一種基于變恢復系數(shù)的接觸碰撞力模型

王旭鵬, 張 艷, 吉曉民, 馬尚君, 佟瑞庭

(1.西安理工大學 工業(yè)設計系，西安 710048;2.西北工業(yè)大學 陜西省機電傳動與控制工程實驗室，西安 710072)

接觸碰撞現(xiàn)象在機械系統(tǒng)中是非常普遍的[1]，比如相鄰連接件之間的鉸鏈連接處，因相對運動、加工、裝配及其使用過程的摩擦磨損等原因導致存在間隙，而間隙正是接觸碰撞的根源[2]。接觸碰撞勢必會引起機械系統(tǒng)動態(tài)性能、精度、可靠性及壽命等技術指標的下降[3]。

要研究接觸碰撞現(xiàn)象及其對機械系統(tǒng)動態(tài)性能的影響，首先應建立可用來準確描述接觸碰撞效應的接觸碰撞力模型。為此，從20世紀70年代開始，國內外研究者建立了一系列接觸碰撞力模型。作為研究接觸碰撞現(xiàn)象的奠基者，Hertz最先提出了一種非線性接觸碰撞力模型[4]，但是，Hertz接觸理論的應用條件為：接觸體具有非協(xié)調幾何外形，且接觸面為平面。因此，Hertz接觸碰撞力模型具有一定的局限性。Ciavarella等[5]在對Persson接觸模型改進的基礎上，提出了另外一種適用于接觸半徑非常小且接觸半角足夠大工況下的接觸碰撞力模型，但該模型同樣具有局限性，僅適用于小間隙的接觸碰撞。Liu等[6]基于彈性基礎模型，提出了一種改進的接觸碰撞力計算模型，并通過與有限元計算結果進行對比分析，發(fā)現(xiàn)改進模型具有更好的適應性；但是，上述模型均沒有考慮碰撞過程的能量損耗。

首個考慮碰撞過程阻尼損耗的法向碰撞力模型為Kelvin-Voigt模型[7]，該模型用一組平行的線性彈簧阻尼單元描述法向碰撞特性，其中用線性阻尼器來衡量碰撞過程的能量損耗，但模型中阻尼器系數(shù)是非零常數(shù)，導致在碰撞剛開始時，出現(xiàn)了變形量為零而接觸碰撞力大于零的現(xiàn)象，與實際情況不符。為了能夠克服Kelvin-Voigt線性彈簧阻尼模型的局限性，Hunt等[8]、Lankarani等[9]、Gonthier等[10]、秦志英等[11]、Flores等[12]提出了一系列改進的模型；但是，上述各種碰撞力模型均基于Hertz基礎理論建立，僅適用于大間隙、小載荷，且恢復系數(shù)接近1的工況[13,21-23]。白爭鋒等[14]在改進彈性基礎模型基礎上提出了一種改進的非線性法向碰撞力混合模型，并基于該模型進行了相關分析研究[15]；王旭鵬等基于文獻[6]的基礎上提出了一種考慮鉸鏈軸向尺寸，且計算過程不需要恢復系數(shù)的、近似的法向碰撞力模型，并結合數(shù)值仿真以及實驗數(shù)據(jù)對比驗證了模型的有效性[16]；之后，該團隊進一步對文獻[16]中的模型進行改進，提出了另外一種法向碰撞力模型，并通過不同間隙、初始碰撞速度及不同恢復系數(shù)下的對比分析，發(fā)現(xiàn)改進模型在不同工況下均比L-N模型具有更高的精度[17]。

本文基于初始碰撞速度和材料屈服強度，建立了一種變恢復系數(shù)，進而建立了一種改進的接觸碰撞力模型，以軸-軸承、球-球、球-圓柱以及平面曲柄滑塊機構為例，通過大量數(shù)值模擬和實驗測試，對改進模型進行了驗證。

1 接觸碰撞建模

準確的描述接觸碰撞現(xiàn)象，是建立接觸碰撞力和進行機械系統(tǒng)中接觸碰撞分析的基礎所在。如圖1所示，機械系統(tǒng)中的接觸碰撞現(xiàn)象可分為2種情況：外碰撞、內碰撞。

(a) 外接觸

(b) 內接觸

由圖1可知

ΔR=R1-R2

(1)

式中，R1、R2為接觸碰撞體的半徑。

碰撞體中心點的偏心向量為

(2)

對應的偏心距離為

(3)

發(fā)生碰撞時，碰撞體間的彈性變形量為

(4)

當δ≥0時，表示碰撞體間發(fā)生接觸和碰撞現(xiàn)象。

2 改進的接觸碰撞力模型

當發(fā)生接觸碰撞時，將在接觸面產生接觸力；建立準確的接觸力模型，對于研究接觸碰撞效應，以及其對機械系統(tǒng)動態(tài)特性的影響起到至關重要的作用。

