一種改進的有限頻域狀態反饋H∞控制方法研究

王興野， 張進秋， 劉義樂， 畢占東， 李國強

(陸軍裝甲兵學院 車輛工程系, 北京 100072)

以外界擾動對輸出的影響最小為基本控制思想的魯棒H∞控制是近年來發展起來的一種控制性能十分優異的控制算法，特別是1994年S.P.Boyd等有關線性矩陣不等式(LMI)的專著問世以及美國The MathWorks公司推出MATLAB LMI Toolbox后，H∞控制器的設計可以轉化為一組LMI，并利用MATLAB進行求解，使H∞控制成為了一種方便實用的控制器設計方法，并在近年來在車輛懸架的振動控制上也有了較為深入的研究，對于處理控制中的時滯問題[1-3]、模型不確定[4-6]和非線性問題表現出了較好的控制性能。由ISO2631國際標準可知，對于垂直方向上振動而言，人體對4～8 Hz頻域內的振動最為敏感。因此，在控制器設計的過程中，有限頻域振動控制成為了近年來的國內外研究的熱點之一[7-10]。

Sun等[11-12]基于廣義KYP引理[13]理論推導了主動懸架有限頻域H∞控制定理，認為比全頻域H∞控制能更好的提高車輛的乘坐舒適性。在有限頻域狀態反饋H∞控制器設計時，文獻中所采用的設計方法外界擾動輸入能量的最大值相當于wmax=ρ/ε，而全頻域的H∞控制器外界擾動輸入能量的最大值相當于wmax=ρ/γ2。仿真驗證中，參數取值ε=10 000，然而求解全頻域狀態反饋H∞控制器時發現，γ2始終接近于81，可見εγ2，當ρ取相同值時，兩種控制器所對應的擾動輸入能量的最大值并不相同，且差距很大，沒有排除控制頻域范圍外其他因素的干擾，因此控制效果的對比不夠科學。若設置ε=γ2，應用文中方法求解時又會出現沒有可行解的問題。王剛等[14]針對該問題提出了引入松弛變量的方法，可通過引入5個松弛變量來減小設計的保守性。這種方法的不足之處在于引入的參數變量較多，且變量的取值更多的需要依賴個人的經驗。針對以上問題，本文提出了一種改進的有限頻域H∞控制方法，所需的參數更少，并根據懸架可控制的實際頻域范圍，將全頻域控制定義為一種可控頻域范圍內的有限頻域控制，排除了其他因素的干擾，使兩種控制效果的對比更加科學。

1 問題描述

考慮如下的線性時間連續系統

(1)

式中：x(t)為系統的狀態變量，u(t)為系統的控制輸入，w(t)為外界的擾動輸入，z1(t)為系統的目標輸出，z2(t)為系統的約束輸出，A為系統矩陣，B為控制力位置矩陣，D為干擾矩陣，C1、C2為輸出矩陣，D1、D2為傳遞矩陣。

控制器設計的目標就是要設計一個狀態反饋控制器u(t)=Kx(t)，K為待求的狀態反饋增益矩陣。使得系統滿足

① 無外界擾動時漸進穩定；

② 在零初始條件下，外界擾動到系統目標輸出的傳遞函數Gwz1(jω)在頻域[ω1,ω2]內最?。?/p>

③ 外界擾動能量小于wmax∈L2[0,∞)時，控制約束條件始終能夠得到保證。

即求解minγ, s.t.

(2)

{z2}i<1,i=1,2,…

(3)

將u(t)=Kx(t)代入式(1)可得

(4)

令A1=A+BK，C11=C1+D1K，C21=C2+D2K，則上式可化為

(5)

2 有限頻域狀態反饋H∞控制器設計

定理1對于給定的正常數γ、ε和ρ，如果存在對稱矩陣P，P1>0，Q>0滿足

(6)

<0

(7)

(8)

其中ωc=(ω1+ω2)/2，{·}i表示矩陣{·}的第i行，j代表虛數因子，*表示矩陣對應位置矩陣塊的共軛轉置。則存在一個狀態反饋控制器u(t)=Kx(t)使得系統(5)：

① 無外界擾動時漸進穩定；

③ 外界擾動能量小于wmax=ρ/ε時，控制約束條件始終能夠得到保證。

證明：首先證明系統(5)在沒有外界擾動的情況下是漸進穩定的。

根據Schur補引理[15]，式(6)可以等價的寫為

(9)

進一步可以推出

(10)

由Lyapunov穩定理論可證，系統(5)無外界擾動時漸進穩定。

根據Schur補引理，式(7)可以等價的寫為

則不等式可等價寫為

JΦJT+HΠHT+ΓP1Λ+ΛTP1ΓT<0

根據投影定理[16]，上式等價于

(11)

