基于復合耗能假設的黏彈夾芯梁振動的有限元分析

黃志誠， 劉莉婭， 吳南星， 王興國, 褚福磊

(1. 景德鎮陶瓷大學 機電學院， 江西 景德鎮 333000; 2. 清華大學 機械工程系， 北京 100084)

黏彈性夾芯復合材料又稱黏彈夾芯結構，它是在兩彈性層之間夾有黏彈性芯層，以減小結構的振動振幅和噪聲。它們廣泛用于航天、航空、航海和汽車工業中[1]。典型的黏彈夾芯梁結構如圖1所示。從圖1可以看出，在黏彈夾芯梁結構中，一個輕質的黏彈性材料層黏結在兩個分別稱之為基梁層和約束層的彈性表面層之間。當基梁產生振動時，其振動能量通過中間黏彈性層的變形轉化為熱能耗散，達到減振降噪的目的。

圖1 黏彈夾芯梁結構

眾多學者對黏彈夾芯梁的建模進行了研究。這些模型的理論基礎主要分為兩類：剪切耗能假設和壓縮耗能假設。前者認為黏彈夾芯梁的振動能量是通過中間黏性層的縱向剪切變形耗散的，這類模型因其物理原理明確，建模相對簡單，應用較多。如早期的Kerwin[2], DiTaranto等[3], Mead等[4], Yan等[5]，及Rao等[6]基于剪切耗能假設建立了黏彈夾芯梁的解析模型并應用至今。另外眾多學者基于剪切耗能假設建立了黏彈夾芯梁的有限元模型[7-13]。在另一方面，也有一些學者發現了黏彈夾芯結構的壓縮阻尼。在20世紀七八十年代，Douglas等[14-15]通過對黏彈夾芯梁的實驗證明了其中壓縮阻尼的存在。并基于壓縮耗能假設建立了黏彈夾芯梁的解析模型，忽略了黏彈性層的剪切變形。他們認為在以黏彈性層的壓縮共振頻率為中心的一個狹窄頻段內，壓縮阻尼是主要的阻尼形式。但他們的工作在當時并沒有引起人們的重視。Sisemore等[16-17]對懸臂黏彈夾芯梁結構進行了較深入的研究，不僅從實驗上證明了壓縮阻尼的存在，還基于壓縮耗能假設建立了黏彈夾芯梁梁結構的解析模型。也有極少數學者[18-19]對黏彈夾芯結構建立了同時考慮剪切和壓縮的復合解析模型。但結果表明這些復合阻尼模型在很寬的頻帶內會高估系統的損耗因子。

從文獻檢索的結果來看，目前黏彈夾芯梁的建模主要是基于剪切耗能假設，壓縮耗能也逐漸引起人們興趣，但從作者前期研究結果來看，剪切模型適用于黏彈夾芯梁各層較薄的情況[20]，而壓縮模型對阻尼的預估存在不足[21]。事實上，當黏彈夾芯結構發生振動時，黏彈性層中剪切和壓縮兩種阻尼均存在，在某些情況下，僅考慮一種模式會引起較大誤差。針對這些不足，本文提出了一種黏彈夾芯梁的復合有限元模型。該模型基于復合耗能假設，同時考慮了黏彈性層的剪切耗能和壓縮耗能，然后應用該模型對不同邊界條件和幾何參數黏彈夾芯梁進行振動分析，通過與實驗及其它常用模型的計算結果對比來驗證該模型，所得結果有益于工程上黏彈夾芯梁結構動力學參數預估，所以本文工作有一定的工程參考價值。

1 黏彈夾芯梁有限元建模

1.1 基本假設

① 基梁和約束層可看作Euler-Bernoulli梁；② 基梁和約束層有不同的橫向位移(撓度)；③ 黏彈性層的橫向位移是基梁和約束層橫向位移的線性插入值；④ 復合結構阻尼由黏彈性層的剪切和壓縮變形引起；⑤ 各層完美黏結，無相對滑動。

