基于單元整體視角 凸顯運算本質理解

【摘? ?要】運算定律是數學運算的基礎。實際教學中學生在運算定律本質理解與應用方面存在較大困難。為了解決這個難點，我們要準確定位“運算定律”單元教學的目標，采用單元整體教學的方式系統設計教學思路，教學設計逐層深化，注重培養學生的簡算意識，并通過精準練習，夯實基礎，提升學生簡算技能。

【關鍵詞】小學數學;運算定律;簡算技能

人教版教材四年級下冊第三單元“運算定律”主要教學加法交換律與結合律，乘法交換律、結合律與分配律。這一單元的學習具有重要的意義，但是數學教師認為“這個單元太難了”。 上一屆四年級教學完“運算定律”后，對全班40名學生進行了后測，要求怎樣簡便怎樣計算，如果使用了運算定律（性質），就寫出名稱。部分調查情況如下表：

6道題中4題是“標準模型”的簡便計算，想到簡便方法并正確計算的學生均達到85%。而35×28+70這樣簡算特征比較“隱蔽”的題目，能自主想到簡便方法的不足50%，由此可見學生缺乏必要的觀察力和創造條件簡算的意識。平時作業中還發現很多學生在式題中能主動運用運算定律進行簡算，但在解決實際問題時，受數量關系等因素的影響，不能合理、靈活地進行計算。其原因是單元教學中，“標準模型”的強化訓練過多，缺少對“非標準模型”式題簡便計算的思考，給學生留下了“只有課本、練習本上這樣的題目才能簡便計算”的印象。

總的來說，這一單元教學最大的問題是沒有從單元教學目標出發，以整體教學的思路來系統設計各課時的教學。

一、“運算定律”單元教學目標定位

一要厘清簡便計算與運算定律的聯系與區別。運算定律是一種模型化知識，簡便計算則是根據算式和數的特點，依據四則運算的性質，靈活處理運算順序，以達到簡便易算的目的。在教學中，教師要牢牢把握，運算定律是運算本身固有的性質，也是后續代數知識學習的必備基礎，因此運算定律教學不能簡單地等同于簡便計算教學，要引導學生理解和把握運算定律的本質，在此基礎上學會運用運算定律進行一些簡便計算，并能用所學的知識解決簡單的實際問題。

二要注重培養學生的數學思維能力。在運用歸納推理得到運算定律的過程中，積累活動經驗。教師要注意讓學生充分地探究嘗試，合作表達，感受歸納推理與演繹推理的價值。

二、“運算定律”單元教學策略

（一）教學設計要系統化

“運算定律”單元知識框架清晰，為了能讓學生主動參與歸納推理的過程，積累豐富的活動經驗，形成較為系統的知識體系，需采用單元整體教學的方式。

1.通過“單元導讀”，“問”明學習目標

諾貝爾物理學獎獲得者李政道曾說：“求學問，需學問，只學答，非學問。”數學教學中，我們要注重培養學生發現問題和提出問題的能力。本單元學習之初，先引領學生采用提問的方式對單元學習內容有一個整體的了解，并帶著疑問展開整個單元的學習，起到目標導向作用。

教學片段如下：

師：今天開始我們將學習第三單元《運算定律》，對于這個單元的學習你有疑問嗎？

生：什么叫運算定律？

生：為什么會算還要定律？（為什么要有運算定律？）

生：有哪些運算定律？

師：同學們的問題提得很好。（課件呈現五條運算定律）我們這個單元主要學習的就是這五條運算定律。你現在有什么想說的？

生：為什么沒有減法、除法運算定律？

生：加法有交換律、結合律，乘法也有交換律、結合律。

生：為什么加法沒有分配律，只有乘法有分配律？

……

以上教學片段中，學生提了很多有價值的問題，帶著這些問題展開的學習，能使學生學得更深刻，思考性更強。

2.上好“種子課”，把握知識結構

人教版教材是按照加法運算定律和乘法運算定律兩大類進行編排的（如下圖）。加法交換律、結合律和乘法交換律、結合律在形式結構上相似度很高，學生學了加法的運算定律，可以遷移類推乘法交換律、結合律。同時從教材的編排特點來看，“運算定律”單元教材的編排體現了歸納推理的思維過程。每一個內容基本上是按照情境引出具體算式—計算得出兩組算式結果相等—觀察算式，初步得出規律—學生舉例—觀察所有算式，發現規律—表述規律—解釋、驗證—應用規律。

基于知識特點和編排形式的高度相似，教師將加法交換律、結合律作為本單元的“種子課”，引導學生經歷歸納的全過程，獲得關于歸納推理的基本經驗。同時運用演繹推理，引導學生從問題情境、運算意義的角度來理解定律的正確性。后續幾個課時的教學，采用“逐步放手”的策略，在學習減法性質時，扶著學生“走”一程（理解運用這兩種方法探索規律），在學習乘法交換律與結合律、除法性質時讓學生自由“奔跑”（自主運用方法探索規律）。這樣的設計重在引導學生學方法、用方法，豐富活動經驗。

