α噪聲環境下基于余弦代價函數的盲均衡算法

王旭光，陳 紅

(國防科技大學電子對抗學院，安徽 合肥 230031)

0 引言

盲均衡算法不需要訓練序列，只需要依靠自身接收的信號的統計信息來更新均衡器向量，可以有效提高系統的寬帶利用率[1]。由于計算量小、實時性強等優點，常模盲均衡算法(Constant Modulus Blind Equalization Algorithm，CMA)備受關注。上世紀90年代，基于CMA的分數間隔均衡器得到了廣泛發展和應用[2]。CMA算法的代價函數不含相位信息，對相偏反應遲鈍，僅適用于均衡幅度恒定的信號。最初的盲均衡算法研究是在無噪聲的假設下進行的，這是由于當時大多數學者認為碼間串擾(Intersymbol Interface，ISI)是引起通信信號失真的主要原因。這一假設對有線通信情況，如同軸電纜、光纖或雙絞線是適用的，但對于無線通信系統不合適[3]。而后，Fijalkow等人將信道噪聲建模為高斯白色噪聲模型，研究了加性高斯噪聲信道對CMA算法的影響[4]。但是在無線通信系統中，自然界中的很多噪聲，如槍炮聲、電器開關、雷電磁暴、海雜波等，都具有很強的脈沖性，在很短時間內具有很強的幅度。而α穩定分布是唯一一種滿足廣義中心極限定理的分布，可以有效描述這一類噪聲干擾，Nikias等人最先將其引入信號處理領域[5]。α穩定分布具有很強的代表性，可以描述各種不同類型的脈沖噪聲。在這種噪聲條件下，許多傳統的信號處理方法性能下降嚴重，如CMA。因此，將CMA加以改進，使它能夠在脈沖噪聲環境下也有較強的適應能力，是當前一個重要的研究方向。

當前已經有許多這方面的研究成果。文獻[6]中提出了一種分數低階常模盲均衡算法(FLOSCMA)，該算法在一定程度上抑制了脈沖噪聲，但是會產生相位偏轉。LI S等人提出了FLOSMCMA算法，該算法可以糾正相偏，但是均衡效果不理想[7]。以上幾種方法大都是固定步長的，收斂速度和穩態誤差之間存在矛盾關系[8]。為了進一步增強盲均衡算法在無線通信系統中的性能，增強其適應能力，本文提出了一種基于改進余弦代價函數的自適應分數低階盲均衡算法。

1 α穩定分布噪聲與余弦代價函數

1.1 α穩定分布噪聲與分數低階統計量

在無線通信中，尤其是在復雜電磁環境下，信號中的噪聲和干擾往往具有較強的脈沖性而且不服從高斯分布，而α穩定分布模型則更適用于描述這些噪聲。其特征函數為[9]：

(1)

式(1)中，α是特征指數(0<α≤2)，當α=2，β=0時，式(1)可化簡為φ(t)=exp(jat-γ|t|α)，此時α分布可以看作為高斯分布。此外，α越小，噪聲的脈沖性就越強。γ是分散系數，又叫尺度參數，反映了α穩定分布的離散程度，其值必須取正數；β是對稱系數，反映了α分布的傾斜程度，當β=0時，α穩定分布是關于μ對稱的,μ是位置參數[10]。圖1是一個α=1.5時的對稱α穩定分布序列。

圖1 α=1.5時的對稱α穩定分布序列Fig.1 Symmetric alpha-stable distribution when α=1.5

當α<2時，α穩定分布不再存在二階以及高階統計量，這使得CMA算法在脈沖噪聲條件下性能嚴重退化。而在α穩定分布噪聲條件下，分數低階統計量(Fractional Lower Order Statistics,FLOS)在信道均衡中可以起到抑制脈沖噪聲的效果[10]。Rupi等提出了基于分數低階統計量的常模盲均衡算法(FLOSCMA)，該算法利用輸入信號的分數低階矩設計代價函數，但是穩態誤差仍比較大[10]。

1.2 余弦代價函數

常模盲均衡算法(CMA)的代價函數為：

J=E[e2(k)]=E{[|z(k)|2-R2]2}

(2)

利用隨機梯度下降法可得均衡器權向量更新公式為：

f(k+1)=f(k)-μ(|z(k)|2-R2)y*(k)z(k)

(3)

