單質量彈簧-阻尼模型，推導了葉片-機匣碰摩表征模型。Ma等[4]由能量守恒定律推導了新的旋轉葉片和彈性機匣碰摩模型，并討論了侵入量，機匣剛度，摩擦因數，葉片幾何尺寸對法向碰摩力的影響。

在圓柱殼振動特性方面，學者們也做了較多研究。Hemmatnezha等[5]通過實驗與數值模擬相結合的手段研究了加筋復合材料圓柱殼的自由振動特性，并對比了不同表面厚度和邊界條件對殼固有頻率的影響。Rodrigues等[6]研究了模態耦合對直接激勵下的圓柱殼的動力學影響，結果發現圓柱殼在最低階固有頻率附近的幾個相近頻率處會產生多個共振。Song等[7]基于Donnell殼理論采用瑞利-李茲法對任意邊界條件下旋轉層壓圓柱殼的行波振動進行了分析，通過在自由邊界條件下引入彈簧，并改變彈簧剛度來進行任意邊界條件下圓柱殼的行波振動分析。王宇等[8]針對固支-自由約束條件下的薄壁圓柱殼，基于Love殼體理論，利用振型疊加法研究了受徑向諧波激勵和沖擊載荷激勵時圓柱殼的振動響應特性。李暉等[9]搭建了4種不同激勵形式的測試系統，對圓柱殼固有頻率進行了試驗研究，并提出了約束態下薄壁圓柱殼固有頻率的測試流程。曹志遠[10]系統介紹了殼體動力學基本理論和研究方法，為國內板殼動力分析方面的研究提供了必要的基礎知識。

根據一些學者的實驗測試發現，葉片-機匣單點或局部碰摩的接觸力類似于周期性脈沖力[11-12]，根據這種特定的碰摩情況，一些學者給出了基于脈沖力模型的葉片-機匣碰摩模擬方法。Turner等[13-14]將碰摩力假定為脈沖力，采用有限元法研究了葉片-機匣碰摩時外力作用時間和最大葉片變形的關系，分析了葉片在不同碰摩情況下的振動形式。太興宇等[15]采用Timoshenko梁建立了旋轉葉片在脈沖力加載下的動力學方程，并對不同轉速下的葉片動力學特性進行數仿真。Legrand等[16]根據機匣葉盤系統的二維模型，分析了葉盤在機匣k節徑模態振型下的接觸問題，并分析了轉速對葉片-機匣碰摩的影響。

通過上述分析發現，現階段國內外學者對葉片-機匣碰摩的研究多關注在旋轉葉片的動力學建模方面，但在機匣建模方面，則將機匣簡化為單質量彈簧-阻尼或柔性環。而Rodrigues等對圓柱殼振動特性的研究也取得了豐富的成果。本文則將兩者結合，將機匣簡化為圓柱殼模型，基于ANSYS有限元軟件，建立新的旋轉葉片-柔性機匣碰摩模型，著力探究碰摩對機匣節徑振動的激發規律，同時通過對比本文模型和集中質量點模型來比較兩種模型下碰摩對葉片和機匣振動響應的影響。

1 旋轉葉片-機匣振動的有限元動力學模型

旋轉葉片-機匣振動的動力學方程可表示為

(1)

式中：Cb和Cc分別為葉片和機匣的阻尼矩陣，這里均采用瑞利阻尼進行計算，其表達式如下

Cc=Cb=αMb+βKb

(2)

式中

其中：ω1和ω2分別為葉片的第1，2階固有頻率；ξ1和ξ2分別為對應的第1，2階模態阻尼比。其他符號的描述見參考文獻[17]。

(3)

機匣采用Shell281單元來模擬。機匣的約束方式為簡支約束，即機匣一端的所有節點約束3個平動方向自由度，另一端的所有節點約束除軸向外的其他2個平動方向自由度。接下來，本文基于機匣固有特性對網格進行了收斂性檢查(見表1)。值得說明的是，對圓柱殼劃分網格時，周向網格數用p表示，軸向網格數用q表示。從表1中可以看出網格數量為256×8時，圓柱殼的固有頻率已經收斂。因此，在分析葉片-機匣碰摩響應時，圓柱殼采用的網格數為256×8。在本文研究中，機匣參數設置如下：長度Lc=0.1 m，內徑Rc=0.307 12 m，厚度hc=0.002 m，彈性模量Ec=125 GPa，泊松比υc=0.3，密度ρc=4 370 kg/m3。