乘法分配律一課雖然不是本單元的起始課，但因為乘法分配律涉及兩種運算，結構復雜，變式多，也是非常重要的課，也可以稱為“種子課”。這一課，需要從結構入手，強化學生的結構意識，在腦中形成（□+〇）×★=□×★+〇×★的表象，并通過多元表征方式尤其是用乘法的意義來解釋乘法分配律的正確性。

3.重視知識梳理，“分類”強化理解

復習不僅僅是為了查漏補缺， 通過整理與復習，幫助學生建構知識網絡是復習課的一項重要任務。經過一個單元的學習之后，學生對于運算定律有了一定的理解。教師編制復習單，學生課前進行自主整理，表格式的整理方式便于學生記憶。

在自主整理時，學生采用不同的分類方法進行整理，有的學生按照加法、乘法、減法、除法的順序進行整理（如下圖），有的學生按照交換律、結合律、乘法分配律、減法與除法性質的順序整理（如下圖）。在反饋交流時，教師引導學生說說自主整理的想法，特別是不同運算定律或性質之間的聯系與區別，便于學生歸納整理，形成知識網絡。如交換律是“交換加數或因數位置，得數不變”，結合律是“改變計算順序，得數不變”。

（二）教學設計要逐層深化

“運算定律”教學關鍵是對定律本質的理解，一方面需要引導學生充分經歷歸納推理的過程，另一方面需要從常規到變式，豐盈應用。

1. “形神兼備”——深入看

在借助實例初步歸納出運算定律的基礎上，教師可借助生活表征、圖形表征、符號表征等方法提煉定律的形式結構。如乘法結合律的教學可借助立體圖形（如圖1），可以先算一層有幾個，也可以先算一列有幾個。又如乘法分配律的教學可借助課件演示圖形從分到合或從合到分的動態過程。圖形表征可以給予學生一個“記憶的支點”，幫助學生理解運算定律。符號表征是高度抽象的數學表征方式，從具體實例到用符號表示的過程中，學生進一步關注運算定律的結構特點。

運算定律的形式結構在不完全歸納中可以建立，但是學生對這個共性的感知可能只是符號化的。如果只從形式結構上花工夫，那么學生會很難理解為什么算式可以等值變形，對運算定律的學習只知其形而不知其神。要走出“有形無神”的困局，就需要從運算意義入手，抓住這個根基，講清楚為什么。如加法交換律，從運算的意義來說，不論左邊加右邊，還是右邊加左邊，都是把兩部分合起來，因此和是不變的。又如乘法分配律的根基是乘法意義，11個25加9個25等于（11+9）個25，不論是分開算再相加，或是合起來乘，計算的都是20個25的得數。從幾個幾加幾個幾等于幾個幾的角度來解釋乘法分配律，實現意義與模型表征的有機結合，有助于簡便計算如99×28+28，76×101-76，43×19+56×19+19的實施。

2.“舊知”牽線——回頭看

在學習運算定律之前，其實學生已經有了比較豐富的實踐經驗，教學中要充分利用學生的舊知理解定律內涵。如教學加法交換律時，可以引導學生回顧一年級學習的一圖四式（如下圖3）。教學乘法分配律時可以引導學生回憶三年級學過的兩位數乘兩位數筆算（如下圖4），14×12，計算時先算個位14×2，再算十位14×10，就是2個14加10個14。回顧原有的知識，可以例證運算定律的正確性，進一步理解運算定律的本質。運算定律不僅僅是為了簡算，它也是后續數學學習的基礎。溝通知識之間的聯系，能讓學生從整體上把握知識形成與發展的脈絡，使數學知識結構化、系統化。當學生在探究運算定律的過程中回顧長方形周長的計算方法，兩位數乘一位數、兩位數乘兩位數、多位數筆算乘法的算理算法時，那會心的一笑或者一聲輕輕的“哦”，那種“驀然回首”的驚喜是數學學習過程中的美麗樂章。

3.“變式”拓展——對應看

任何概念都有其內涵與外延，教學中除了引導學生理解文字表達的含義外，還應對其含義進行拓展。在以往的教學中，發現這樣一種現象，讓學生舉例說明交換律時，學生糾結于“該寫2個數還是寫3個數”而無從下手。實際教學中學生歸納交換律的過程往往是借助大量的兩個數的例子，通過不完全歸納定律后用字母表示的，如教材中所說“兩個數相加，交換加數的位置，和不變”。而實際運用時，往往是三個及以上數相加，這樣就容易造成學生實際運用的障礙，對概念的理解存在局限性。因此，教學中教師要注重引導學生從基本結構的“立”到對基本結構的“破”，實現對定律含義理解的拓展。

