基于電大學員情況對微分教學的改進

陜西省安康職業技術學院 荊榮麗

伴隨著社會文明的進步，廣大勞動者對知識的要求愈來愈多、愈來愈全面，深度愈來愈強。當然，知識越深，難度就越大。比如對于理工生來說，高等數學就是一門基礎課，而微積分則是高等數學教學的重點、難點。電大招入學員大多數知識層次低，數學基礎知識較差，學習積極性弱，自覺性不強，自我約束能力不足，學習態度不端正，而且缺乏踏實努力、刻苦鉆研的學習精神，在數學學習意識、學習方法、學習能力上比較欠缺，這就要求從事一線教學的老師們改變思想，轉化理念，在教學設計上多動腦筋，多想辦法，如利用比較法、找規律等手段，通過引導、啟發、鼓勵等方式調動學生的求知欲，從而激發學生的學習積極性。結合以上情況以及筆者自身的教學心得，提出一些教材編排上的設想和教學方法上的改進。

一、微分概念的分析

在高等數學教材中，微分概念一直被稱之為“函數增量的線性主部” 。本人從事多年的微積分教學任務， 從嚴密性很強的數學理論體系來說，把微分理解為“增量的線性主部”是非常合理的選擇，但考慮到電大學生的理解思維能力，接受到這樣晦澀難懂、專業性強的定義，無疑增加了學生對微分概念的學習難度。但若避開數學嚴密抽象思維的特點，轉用形象直觀思維，形象化地給出微分定義，就可形成微分教學的新方案。無論是專升本教材還是現階段的高起專教材，關于微分這一節的教學不外乎引例、導入概念（用增量的線性主部來定義微分） ，推出可導、可微的等價關系，再在數形結合的途徑中講述其幾何意義，然后給出微分的運算法則、基本公式等，讓學生能熟練計算微分，最后回歸客觀實際，講明微分的應用。可以看出，這種教學模式中，微分的教學內容抽象，微分的教學環節又多，這既加重了學生的學業負擔，又有悖于低基礎學員教學的時效性原則。為改變以上狀況，改革高職高專院校以及電大高數微分的教學方案，是我們必須探討的一個問題。

一些學者強調從積分和微分的聯系的角度講授微積分。一般來說，微分是研究事物運動的瞬間改變量，積分是研究事物運動的區間改變量，如人的頭發是無時無刻不在生長著，微分就是研究頭發的瞬間生長量，積分則是研究頭發在某一區間，例如一個月的生長量。微分和積分從運算角度考慮，可以這樣說，減法產生微分，加法產生積分，微分和積分是對立的統一。它統一于積分運算。

目前學生擅長用微積分解題，但是概念理解不深，如果只強調計算而忽視概念的教學，將會妨礙微積分進一步深入教學，但教學時間有限，學生的概念理解與技能發展似乎成為一對矛盾。該如何有效地進行微積分概念教學？ 在接下來的小節里，將主要討論微積分概念教學的措施。

二、微分的概念

微分（differential）最初帶有 “差”的意思，所以，微分表示函數增量的近似值。如果誤差是Δx的高階無窮小，則稱函數在該點是可微的。通過下面引例，詳細指出微分的差的含義、線性近似、誤差等，代替原來那種一帶而過、蜻蜓點水、語言不詳的表達方式。

例1 要給一個半徑為r0的球表面涂上油漆，油漆的厚度為Δr。試計算這層油漆的體積。

用一次函數的增量近似代替三次函數的增量，足見微分在簡化運算中的作用。數學內涵是一樣的，實際背景則更豐富，在學生得出相關結論后再將其推廣為一般的誤差估計，這樣易于學生接受。

例2 考察自由落體運動S(t)=gt2，位移的增量。

這是學生很熟悉的物理上的運動學公式，可以和位移公式S=v0t+gt2聯系起來，這樣學生自然就可以將公式中的A與速度v0即S'(t0)聯系起來，Δt2與O(Δt)聯系起來，從而得到ΔS≈dS=S'(t)Δt。