CMA通常適用于常模信號，但對于非常模信號，CMA收斂速率慢穩態誤差大。針對上述缺陷，饒偉提出了一種基于余弦代價函數的盲均衡方法[11]。在復信號情況下，文獻[11]定義新的代價函數為：

J(f)=2E{cos2[zr(k)]·π/2}/π+
2E{cos2[zi(k)]·π/2}/π

(4)

式(4)中，zr(k)、zi(k)分別為均衡輸出信號的實部與虛部。利用隨機梯度下降法可得均衡器抽頭系數更新公式為：

(5)

式(5)中，μ為步長。定義誤差函數為：

e(k)=sin[zr(k)π]+jsin[zi(k)π]

(6)

式(4)-式(6)即構成了基于余弦代價函數的盲均衡算法。

2 α噪聲下改進的自適應盲均衡算法

2.1 改進的分數低階盲均衡算法

傳統盲均衡算法大多是基于高斯噪聲假設的，而由于α穩定分布噪聲不含有二階矩以及高階矩，所以傳統的基于均方誤差準則的盲均衡算法在脈沖噪聲環境下其性能會大幅度下降。為了抑制α穩定分布噪聲，Rupi等人提出了基于分數低階統計量的常模盲均衡算法FLOSCMA，通過引入分數低階統計量來更新均衡器權向量，使均衡器輸出信號能夠較好收斂。但該算法在脈沖噪聲條件下收斂較慢，效果也不太理想。

為了解決上述問題，改善現有算法的性能，將分數低階統計量與基于余弦代價函數的盲均衡算法結合。盲均衡器結構如圖2所示。

圖2 盲均衡算法流程圖Fig.2 The flow chart of blind equalization algorithm

圖2中，x(k)為信號源發送的恒模信號；c(k)為傳輸信道，根據具體情況的不同，可以選擇實信道或復信道；n(k)為加性脈沖噪聲；f(k)為均衡器的權向量，也是均衡器的沖激響應；y(k)為經過信道的接收序列，同時也是均衡器的輸入序列。

由于α穩定分布噪聲不含有二階以及高階矩，故將文獻[11]的代價函數定義為：

(7)

式(7)中，p∈(0,α)，該代價函數中利用了均衡器輸出的p階分數低階統計量且p<2。利用隨機剃度下降法對均衡器權向量進行更新，得：

(8)

式(8)中，μ為步長，er、ei定義如下：

(9)

(10)

新算法的誤差函數項e=er+jei。當信號為M-QAM信號時且均衡器理想均衡時，星座坐標為zr(k)={±1,±3,…},zi(k)={±1,±3,…},此時可看出cos[zr(k)π/2]≡cos[zi(k)π/2]≡0，此時盲均衡代價函數為0，穩態誤差為0，均衡器的抽頭系數不再更新。

2.2 變步長算法

固定步長無法解決收斂速率與穩態誤差之間的矛盾。當取一個較大的步長時，算法前期穩態誤差可以較快降低至一個較低的水平，但后期算法會在最佳值附近來回波動，難以取得良好收斂效果。取一個較小步長時，算法前期收斂較慢，但算法后期可以有效收斂至最佳值附近。解決這一矛盾的主要思想是：在步長與算法誤差之間建立某種函數關系，即在均衡初期采用大步長以保證收斂速率，而在均衡后期步長逐漸減小，以提高收斂精度，目前主要借助均方誤差作為調整步長的變量。

Hamidia M等人提出了一種基于Sigmoidal函數的步長更新方法，其步長更新公式如下[12]：

(11)

但該方法更新過程中加入了指數運算，嚴重延長運算時間。

Gao Y等人提出了一種借助自相關估計來修正步長的自適應算法，其步長更新公式如下[13]：

(12)

鄧江波等人提出了一種基于箕舌線函數的LMS算法，其步長與誤差之間有下列關系[14]：

(13)

在這一算法中，α3、β3用來調整步長的變化頻率與最大值，e(k)為誤差函數，這一算法無需進行指數計算，能夠減少運算復雜度，提升均衡效率。

2.3 改進的基于箕舌線的變步長算法

在變步長算法中，當采用誤差信號作為調節因子時，輸入端噪聲敏感，容易使步長產生較大抖動。因此設想利用自相關估計來修正步長因子，以消除不相關噪聲序列的干擾。由于脈沖噪聲會在極短時間內產生較大幅度的脈沖，所以采用自相關估計|e(k)e(k-1)|能夠有效消除不相關噪聲的影響，而且由于箕舌線函數沒有加入指數運算，其運算復雜度會明顯少于基于Sigmoidal函數的變步長算法，新的步長更新公式如下：