(12)

式中，NΓ和NΛ分別是由核空間Ker(Γ)和Ker(Λ)的任一組基向量作為列向量構成的矩陣。選取

由式(12)又可以進一步可以得到

由Schur補引理可得

進一步由GKYP引理推論可以得到

下面對式(8)能夠滿足控制約束條件進行證明。

由式(10)可知，V(t)=xT(t)P1x(t)是系統的一個Lyapunov函數，對V(t)求導得

根據基本不等式有

εwT(t)w(t)，?ε>0

進而可得

εwT(t)w(t)

不等式兩端同時進行0到t的積分可得

V(t)-V(0)≤

式中，系統初始狀態為零V(0)=0，wmax為最大的擾動能量。令ρ=εwmax，則進一步可以推出

V(t)=xT(t)P1x(t)≤ρ

因此

式中，λmax{·}代表矩陣{·}的最大特征值。從而可以看出，如果

成立，則由Schur補引理可知約束條件(8)一定成立，定理1證畢。

考慮到不等式(6)、(7)中含有非線性項，無法利用MATLAB中的LMI工具箱進行計算，此處還需要通過變量代換的方法將其轉化為線性矩陣不等式。定義以下對角矩陣

代入A1=A+BK，C11=C1+D1K，C21=C2+D2K，用J1、J2、J3分別左乘和右乘不等式(6)～(8)進行全等變換，并重新定義矩陣變量如下

則矩陣不等式(6)～(8)可化為

(13)

(14)

(15)

注意到矩陣不等式(14)中的矩陣是復矩陣，無法使用MATLAB中的LMI工具箱進行求解，還需要將其轉化為實線性矩陣不等式的形式。根據復線性矩陣不等式的處理方法，埃爾米特矩陣M=X+jY<0，當且僅當

(16)

則可令

綜上，可得到能夠直接用于求解有限頻域狀態反饋H∞控制器的定理如下。

定理2對于給定的常數γ、ε和ρ，如果存在對稱矩陣滿足線性矩陣不等式(13)、(15)、(16)，則可以設計一個狀態反饋H∞控制器，控制器狀態增益矩陣使得系統(5)滿足：

① 無外界擾動時漸進穩定；

③ 外界擾動能量小于wmax=ρ/ε時，控制約束條件始終能夠得到保證。

應用定理2可將系統有限頻域狀態反饋H∞控制器的設計，轉化為可用MATLAB直接進行求解的如下凸優化問題

minγ, s.t. LMIs(13)、(15)、(16)

此時可計算狀態反饋增益

3 車輛主動懸架建模及其控制器設計

以如圖1所示的二自由度四分之一車輛主動懸架系統為研究對象，應用定理2提出方法對該系統的有限頻域狀態反饋H∞控制器進行設計和計算。

首先建立系統的數學模型，系統在振動過程中的動力學方程為

式中，ms為懸置質量；mt為非懸置質量；ks和kt分別為懸架和車輪剛度；cs為作動器等效阻尼系數；u為主動控制力，對被動懸架而言，u=0；xr為路面不平度位移激勵；xs和xt分別為車體和車輪的垂直位移。

對懸架振動的控制目標和約束作如下數學描述：

(1) 控制目標

路面擾動輸入為能量有界信號系統控制的目標就是實現有限頻域車體加速度對外界擾動的最優抑制，可通過降低路面擾動到車體加速度的傳遞函數的最大奇異值來實現，這與函數的H∞范數定義相一致，因此控制目標的數學描述就是

(2) 約束條件

控制的約束條件主要包括以下3個方面。

約束條件一：懸架動行程小于其行程最大值；

xs(t)-xt(t)

約束條件二：相對動載荷小于1；

約束條件三：控制力小于其最大值。

u(t)

根據以上控制目標和約束條件的描述，可選取系統的狀態變量x(t)，系統的目標輸出z1(t)和約束輸出z2(t)分別如下

將懸架系統的運動學方程轉化為式(1)所示的狀態空間形式，則可得到式中輸入、輸出變量的系數矩陣

4 仿真分析

主動懸架參數取值如表1所示，有限頻域控制器設計參數取值如表2所示?？紤]到車輛懸架的有效控制頻域為0.1～30 Hz，為了對比的科學和公平，全頻域控制器的設計仍采用定理2的求解方法，但是頻域的上下限分別取則可分別求得有限頻域狀態反饋H∞控制器增益Kf和全頻域狀態反饋H∞控制器增益Ke如下：

Kf=[14 352.14,-1 591.76,-2 091.80,-915.95]