目前，在進行接觸碰撞分析時，使用最廣泛的是L-N模型，但該模型更適用于大間隙、小載荷且恢復系數(shù)接近1的工況；Wang等進一步提出了改進的接觸力模型，該模型不受間隙和載荷的影響，且在較小的恢復系數(shù)下也有較高的精度。需要指出的是：上述模型均假設接觸碰撞過程恢復系數(shù)是固定不變的；但事實上，材料屈服強度和初始碰撞速度對恢復系數(shù)影響較大[18-19]，Stammers等通過實驗測試發(fā)現(xiàn)恢復系數(shù)與初始碰撞速度存在如下關系

(5)

為了引入材料屈服強度對恢復系數(shù)的影響，在Stammers恢復系數(shù)模型的基礎上，本文提出了一種改進的變恢復系數(shù)模型

(6)

式中，K*為與材料屈服強度相關的系數(shù)；依據(jù)文獻[24]中實驗數(shù)據(jù)進行參數(shù)擬合，可得K*表達式如下

(7)

式中，σB1、σB2為接觸碰撞材料的屈服強度。

基于(6)、(7)所示的變恢復系數(shù)，結合文獻[17]提出的改進模型，本文提出了另外一種改進的接觸碰撞模型，其表達式如下

(8)

(9)

式中，L為碰撞體軸向長度，E*為碰撞材料的等效彈性模量，可由下式獲得

(10)

式中，E1,2和v1,2分別為碰撞材料的彈性模量和泊松比。

3 接觸碰撞分析

3.1 算例1：軸-軸承

圖2所示為軸-軸承模型，假設軸承固定，軸以0.5 m/s初始速度與軸承發(fā)生碰撞；為了便于和L-N模型進行對比分析，假設L-N模型分析時恢復系數(shù)分別為0.7、0.8和0.9。

圖2 軸-軸承接觸碰撞模型

圖3所示為數(shù)值模擬結果，分析可知：① 在軸、軸承間接觸碰撞和恢復過程，改進模型模擬結果與L-N模型恢復系數(shù)為0.9時的結果更為相似，這主要是由于L-N模型更適用于恢復系數(shù)較大的工況；② 改進模型的最大變形量為5.12 μm，小于L-N模型對應結果5.65 μm，但改進模型最大接觸力為2 204.5 N，大于L-N模型對應結果2 038.2 N，這主要是因為改進模型接觸剛度在碰撞過程是非線性變化的，而L-N模型則為定值。

圖3 數(shù)值模擬結果：變形-接觸碰撞力

3.2 算例2：球-球

圖4所示為完全相同的2個鋼球發(fā)生接觸碰撞的單擺型實驗裝置，在初始狀態(tài)，鋼球1處于豎直靜止狀態(tài)，鋼球2以初始角度為θ0、初始速度為0在重力作用下運動；碰撞后，兩個鋼球相對豎直位置的角度分別為θ1和θ2；2個鋼球材料參數(shù)一致，分別為：彈性模量210 GPa，泊松比0.3，屈服強度518.4 MPa。

圖4 球-球接觸碰撞模型

為了準確地對數(shù)值模擬結果和實驗測試數(shù)據(jù)進行對比，驗證改進模型的有效性，借助牛頓沖擊理論的恢復系數(shù)模型，對數(shù)值和實驗測試結果進行對比分析，該模型可表示為

(11)

圖5和表1所示為不同初始速度下，數(shù)值模擬和實驗測試恢復系數(shù)及二者相對誤差。分析可知，數(shù)值模擬結果和實驗測試結果基本吻合，二者間相對誤差均小于10%，進一步驗證了本文新模型的正確性。

圖5 碰撞恢復系數(shù)結果

Fig.5 Results of restitution coefficient based on experimental and numerical

(12)

式中，ρ為碰撞體材料的密度。

表1 數(shù)值模擬和實驗測試的恢復系數(shù)及二者相對誤差

3.3 算例3：曲柄滑塊機構

圖6所示為平面曲柄滑塊機構[20]。假設連桿與滑塊間鉸鏈處存在規(guī)則徑向間隙，其余各處均為理想約束。表2所示為機構幾何參數(shù)和質量特性參數(shù)，數(shù)值模擬參數(shù)如表3所示。

假設連桿與滑塊間干摩擦鉸鏈處徑向間隙分別為0.1 mm、0.5 mm及1 mm，曲柄轉速恒定為200 r/min；同時，忽略桿件彈性變形影響；數(shù)值模擬時，間隙鉸鏈處摩擦力采用修正的庫倫摩擦力表示；圖7所示為數(shù)值模擬和參考文獻[20]對應實驗測試結果。

圖6 含間隙鉸鏈曲柄滑塊機構模型

(a) c=0.1 mm

(b) c=0.1 mm

(e) c=0.5 mm

(f) c=0.5 mm

(g) c=1 mm

(h) c=1 mm

由圖7可知：(1)基于本文變恢復系數(shù)接觸碰撞力模型的數(shù)值模擬結果，與文獻[20]對應的實驗測試結果在趨勢性和量級上均吻合較好，再次驗證本文接觸碰撞力模型的準確性和有效性；(2)間隙鉸鏈處接觸碰撞現(xiàn)象對滑塊加速度影響顯著，較理想無間隙加速度曲線出現(xiàn)了明顯的振蕩；(3)隨著間隙值的增大，振蕩幅值依次增大，但振蕩的頻率逐漸降低。

4 結 論