(14)

式(14)中，β4、α4分別用來控制步長變化的范圍與變化的速率。當參數β4、α4確定后，步長與α4|e(k)||e(k-1)|成正比，在算法初期，誤差較大時，步長也會比較大，使得算法盡快收斂；隨著算法運行，誤差逐漸減小，則步長隨之變小，使算法能夠更精確地進行搜索，降低收斂后的穩態誤差。

3 仿真實驗與結果分析

為了驗證本文算法的有效性和穩定性，將新算法與CMA算法、FLOSCMA算法以及不同的變步長算法在不同環境噪聲下作對比。仿真平臺為Matlab R2014a。

仿真一：在高斯環境噪聲下，比較CMA算法、FLOSCMA算法、新算法的性能。采用水聲信道h=[0.313 2，-0.104 0,0.890 8,0.313 4]，發射信號為10 000點的4QAM信號，信噪比為SNR=20 dB，均衡器長為7，在不同步長條件下檢驗三種方法的收斂性能，第一次實驗CMA、FLOSCMA迭代步長均為μ=0.001 5，第二次試驗兩者步長均為μ=0.000 5，低階統計量p=1.7，新算法中β4=0.005，α4=0.07，蒙特卡洛試驗500次仿真如圖3所示。

圖3 均方誤差曲線圖Fig.3 Curve of mean square error

從圖3(a)中可以看出，當環境噪聲為高斯噪聲時，CMA算法、FLOSCMA算法、新算法都可以取得良好的均衡效果，但是由于新算法能夠根據誤差來調整步長，因此可以獲得較快的收斂速率，比CMA算法快了大約5 000步，比FLOSCMA算法快了大約800步。且三者收斂后新算法均方誤差要低于CMA、FLOSCMA算法。而兩種算法步長調節為μ=0.000 5時，三者收斂后穩態誤差相差不大而新算法的收斂速率明顯快于其他兩種算法。

仿真二：在α穩定分布噪聲中，比較CMA算法、FLOSCMA算法、新算法的性能。采用廣義信噪比GSNR來衡量信號與脈沖噪聲之間的強弱關系，如式(15)所示：

GSNR=10lg(E(|y(k)|2)/γ)

(15)

仿真實驗中取GSNR=25 dB，特征指數α=1.6；發射信號為10 000點的16QAM信號，均衡器長度為7，CMA、FLOSCMA迭代步長均為μ=0.001，新算法中β4=0.01，α4=0.07，低階統計量p=1.4，蒙特卡洛500次實驗仿真如圖4所示。

圖4 均衡后星座圖和均方誤差Fig.4 Constellation and MSE after equalization

從圖中可以看出，在脈沖噪聲環境下新算法也能取得很好的均衡效果，其收斂速度要比CMA、FLOSCMA算法快的多，收斂后的誤差也小于其他兩種算法。從星座圖看來，新算法星座圖也最清晰。

仿真三：在脈沖噪聲環境下，比較式(11)、式(12)、式(13)三種變步長方式的剩余穩態誤差。實驗中取GSNR=25 dB，特征指數α=1.6；發射信號為4 500點的16QAM信號，均衡器長度為7，β1=β2=0.005，α1=α2=0.07，β3=β4=0.01，α3=α4=0.3仿真效果如圖5所示。

圖5 均方誤差對比曲線Fig.5 MSE contrast curve

從圖中可以看出，四種方法最終都能取得良好的收斂效果，但是第二種和第四種方法收斂速度要明顯快于方法一和方法三，所以可以認為方法二、方法四均衡性能較為優越，而且方法四由于不需要指數運算，所以其計算復雜度明顯小于方法二。

4 結論

本文提出了基于余弦代價函數的自適應分數低階盲均衡算法。該算法將分數低階統計量引入到余弦代價函數中，使它能夠更好地抑制脈沖噪聲；為了解決傳統固定步長算法不能同時兼顧收斂速率和穩態誤差這一問題，提出了一種新的變步長算法，這一算法不需要進行指數運算，計算量小。仿真結果表明，新算法能夠在不同的噪聲環境下工作，特別在脈沖噪聲環境下，穩態誤差以及收斂速率要明顯優于CMA、FLOSCMA以及其他變步長算法。