圖1為旋轉葉片-柔性機匣有限元模型示意圖，其中OcXYZ為整體坐標系，Ω為葉片轉速。這里的機匣中曲線是指機匣中曲面上Lc/2處的圓。葉片采用Beam188單元來模擬，沿徑向等分為20份，共21個節點，忽略葉根-圓盤榫連結構的影響，葉根節點(節點1)約束形式為全約束。本文假設葉片-機匣在碰摩過程中，葉片表面受到均布的氣動力作用，并且考慮葉片因旋轉導致的科氏力效應、旋轉軟化效應和離心剛化效應。

圖2為本文所研究機匣模型的前3階模態振型(m,n)，其中，m表示軸向半波數，n表示周向波數。

(a) 整體振型

(b) 周向振型

2 碰摩力模型建立

由幾何關系推導葉尖與機匣內壁間的初始間隙函數

PQ2+OQ2=OP2

(4)

圖3 旋轉葉片-柔性機匣碰摩示意圖

((rg+ggap)sin(Ωt+φ))2+

(5)

對上式求解可得到初始間隙函數ggap表達式為

(g0-cmin)cos(Ωt+φ)-rg

(6)

(7)

每個載荷步下都要判定葉尖與機匣之間是否發生碰摩。葉尖節點的侵入量δi的表達式如下

(8)

當侵入量大于0時發生碰摩，在葉尖節點上施加法向和切向碰摩力，同時在對應的機匣節點i上施加大小相等方向相反的法向和切向碰摩力。當侵入量等于0時不發生碰摩，即：

(9)

Ft=μFn

(10)

式中，Fn為法向碰摩力；Ft為切向碰摩力；μ為摩擦因數。fn的表達式如下

(11)

葉片旋轉過程中葉片表面始終受到均布的氣動力的作用，葉片所受氣動載荷表達式如下[18]

Fe=Fe1sin(neΩt)

(12)

式中，Fe1=225.73為氣動力載荷的幅值(N/m)；ne=20為障礙數目。

根據以上分析，得出模擬碰摩過程的流程圖，如圖4所示。

圖4 葉片-柔性機匣碰摩過程流程圖

3 圓柱殼與集中質量點模型響應對比

現有模型在判斷葉片-機匣碰摩時大多是將機匣簡化為集中質量點來考慮，該模型在葉尖與機匣的最小間隙處用一個質量彈簧-阻尼系統來模擬機匣，詳見參考文獻[3]，這樣做雖然處理起來簡單但卻忽略了機匣柔性對碰摩的影響?，F在相同條件下，分別將機匣簡化成集中質量點模型和圓柱殼模型，對兩種模型的碰摩響應進行對比，結果如圖5、圖6和圖7所示，葉片幾何參數及碰摩仿真參數見表2。

圖5中的集中質量點模型(集中質量點質量1.67 kg，彈簧剛度2.3×106N/m，機匣徑向阻尼1 000 N·s/m)的簡化原則是使集中質量點模型下的彈簧剛度與圓柱殼模型下的機匣等效剛度相同。從圖5(a)可以看出機匣簡化為圓柱殼模型時的最大法向碰摩力Fn比機匣簡化為集中質量點模型時的最大法向碰摩力小，說明將機匣簡化為圓柱殼模型后能更多的考慮機匣柔性對碰摩的影響。從圖5(c)頻譜圖可以看出兩種模型對葉尖彎曲位移的影響主要體現在幅值上，而在彎曲位移的頻率成分上幾乎一致。兩種模型下葉尖彎曲位移都會在5fr(fr為葉片的轉頻)與20fr出現幅值放大現象，這是因為5fr(1 083 Hz)與葉片的1階動頻(1 090 Hz，對應葉片的一階彎曲)接近，而20fr(4 333 Hz)與氣動力頻率相同，會產生共振。

圖6中的A′為第1種機匣簡化為集中質量點模型的機匣節點(集中質量點質量1.67 kg，彈簧剛度2.3×106N/m，機匣徑向阻尼1 000 N·s/m)；A″為第2種機匣簡化為集中質量點模型的機匣節點(集中質量點質量1.67 kg，彈簧剛度2×108N/m，機匣徑向阻尼1 000 N·s/m)，這種簡化原則是使集中質量點模型的1階固有頻率和圓柱殼的1階固有頻率相同；A、B、C、D分別對應機匣上的4個節點(見圖1)。從圖6可以看出，不同模型下機匣的徑向位移響應有較大的區別。第1種集中質量點模型下的機匣徑向位移在轉頻fr(216.5 Hz)處出現幅值放大現象，這是因為轉頻fr和機匣的固有頻率(186 Hz)接近；第2種集中質量點模型的機匣徑向位移在8fr(1 732 Hz)處出現幅值放大現象。機匣上的A節點為碰摩發生處，所以這一節點處的徑向位移最大，且在8fr處出現幅值放大現象，機匣上其他3個節點為非碰摩處，它們的響應曲線形狀相似，也會在8fr(1 733 Hz)處出現幅值放大現象。圖6(c)和(d)為圓柱殼機匣上不同節點的徑向振動頻譜圖(每隔8個節點做一個FFT)，從圖中可以看出，局部碰摩點及附近節點處的響應從fr到7fr都存在幅值，而遠離碰摩位置的節點從8fr開始才有幅值，并且這種頻率變化存在一個漸變的過程。