1.2 幾何和變形關系

在上述假設下，黏彈夾芯梁的變形關系如圖2所示。

圖2中主要幾何參數意義如下：L為梁長度；hc,hv和hb分別為約束層、黏彈性層和基梁的厚度；wc和wb分別為約束層和基梁的橫向位移；?wc/?x和?wb/?x分別為約束層和基梁的轉角；φ和β分別為黏彈性層的轉角和剪應變。

圖2 復合耗能假設下EVEC梁的變形和幾何關系

根據假設，約束層和基梁被視為Euler-Bernoulli梁，忽略其剪切變形，則其內部任一點的縱向位移u(i)和橫向位移w(i)為[22]

(1)

式中：ui(x,t)和wi(x,t)分別為第i層中面的縱向和橫向位移。zi為該點到第i層中面的距離。它們在局部坐標系中的位置關系，如圖3所示。

圖3 黏彈夾芯梁各層的局部坐標系

從圖3可知，對于約束層下表面上的點，其z坐標為zc=-hc/2；對于基梁上表面的點而言，其z坐標為zb=hb/2。將它們分別代入式(1)可得黏彈性層的上、下表面的軸向(x向)位移表達式分別為

(2a)

(2b)

根據假設，黏彈性層的中面縱向位移為

(3)

由于黏彈性層相對于兩個彈性表面層而言非常軟，其橫向位移可假定為是約束層和基梁的線性函數，即定義黏彈性層的橫向位移為約束層和基梁的橫向位移的平均值為

(4)

根據假設及圖2所示幾何關系，黏彈性層的剪應變為

(5)

顯然黏彈性層的壓應變為

(6)

1.3 自由度和形函數

構造如圖4所示黏彈夾芯梁單元。這是一種2節

圖4 黏彈夾芯梁單元節點位移示意圖

點12自由度復合梁單元。每個節點的6個自由度分別為約束層和基梁的縱向位移，橫向位移和轉角。

單元內任一點的位移向量寫成矩陣的形式可以表示為

(7)

式中各位移分量分別為：約束層和基梁的軸向位移uc,ub,橫向位移wc,wb和轉角θc,θb，它們可以通過以下函數插值得到

wc=a1+a2x+a3x2+a4x3,

wb=a7+a8x+a9x2+a10x3,

(8)

式中，常數項 {a1,a2,…,a12}由單元兩個節點的12個位移分量決定。

節點的位移向量為

(9)

則同理單元內任一點的各位移向量可以由形函數插值得到：

wc=N1Δe

(10a)

θc=N2Δe

(10b)

uc=N3Δe

(10c)

wb=N4Δe

(10d)

θb=N5Δe

(10e)

ub=N6Δe

(10f)

式中各形函數表達式為

(11a)

(11b)

(11c)

(11d)

(11e)

(11f)

將上述形函數分別用于式 (4), (5), (9) 和 (10)中，則黏彈性層的位移可以通過形函數和節點位移向量表示如下

uv=N7Δe

(12a)

wv=N8Δe

(12d)

β=N9Δe

(12c)

εv=N10Δe

(12d)

式中

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

1.4 單元剛度陣

單元剛度矩陣由單元勢能導出。本部分將用到的數學術語意義如下：Ei,Ai,Ii和ρi(i=c,v,b)分別為約束層，黏彈性層和基梁的彈性模量，橫截面積，慣性矩和密度；Gv為黏彈性層的剪切模量。

(1) 彈性層(約束層和基梁)勢能

彈性層由軸向位移引起的勢能為

(14a)

(14b)

彈性層由橫向位移(彎曲)引起的勢能為

(15a)

(15b)

(2) 黏彈性層勢能

黏彈性層由剪應變引起的勢能為

(16a)

(16b)

(17a)

(17b)

黏彈性層由壓應變引起的勢能為

(18a)

(18b)

顯然，單元總勢能為各層勢能之和

(20)

單元總剛度陣為各層剛度陣之和

(21)

(22)

1.5 單元質量陣

單元質量陣由單元動能導出。

各層因軸向運動引起的動能為

(23a)