教學片段如下：

初步歸納總結加法交換律，并用字母式a+b=b+a表示。

（1）提供素材，學生計算35+145+65，143+234+257。

（2）展示交流，提出問題：你為什么把35和65先加起來，這樣計算改變了什么？可以這樣改變嗎？

（3）在35+145+65中，誰是加法交換律中的a和b？

（4）通過交流討論得出：雖然這里湊整的是35和65，但是交換位置的是145和65。

（5）2個加數、3個加數時可以運用加法交換律，那么如果有4個加數、5個加數或者更多加數可以運用嗎？請舉出兩三個例子并算一算。

以上教學片段中，教師加強了學生a+b=b+a與具體應用之間的對應關系， 拓展了對加法交換律的理解。

除了交換律以外，結合律，乘法分配律等運算定律的內涵同樣需要拓展。如乘法分配律要增加項數的變式，將兩數和與一個數相乘變為三個四個數的和與一個數相乘，即（a+b+c）d=ad+bd+cd;將兩數之和變為兩個數之差，即（a-b）c=ac-bc;將特殊數1參與到變式中，即（a+1）b=ab+b。讓學生在“變與不變”中進一步內化對定律應用的理解。

（三）教學設計要注重提升簡算意識

“運算定律”單元的教學目標之一是運用運算定律進行一些簡便計算，解決簡單的實際問題。對于小學生來說，運算定律只有在運用的時候才能體現其價值，而且也能在運用中進一步深化理解。因此，本單元的教學要注重學生運算的正確性和靈活性。

1.一題多解，提升靈活簡算技能

良好的簡算意識是當學生面對簡算特征不明顯的題目時，能恰當地選擇計算方法。簡算意識不是一朝一夕能養成的，需要教師在平時教學中創造條件，抓住契機，鼓勵學生算法多樣化，提倡巧算。

如“運算定律”單元復習時，教師可設計一些題目，要求簡便計算。例如計算65+35×16。

教學片段如下：

呈現一名學生的答題。

師：其他小組有什么想法？

生：65+35×16這一題不能先算65+35，這里沒有括號，應該按順序先計算35×16的積再加65。

師：是呀，我們在計算時不能光考慮數據，還要考慮運算順序，綜合思考能否找到合適的運算定律進行簡便計算。

生：其實這一題也可以簡便計算的（如下圖）。我先將16拆成10和6，分別算出35乘10和35乘6的積，再加起來。

生：我的想法是把16拆成4乘4，先算35乘4的積，再乘4。

師：大家覺得他們的這兩種方法怎么樣？

生：我覺得他們的方法很厲害，不用列豎式就能算出答案。

師：是呀，很高明的想法，他們能從一道普通的題目想到簡便方法，活學活用。

以上教學片段中教師首先引導學生體會簡便計算中有“數”更要有“據”，在計算中不僅要關注數的特點，還要關注算式的結構。在一題多解基礎上展示學生個性化簡算方法，提高學生合理、靈活計算的技能。

2.自編習題，提升靈活簡算意識

自編習題的思維含量遠遠超過單純的計算，教師可以設計一些半開放或者開放式練習，引導學生自主編題。如“運算定律”單元復習課教師設計的兩組練習題（如下）：

（1）編半題

25×43____________，在橫線上填寫數與運算符號，使式子能簡便計算。并說明用什么定律或性質。

（2）編全題

選擇一：出一道看似可簡算，實則不能簡算的題。

選擇二：出一道看似不能簡算，實則可以簡算的題。

第一組針對學生乘法分配律和乘法結合律容易混淆的問題，設計了“編半題”的練習，“25×43____________，在橫線上填寫數與運算符號，使式子能簡便計算。并說明用什么定律或性質。”以上這組練習具有一定的開放性，學生可以運用乘法結合律編寫例如“25×43×4”這樣的題，也可以運用乘法分配律編寫例如“25×43+25×57”這樣的題。第二組針對學生因湊整的“條件反射”而忽視整體運算順序的問題而設計的一組開放性編題，學生任選其一編題，全班評選最有水平的題。編題的思維層次比計算高很多，學生在自主編題、計算、批改、反思的過程中對運算定律的本質以及簡便計算有了更深入的理解。

3.建立錯題庫，實現針對性練習

計算能力的提升需要一定量的練習，但是練習不能靠“量”取勝，應該有針對性。要補缺，先查漏，查漏的本質是了解學情，只有真正了解學情，才能針對性地補缺。一方面，教師要做有心人，平時作業批改時要注意記錄學生典型錯題，分析錯誤原因，形成班級錯題庫。有了這個錯題庫，教師就能有目的地設計練習題，通過練習課或者階段性課外練習的方式供學生復習鞏固。另一方面，教師也可以引導學生設置個人錯題本，學生每天摘錄自己作業中的計算錯誤，簡要分析錯誤原因。一個階段后，可以讓學生根據錯題本的內容自主設計一份計算練習，自己做一做，同伴相互批一批。這樣“私人定制”的練習題一方面能實現精準查漏的功能，另一方面自主命題的方式能充分激發學生的學習自主性。

數學教學需要整體意識，以整體的角度設計實施“運算定律”單元的教學，能讓學生更深入地把握計算的“形與神”，形成知識結構，夯實“數學大廈的基石”。

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（浙江省海寧市丁橋鎮中心小學 314413）