古典概型應用實例分析

王冠凱

摘 要：生活中存在很多數學模型，古典概型是其中最常見也最廣泛應用的數學模型之一。我們應當善于將學習到的知識應用于生活實際，那么古典概型在具體的實例中是怎樣應用的呢？本文就針對這一問題給大家做一個簡單介紹。

關鍵詞：古典概型 古典算法 應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2019）02-0-01

引言

古典概型起源于賭博，十六世紀的意大利學者卡爾達諾在《機會性游戲手冊中》公布了關于賭博實踐的體會，這本書寫于1526年左右，但一直到一百多年后的1663年才出版。[1]古典概型也稱為古典算法，是我們高中階段所接觸到的一種在封閉系統內的概率模型。在古典模型下，隨機實驗所有可能的結果都是有限的，并且每個基本結果發生的概率也是相同的，即古典概型具有的最基本的兩個特征是有限性和等可能性。

一、猜拳游戲

古典概型在概率中占有比較重要的地位，一方面，它的許多概念比較直觀，容易理解；另一方面，它又概括了許多實際問題，有著很廣泛的應用。[2]猜拳游戲是其中最簡單的一種，也是古典概型有限性和等可能性最直觀的體現。因為復雜的模型都是以簡單模型為基礎構建而成的，因此只要掌握了簡單模型，對復雜模型只要按照步驟一步步分析，困難也就迎刃而解了。

例1、甲乙兩個同學玩一局猜拳游戲（剪刀、石頭、布），問會出現幾種游戲結果，且每種游戲結果出現的概率各是多少？

解析：首先，只有兩人參加的猜拳游戲的結果有三種情況，甲勝出；乙勝出；甲乙平局。

當甲出石頭時，乙分別出石頭、剪刀、布分別對應平局、甲勝出、乙勝出的游戲結果。

當甲出剪刀時，乙分別出石頭、剪刀、布分別對應乙勝出、平局、甲勝出的游戲結果。

當甲出布時，乙分別出石頭、剪刀、布分別對應甲勝出、乙勝出、平局的游戲結果。

由以上分析可以得出：九種出拳情形中甲勝出、乙勝出、平局的情形分別都是三種。

平局的概率：P（A）=3/9=1/3

甲勝出的概率：P（B）=3/9=1/3

乙勝出的概率：P（C）=3/9=1/3

二、擲骰子問題

古典概率知識在競爭規則中有著重要價值，很多競技或游戲中經常會用到擲骰子來決定先手后手。它不僅是制定游戲規則的重要道具，也可以檢驗一個簡單構建的競爭機制是否公平，為比賽創造出一個良好的競爭環境。

例2、甲乙兩位同學打乒乓球，用同時擲兩個質地相同的骰子決定誰先發球。

問：兩個骰子向上點數之和是6的概率是多少？如果規定所擲骰子和為單數時甲先發球；和為偶數時乙先發球，該規則是否公平？

解析：擲一個骰子會出現6種不同的結果，我們分別把兩個骰子標記為M，N。同時擲兩個質地相同的骰子，總共會出現以下這些情況：

（M1，N1）、（M1，N2）、（M1，N3）、（M1，N4）、（M1，N5）、（M1，N6）

（M2，N1）、（M2，N2）、（M2，N3）、（M2，N4）、（M2，N5）、（M2，N6）

（M3，N1）、（M3，N2）、（M3，N3）、（M3，N4）、（M3，N5）、（M3，N6）

（M4，N1）、（M4，N2）、（M4，N3）、（M4，N4）、（M4，N5）、（M4，N6）

（M5，N1）、（M5，N2）、（M5，N3）、（M5，N4）、（M5，N5）、（M5，N6）

（M6，N1）、（M6，N2）、（M6，N3）、（M6，N4）、（M6，N5）、（M6，N5）

由此可知：同時擲兩個骰子一共會出現36種情況。兩個骰子向上點數之和是6的情況一共有5種，故兩個骰子點數之和是6的概率為P（A）=5/36。兩個骰子向上的點數之和是奇數的情況有18種概率為P（B）=18/36=1/2，偶數的情況有18種概率為P（C）=18/36=1/2，P（B）=P（C）。故規定所擲骰子之和為單數時甲先發球，和為偶數時乙先發球，該規則公平。

三、摸球問題

生活中，大家總是希望少量的投入獲取大量的回報，如何正確看待小概率事件帶來的利益，是懷抱一絲希望無線循環還是摒棄該小概率方案選擇穩妥的方案？我們利用古典概型可以在一定程度上避免盲目上當受騙。

例3、校門口外，賣糖畫的小販拿出一個布袋，里面放了6個相同質地大小的玻璃球，3個黑球3個白球，在紙板上寫著購買規則：

（1）摸球一次，三個球是同一個顏色，則免費送一個老虎糖畫。

（2）摸球一次，三個球若不是同一個顏色，則給攤主一元錢。

問：該種購買規則下，從概率角度分析是五元買一個老虎糖畫劃算還是摸球劃算。

解析：把“摸球一次，三個球是同一個顏色”記為事件X，把“摸球一次，三個球不是同一個顏色”記為事件Y，事件A與事件B 為對立事件，其中基本事件有：

（黑1黑2白1）（黑1黑2白2）（黑1黑2白3）（黑1黑2黑3）

（黑2黑3白1）（黑2黑3白2）（黑2黑3白3）（黑2白1白2）

（黑2白1白3）（黑2白2白3）（黑3白1白2）（黑3白2白3）

（黑3白1白3）（白1白2白3）（黑1黑3白1）（黑1黑3白2）

（黑1黑3白3）（黑1白1白2）（黑1白1白3）（黑1白2白3）

共20中情況，其中事件X有2種情況；事件Y有18種情況。事件X發生的概率為P（X）=2/20=1/10；事件Y發生的概率為P（Y）=18/20=9/10，1/10<9/10。即用摸球規則得到老虎糖畫沒有花5元錢購買老虎糖畫劃算。

由上例可知，對于一些求總量的概率問題，如果問題條件發生變化，可以從特殊到一般，建立遞推關系求解。[3]

結語

古典概型應用廣泛，經濟、工業生產、生物遺傳等領域都有它的身影出現。我們應用古典算法計算生活中瑣碎的事件，絕非為了計算而計算，而是應用古典概型將生活中復雜的問題以一種直觀的方式呈現出來，運用數學思維，化繁為簡。我們應當善于將學習過的知識學以致用，當深入了解之后就能在以后的生活中舉一反三，更加深刻的了解事物。

參考文獻

[1]茆詩松，程依明，濮曉龍.概率論與數理統計教程[M].高等教育出版社.2004.

[2]安永紅.古典概型問題的推廣[J].呼倫貝爾學院報.2008-12.

[3]韓寶艷.古典概型解題技巧解析[J].山東工業技術.2014-05.