(23b)

式中，為各層軸向運動相應的質量陣。

各層因橫向運動引起動能為

(24a)

(24b)

式中，為各層橫向運動相應的質量陣。

顯然，單元總動能為各層動能之和

T=Tei+Tbi,(i=c,v,b)

(25)

單元總質量陣為各層質量陣之和：

(26)

1.6 黏彈夾芯梁有限元動力學方程

哈密爾頓(Hamilton)原理的變分形式可表示為

δ(T-U)dt+δWdt=0

(27)

式中，T為單元的總動能；U為單元的總勢能；W={Δe}T{Re}為作用于單元的非保守力所作的功，{Re}是作用于單元的外力矢量，δ為在指定時間區間內所取的變分。將式(20)和式(25)代入式(27)可以導出單元的動力學方程。

(28)

將黏彈夾芯梁離散成一定數量的有限元單元，然后按有限元單元組裝的方法將這些單元的質量陣和剛度陣組裝后可得黏彈夾芯梁的整體動力學方程

(29)

式中，M是夾層梁的總質量陣，K是總剛度陣，R是系統所受激勵力。

2 黏彈性材料的模型

要對黏彈夾芯梁結構進行振動有限元分析，還需要建立黏彈性材料本構模型，然后將其導入到動力學方程中才能得到其固有頻率和損耗因子。黏彈性材料的模型有很多種，此處只介紹下文將要使用的兩種典型模型：復常數模量模型和GHM模型。

2.1 復常數模量模型

復常數模量模型認為黏彈性材料復剪切模量的實部(儲能模量)和虛部(耗能模量)均為常數，即

Gv=G′+jG″=G′(1+jηv)

(30)

式中，ηv=G″/G′是黏彈性材料的損耗因子。

因為復常數模量模型的表達式是復常數，所以黏彈夾芯梁方程(29)的特征值問題為

([K]-ω*2[M]){Δ}=0

(31)

式中，ω*為特征頻率，為復數，求解上述特征值問題即可求得該復特征頻率，則黏彈夾芯梁系統的固有頻率和損耗因子可以由下式計算

(32)

復常數模量模型形式簡單，處理方便，應用較為廣泛，但它沒有考慮黏彈性材料的剪切模量隨著振動頻率變化而變化的特性。

2.2 GHM模型

GHM模型[23-24]將黏彈材料的復剪切模量函數表示成一系列微振子項的代數和。微振子項由一個虛擬的彈簧-質量-阻尼單元構成，它通過輔助座標“Z”與系統的空間坐標耦合，以此來模擬黏彈性材料與位移q相應的應力應變行為。在GHM模型中，黏彈性材料的復剪切模量函數在拉氏域中的表達式為

(33)

式中，常數G∞為當時間t=∞時，松馳函數的穩態值，即黏彈材料剪切模量的最終值。s為拉普拉斯算子。N是微振子的項數，由復剪切模量頻率依賴性的高低決定，一般情況下，當頻率范圍在1～500 Hz時，三項微振子就能很好地滿足黏彈材料復剪切模量的曲線擬合要求。每項微振子的效應由一個二階有理函數確定，而該函數是由三個正常數{αk,ωk,ζk}確定的，因而這三個正常數也決定了復剪切模量函數在拉氏域中的形狀。顯然，如果取N階微振子，該模型有3N+1個參數需要確定，這些參數可以通過對實驗數據進行曲線擬合得到。

將黏彈夾芯梁結構單元動力學方程進行拉氏變換得

(34)

式中，為黏彈性材料復模量模型。

黏彈性材料復模量模型采用GHM模型時，引入輔助耗散坐標

(35)

式中：k=1,2,3，…，N為微振子項數。

然后進行拉氏逆變換并進行整理后可得黏彈夾芯梁在時域中的動力學模型為

(36)

式中

(37a)

(37b)

(37c)

(37d)

(37e)

經單元組集后即可行黏彈夾芯梁結構的動力學方程

(38)