通過微分三角形，借助凹凸兩種函數，詳細解釋微分的幾何意義為函數在x點的切線的增量，微分概念蘊含著以直代曲、線性近似的思想。

三、微分計算

在微分計算這一教學環節中，首先講解微分與導數的關系、微分的幾何意義。在高中階段，同學們已經學過導數，熟悉導數的基本公式和導數的運算法則。在講微分時，聯系導數與微分的關系，既體現了知識內容銜接相輔相成，同時也增加了學生對知識的熟悉度，不會產生對新知識的恐懼和畏難情緒，有利于學員更好地了解微分，方便計算以及后期對微分的應用。

1．利用導數計算微分

導數也叫微商，即函數的微分除以自變量的微分，所以，函數的微分自然就等于導數乘以自變量的微分。因此，微分公式如下：

微分的運算法則也可以由導數的運算法則得出，在這里就不再贅述。

2．一階常微分方程

一階常微分方程正常教學用時是4課時，在不降低大綱要求的前提下，及時調動學生自主學習，鼓勵學生加強對比，提高其觀察能力和實際學習效果，可以對教材進行一定的改變。

首先介紹一階常微分方程的概念，然后列出以下常見類型及其特征：

（1）y'=f(x)型。其特征是：①左邊是一階導數y'；②右邊是自變量的函數。這類方程是一階常微分方程的最簡單形式，方便易解，是解微分方程的基礎，為后面講解高階微分方程降階做好鋪墊。

（2）y'=f(x)·g(x)型。如果方程能把y的一階導數轉化成x的函數與y的函數乘積的形式，也就是說把x和y分離開，我們把它叫“可分離變量的微分方程”。其特征是：①左邊是一階導數y'；②右邊是自變量的函數與y的函數的乘積。

（3）型。如果方程能把y的一階導數表示成的函數，我們就把它叫“齊次微分方程”。其特征是：①左邊是一階導數y'；②右邊是自變量與y的商 的函數。

（4）y'=f(x)·y+g(x)型。如果方程能化成這種形式，我們就把它叫“一階線性微分方程”。其特征是：①左邊是一階導數y'；②右邊是線性關系，y'和y都是一次的；③f(x)，g(x)都是x的函數。

給出這幾種常見形式，并列舉出每種形式的特點，方便學員觀察、比較、理解。同時，一邊講形式一邊舉例說明，這樣給予啟發、引導，讓學員有更充足的時間觀察、思考，掌握知識快捷，使得他們有更高的興趣深入探索研究。

接著，給出籠統的例題，從混合形式中分辨出每個題目的形式，然后歸類。讓學員從混合狀態下根據這四種形式的特點分辨出所屬形式，方便后面“求解微分方程”的理解和掌握。

最后，通過與例題相似的練習提高學員對每種微分方程的分辨能力，然后再進行解法的講解。這樣安排教學，符合接受知識的自然規律，適合數學基礎較差的學員模仿、套形式的學習方式。

四、改進教學的效果

筆者從事數學教育以來，既帶有高職數學，也帶有電大高等數學的面授課。通過教學實踐表明，在相同的授課時間內，改變微分部分的教學方法后，更利于培養學生的數學思想方法以及應用數學思想方法的能力，讓學生對微分思想有了更深刻的認識，更利于他們理解和掌握專業知識。今后要結合專業特點，適應高職課程改革的新形勢，以滿足專業需要為原則，以培養應用能力為主線，提高高等數學的教學質量。

總之，教學以傳道授業為宗旨，目的是讓學生學藝受用。甚至有學者認為，微分教學要改變教學順序，先講微分再講導數，把顛倒的歷史重新翻倒過來，這也符合客觀事物運動變化的規律。先研究事物運動的瞬間改變量，再研究事物運動瞬間變化率，這是順理成章、易學易懂的快事。但這樣的變更太廣，我們目前也只能拭目以待。