融會貫通
——概率與其他知識點的交匯分析

遼寧省凌源市凌源中學 戴天羽

數學是一門科學性極強的學科，知識點之間聯系很緊密，如果學生只是學會了某些單獨的知識點，而沒有思考過將這些知識聯系起來，那學生就不算真的學會，也就體會不到數學的精妙之處。概率是高中數學中非常重要的組成部分，與高中其他知識點之間相互滲透，且概率與其他知識點的交匯也逐漸成為高考試題中的一個亮點。所以，本文從以下兩個方面來對高中數學中的概率與其他知識點的交匯進行分析，以期能夠提高學生融會貫通的意識，進而促進學生數學能力和數學核心素養的提升。

一、概率與數列

數列一直是高中數學教學中的難點，數列的規律性和邏輯性較強，要想學好數列知識，不僅需要學生有一雙善于發現的火眼金睛，而且對學生的邏輯思維能力要求也比較高。而概率近年來也比較受高考的青睞，將概率與數列結合起來，是對學生數學能力更高層次的要求，同時，學生的學習能力和創新能力也會在此過程中得到快速的提升。

例如：甲、乙二人玩“蒙眼睛跳格子”的游戲，甲這邊的格子上分別標有01、04、07、010、013、…；乙那邊的格子上分別標有02、06、010、014、018、…。游戲規則設定如下：由甲蒙著眼睛在乙那邊打亂順序的格子上任意跳一下，若甲所跳到的格子上所標的號碼正好自己那邊的格子上也有，則甲獲勝，否則乙勝。求：在此游戲中，甲獲勝的概率有多大？

這是一道典型的概率與數列相結合的題目，要想求甲獲勝的概率，就要找出甲、乙兩邊有多少標有相同號碼的格子。將甲這邊格子上的數組成的等差數列設為an（1≤n≤100），則an=3n-2，1≤n≤100。乙那邊格子上的數組成的數列為bn，同為等差數列，bn=4n-2，1≤ n≤ 100。 設 an=bm， 則 有 3n-2=4m-2，n，m∈N＊，由此可得n=m，m為3的倍數，設m=3k，k∈N＊，

二、概率與不等式

在高中數學教學中，不等式既是難點，也是重點。而將概率與不等式結合起來，可以給概率學習和不等式學習都提供一種新的思路，也可促使學生在學習中思維變得更加靈活。而且有時從概率的角度去看不等式，會讓一些復雜難解的不等式變得更容易理解，最重要的是這有助于學生思維能力的培養。

例如：某蛋糕店以每個1元的成本制作布丁，然后以每個3元的價格出售。如果當天制作的布丁賣不完，剩下的布丁則會因為口感不好而不再賣出。為求利潤最大化，也為了避免浪費，蛋糕店一天制作30個布丁，試運營30天。蛋糕店記錄了30天布丁的日需求量（單位：個），如下表所示：

日需求量n 24 26 28 30 32 34 36頻數 4 5 4 6 4 5 2

（1）請求出蛋糕店在這三十天內的日平均利潤；（2）若蛋糕店一天制作30個布丁，以30天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤不少于53元的概率。

在解答此題時，可以先求出利潤y關于日需求量n（n∈N）的函數解析式，即：y=3n-30（n≤29）；y=60（n≥30）。有了函數解析式，則問題（1）中所求的30天的日平均利潤y=[（3×24-30）×4+（3×26-30）×5+（3×28-30）×4+60×（6+4+5+2）]÷30=54.8。而問題（2）中，利潤不少于53元當且僅當日需求量不少于28個，所以當天的利潤不少于53元的概率為P=

這是一道常見的概率與不等式結合的題目，在解答時，學生需要先列出利潤y關于日需求量n的不等式，然后再結合概率的知識求解。需要注意的是，在解答這類題時，學生要有清晰的思路，明確自變量的取值范圍。

在概率與不等式中還有一類比較常見的題型，例如：小李報名了某公司8：00至9：00間舉行的相親會，相親規則要求先到者等候10分鐘，若在有效時間內見不到對方就可自行離去，假定在相親的時限內見面的概率是等同的，求見面成功的概率。這道題是線性規劃和概率的結合，在解題時只需將兩人見面成功所滿足的條件在坐標系中表示出來，根據面積之比即可求出概率。

這是一道典型的關于幾何不等式的概率題，它的基本事件是平面上的一些點，而且發生的可能性都是等同的。對于這類題的求解是有規律可循的，即：如果是直線上的點，那么概率就是長度之比；如果是二維平面上的點，那么概率就是面積之比；如果是三維空間中的點，那么概率就是體積之比。

總而言之，高中數學中，概率與其他知識點結合的題目新穎別致、立意巧妙，著重于考查學生的綜合素質，而且這對學生學習能力和思維能力都具有非常重要的促進作用。所以，在高中數學的教育教學中，教師有意識地引導將知識聯系起來對學生進行訓練，促進學生綜合能力的提升。