式中，M,D和K分別為總質量陣、總阻尼陣和總剛度陣，x為總的位移量，R為黏彈夾芯梁所受外部激勵力。

可見GHM模型可以很好地描述黏彈性材料剪切模量隨著頻率變化的特性，并且可以很好地融入到有限元動力學方程中，通過引入耗散坐標可以將黏彈夾芯梁的動力學方程轉化為普通的二階定常線性系統動力學方程，求解固有頻率、阻尼等模態參數都很直接方便[25]。

3 數值驗證

分別應用本模型對不同邊界條件，不同幾何參數的黏彈夾芯梁的振動進行分析，計算其固有頻率和損耗因子，然后將計算結果分別與精確解析解、常規數值解進行對比，一方面可以多角度地驗證本文提出的有限元模型另一方面也可以對黏彈夾芯梁進行振動分析，得到一些有益工程的結論。

3.1 固支-自由邊界條件下黏彈夾芯梁結構的振動特性

為了研究黏彈夾芯梁結構在固支-自由邊界條件下振動特性并驗證本文模型，選用一根懸臂黏彈夾芯梁為研究對象，其材料和結構參數見表1。

本部分采用五種算法研究黏彈夾芯梁固有頻率和損耗因子。這五種方法分別為本文的有限元模型、經典的“六階理論”解析法[26]、“實特征模態”(Real Eigenmodes, RM)法[27]、 “鉆石法”(Diamant Approach，DA)[28]和“漸近數值法”(Asymptotic Numerical Method，ANM)[29]。應用本文有限元模型時，將黏彈夾芯梁離散為30個單元。

表2和表3分別列出了上述各方法對固支-自由邊界的黏彈夾芯梁前6階固有頻率和損耗因子的預測結果及與解析解的相對誤差。為考察黏彈性材料損耗因子ηv對系統振動特性的影響，計算時分別取其值為0.1，0.6，1和1.5。

表2 固支-自由邊界EVEC梁前6階模態對應的固有頻率計算值

從表2可以看出，在對固支-自由邊界條件下的黏彈夾芯梁前6階固有頻率的計算上，本文有限元模型、RM、DA和ANM均具有良好的精度。但相比較而言，本文有限元模型的精度是最高的，與解析法相比，其誤差范圍為0～0.15%，平均誤差為0.08%；DA法次之，其誤差范圍為0～0.19%，平均誤差為0.12%；再次是ANM法，其誤差范圍為0～3.08%，平均值為1.36%；精度最低的是RM法，其誤差值最低為0，最高為8.17%，平均誤差為1.15%。需要指出的是，RM法計算的固有頻率與黏彈性材料的損耗因子無關，這與實際不符。所以就對黏彈夾芯梁固有頻率的預測上，以上四種方法的精度按高低排序為：本文模型> DA>ANM>RM。

表3 固支-自由邊界黏彈夾芯梁前6階模態對應的損耗因子計算值

從表3可以看出，在對固支-自由邊界條件下的黏彈夾芯梁前6階模態對應的損耗因子的預測上，本文有限元模型、DA法和ANM的精度都非常高。相比而言，精度最高的是本文有限元模型，其最小和最大誤差分別為0和2.6%，平均誤差為0.42%。排名第二是的DA法，其誤差范圍為0～2.6%，平均值為0.45%。ANM法的誤差范圍為0～10%，平均值為2.27%，排名第三。精度最差的是RM法，其誤差最低為0%，最高為85%，平均誤差為8.46%。當黏彈性材料損耗因子變大時，RM法對損耗因子的預測誤差明顯增大，當黏彈性材料損耗因子為1.5時，RM法預測的1階損耗因子誤差達到了85%，顯然已經不適用了。由此可得出結論，在對黏彈夾芯梁結構的損耗因子預測上，四種數值法按精度排序為本文有限元模型> DA>ANM>RM。