Ke=[15 232.85,-1 580.75,26 099.94, 140.97]

利用計算得到的兩種控制器增益可分別得到相應的閉環系統最大奇異值曲線，并可與被動無控制條件下的閉環系統進行對比，如圖2所示。從圖中可以明顯的看出，與被動無控制狀態相比，兩種控制器基本在全頻域上都有較好的振動抑制效果；與全頻域狀態反饋H∞控制相比，改進的有限頻域狀態反饋H∞控制在人體敏感的4～8 Hz頻域范圍內有更為優異的振動抑制效果。

為了驗證以上理論計算得到的結論，下面采用隨機激勵作為激勵信號源，對控制器的控制性能進行仿真分析。對于隨機激勵，通常采用位移功率譜密度Gxr(n)來描述路面不平度的統計特性，并把路面劃分為A～H的8個等級[17]，其擬合表達式為

式中：n表示空間頻率，m-1；n0為參考空間頻率，取值為0.1 m-1；Gxr(n0)為路面不平度系數，m2/(m-1)；w為頻率指數，通常取2；nu，nl分別代表上、下限空間頻率，通常取值為2.83 m-1、0.011 m-1。

本文中的隨機激勵采用的是速度輸入，當頻率指數w=2時，速度功率譜密度與位移功率譜密度之間的關系為

(18)

為了實際仿真的使用，還需要引入車速v，將路面不平的空間功率譜密度轉化為時間功率譜密度。設時間頻率為f，則

f=nv

(19)

根據式(17)～(19)采用諧波疊加法生成一段C級路面10 m/s條件下的一段路面，其時域曲線及功率譜密度曲線分別如圖3(a)、(b)所示，從圖3(b)中可以看出構造的路面激勵速度功率譜密度與理論譜密度能夠較好的吻合。

如圖4所示為系統在C級路面10 m/s的隨機激勵條件下輸出變量的時域變化曲線。其中圖4(a)為車體加速度的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的振動抑制能力都要明顯優于傳統的被動懸架，而有限頻域狀態反饋H∞控制器比全頻域狀態反饋H∞控制器的振動抑制能力更強，達到了最優化有限頻域控制的目標；圖4(b)所示為懸架動行程的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的懸架動行程均小于懸架允許的最大行程，滿足控制約束條件一的要求；圖4(c)所示為車輪相對動載荷的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的相對動載荷均小于1，滿足控制約束條件二的要求；圖4(d)所示為作動器主動出力的時域變化曲線，從圖中可以看出，兩種控制器的主動出力均小于2 000 N，滿足控制約束條件三的要求。

分別對車體加速度均方根值(RMS_ACC)、懸架動行程均方根值(RMS_SD)和車輪相對動載荷均方根值(RMS_RDWL)等懸架系統的輸出性能指標進行量化的統計計算，結果如表3所示。從表中數據可以看出，同被動無控制狀態相比，全頻域和有限頻域狀態反饋H∞控制下車體加速度均方根值分別降低了28.16%和65.23%，而懸架動行程和車輪相對動載荷雖然都有不同程度的惡化，但是均在許用范圍之內。

下面再從頻域角度對控制器的控制性能進行分析。如圖5所示為車體加速度功率譜密度頻域上的變化曲線，從圖中可以看出兩種控制器在整個頻域范圍內均有優于傳統被動懸架的振動抑制能力，且同全頻域狀態反饋H∞控制相比，有限頻域狀態反饋H∞控制在4～8 Hz頻域范圍內的振動抑制效果要明顯優于全頻域狀態反饋H∞控制的振動抑制效果。對比圖2可以發現，這與理論上的分析是一致的。綜合以上的時域和頻域上的分析我們可以得出結論：新設計的有限頻域狀態反饋H∞控制器能夠實現控制約束條件的情況下，對關注的有限頻域范圍進行更為有效的振動控制。

5 結 論

以GKYP引理為依據，設計并理論推導了一種改進的有限頻域狀態反饋H∞控制方法，與其他有限頻域控制方法相比，該方法具有所需參數少，基于線性矩陣不等式，便于使用MATLAB的LMI工具箱進行求解的特點。同時，根據懸架可控制的實際頻域范圍，將全頻域控制定義為一種可控頻域范圍內的有限頻域控制，排除了其他因素的干擾，使兩種控制效果的對比更加科學。最后利用隨機路面激勵對設計的控制方法進行了仿真驗證，仿真結果表明，相對于傳統的被動懸架和全頻域狀態反饋H∞控制方法，改進的有限頻域狀態反饋H∞控制能夠在保證控制約束條件的情況下更加有效的抑制4～8 Hz頻域范圍內的振動，改善車輛的乘坐舒適性。