表2 葉片幾何參數及碰摩仿真參數

(a) 法向碰摩力

(b) 葉尖彎曲位移時域圖

(c) 葉尖彎曲位移頻譜圖

(a) 機匣上不同節點的時域圖

(b) 機匣上不同節點的頻譜圖

(c) 圓柱殼機匣上不同節點處的頻譜圖

(d) 圓柱殼機匣上不同節點處的頻譜圖(俯視)

圖7中(a1)～(d1)分別為葉片轉到機匣的0 (t=0.075 2 s)、π/2 (t=0.076 4 s)、π (t=0.077 5 s)和3π/2 (t=0.078 7 s)處時機匣變形后的位置圖，葉片在A處與機匣發生碰摩，其他3處位置不發生碰摩。這里的變形是機匣中曲線上各節點的徑向位移放大1×104倍后和機匣半徑疊加后的效果圖。從圖7(a1)可以看出，機匣上A節點處的局部變形明顯比其他節點處的變形大，而集中質量點模型的機匣變形是一個整體變形，在碰摩發生時機匣會整體向右平動一段距離，且變形量比圓柱殼模型的變形量小。采用圓柱殼模型后，在碰摩發生時機匣變形量大，所以葉尖侵入到機匣的侵入量小，碰摩力也就比集中質量點模型的碰摩力小，同時還可以明顯觀察到碰摩激發出的機匣的節徑振動。圖7(a2)～(d2) 為對應時刻的機匣整周徑向振動響應時域圖，圖7(a3)～(d3)為對應時刻的機匣整周徑向振動響應頻譜圖，該圖通過機匣整周徑向位移響應數據延拓10份后進行傅里葉變化得到。由頻譜圖可知機匣的徑向振動在7節徑(1 964.7 Hz)、9節徑(1 764.9 Hz)、10節徑(1 713.1 Hz)和13節徑(1 755.0 Hz)都有較大的幅值，說明在碰摩導致的機匣變形中這四個模態都起到了主導作用。這是因為8fr(1 733 Hz)與機匣的第三階頻率(1 713.1 Hz，對應(1,10)模態振型)，第四階頻率(1 755.0 Hz，對應(1,13)模態振型)和第五階頻率(1 764.9 Hz，對應(1,9)模態振型)都比較接近，而9fr(1 950 Hz)與機匣的第九階頻率(1 964.7 Hz，對應(1,7)模態振型)接近，所以最終的機匣變形是以7、9、10和13節徑為主導的耦合形式。當葉片與機匣發生碰摩時，碰摩節點A處的徑向變形非常明顯。機匣變形隨著時間不斷變化，主導模態的峰值響應降低。

圖7 不同時刻的機匣整周徑向振動響應

4 結 論

為了探究旋轉葉片-柔性機匣碰摩對機匣節徑振動的激發規律，本文基于ANSYS有限元軟件，采用殼單元建立的圓柱殼模型來模擬機匣，建立了旋轉葉片-柔性機匣碰摩模型。通過計算動態間隙函數、機匣節點徑向位移和葉尖節點徑向位移來確定每個載荷步下葉尖節點和機匣對應節點間的間隙，從而判定碰摩是否發生。通過分析將機匣簡化為圓柱殼模型后碰摩對葉片振動響應，機匣振動響應及機匣節徑振動的影響，得到如下結論：

(1) 機匣簡化為圓柱殼模型后可以考慮碰摩對柔性機匣節徑振動的影響，而且相比于集中質量點模型，碰摩力和葉尖彎曲位移響應均呈現出降低趨勢。

(2) 柔性機匣碰摩節點處的徑向位移要大于非碰摩節點處的徑向位移，且碰摩節點和非碰摩節點徑向位移的頻率成分有較大區別。主要體現在碰摩節點及附近節點處頻率成分中會有低倍轉頻的出現，而遠離碰摩處的節點處僅在高倍轉頻有響應。

(3) 圓柱殼模型可以考慮碰摩過程中機匣的局部變形，并且能明顯觀察到碰摩激發出的機匣的節徑振動。就本文模型而言，碰摩激發的機匣變形是以7、9、10和13節徑為主導的耦合形式。