表2和表3的計算結果顯示本文有限元模型對固支-自由邊界條件下黏彈夾芯梁結構的振動特性有良好的預測精度。另外還可以看出，黏彈性材料損耗因子增加會導致夾芯梁的固有頻率和損耗因子相應增加，但其損耗因子的增加比固有頻率的增加要明顯得多。

3.2 簡支-簡支邊界條件下黏彈夾芯梁結構振動特性

仍取表1中的結構參數，只是將邊界條件換成簡支-簡支。以Rao[30]的解析解為基準，驗證本文有限元模型對簡支邊界條件下,不同黏彈性材料損耗因子的黏彈夾芯梁結構的固有頻率和損耗因子的預測精度。當采用本文有限元模型計算時，同樣將梁劃分為30個單元。計算結果列于表4。

從表4可以看出，在對簡支黏彈夾芯梁結構的前6階固有頻率的預測上，本文有限元復合模型與解析法的結果非常接近，平均相對誤差僅僅為0.23%。在對損耗因子的預測上，本文復合模型與解析解的平均相對誤差僅為0.85%。可見本文模型對黏彈夾芯梁結構的振動特性預估具有良好的精度。

另外與簡支-自由邊界條件相比，簡支-簡支邊界條件下黏彈夾芯梁的固有頻率更大。就損耗因子而言，簡支邊界條件下的黏彈夾芯梁的第1階損耗因子比簡支-自由邊界條件下的的要高，但其它階的損耗因子要低。這說明不同的邊界條件對黏彈夾芯梁的振動特性有較大影響。

表4 簡支-簡支邊界黏彈夾芯梁前6階模態對應的固有頻率和損耗因子

值得注意的是本文復合模型對這兩種邊界條件下的黏彈復合梁結構的固有頻率和損耗因子的預測結果都非常好，這說明本文復合模型對黏彈夾芯梁的振動特性預估有良好的適用性。

4 實驗驗證

為驗證本文有限元模型，對一黏彈夾芯梁進行振動測試實驗。表5為黏彈夾芯梁的材料和幾何參數。中間夾芯層材料采用國產的ZN-1型黏彈性材料。在圖5為實驗裝置示意圖。夾芯梁一端被夾具夾持，另一端自由。在自由端的中線上黏貼一微型輕質加速度傳感器。實驗時采用一把自制的輕質，柔軟的帶橡皮頭小錘輕擊梁端部激振，自由端的加速度信號由加速度傳感器拾取，通過LMS SCADAS III數據采集器進行采集和調理，然后通過LMS Test. Lab 振動噪聲試驗分析系統完成信號分析，得到夾芯梁自由振動響應和響應譜。這樣梁的固有頻率可以從響應譜圖直接讀出，相應的損耗因子可由半功率法得到。表7為本文有限元模型對黏彈夾芯梁前三階固有頻率和損耗因子計算結果和實驗結果的對比。計算時將梁離散成30個單元。

用本文有限元模型進行數值計算時，黏彈性材料的本構模型采用GHM模型。ZN-1型黏彈性材料GHM模型參數見表6[31]。

圖5 黏彈夾芯梁結構振動測試實驗裝置示意圖

從表7可以看出，本文有限元模型計算結果和實驗結果吻合得相當好。對黏彈夾芯梁前三階固有頻率的預測誤差均在3%以下，對應損耗因子的預測誤差在5%以下。這說明本文有限元模型是正確的。

5 結 論

基于復合耗能假設建立了一種新的有限元數值模型研究黏彈夾芯梁的振動和阻尼特性。該模型構造的有限元單元為三層二節點梁單元，每個節點12個自由度。建模時同時考慮了中間黏彈性層的剪切阻尼和壓縮阻尼。為了驗證該有限元模型的有效性，引入了兩個算例研究不同邊界條件下黏彈夾芯梁的振動特性，結果表明本文提出的有限元復合模型的計算精度優于幾種常用數值方法，對不同邊界條件的黏彈復合梁均有良好的適用性。最后還通過對黏彈夾芯梁結構的振動實驗對本文有限元模型進行了驗證，結果表明本文有限元模型是正確可靠的。