追根溯源揭本質，關聯變式求發展
——關于數學教師解題品質的思考

☉江蘇省泰州市教育局教研室 錢德春

解題是數學學習不或缺的重要環節.現實中常有這樣一種現象：教師與學生一起解題，有時教師的速度沒有學生快，這也是筆者自身的體驗.一方面，應該承認教師的智商與學生比不一定是最優秀的，在相同的時間內、用同樣的知識解題，學生可能更勝一籌，這是正常現象.更重要的一方面是：學生“初生牛犢不怕虎”，解題時“敢打敢沖”，不會考慮過多，而教師解題時則多了一些冷靜、顧慮與思考：如解答過程是否簡潔完美、問題來源與背景是什么、與哪些關聯、還有哪些思路、可否變式、能否一般化、向哪些方向發展、命題意圖是什么……這些其實是數學教師必備的解題品質.本文基于幾道試題的解答與反思過程，談談關于數學教師解題品質的思考.

一、解題與反思案例

所以點P一定在函數y=mx+n的圖像上.

圖1

圖2

反思2：問題的本質是什么？

從圖2直觀發現：如果過點P作x軸的平行線PG，GP仍然平分∠APA′.設點P的坐標為GP、A′N⊥GP，垂足分別為M、N.

所以tan∠APM=tan∠A′PN，即∠APM=∠A′PN.

由此可見：不論k、m、n為何值，都有GP平分∠A′PA，而由m=得到的上述結論是該結論的特例.

圖3

圖4

反思3：如果m為其他數值，原題的結論成立嗎？點P必在CD邊上”.（如圖5）

圖5

圖6

例2 （2018年福建省中考B卷第25題改編）如圖6，已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點為A（0，2），點B、C在該二次函數圖像上，且△ABC為等邊三角形.

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M（x1，-x12+2）、N（x2，-x22+2）.

分別作ME⊥BC、NF⊥BC，垂足分別為E、F.

反思1：問題的本質是什么？

上述問題中，條件“△ABC是等邊三角形”“與直線MN平行的直線y=-2x”中都含有這個元素，結論為“BC平分∠MBN”.這些條件、結論或元素之間是否存在著某種必然的聯系呢？

為了揭示問題的本質，不妨將問題一般化.設拋物線為y=ax2+c（a＜0，c＞0），點B、M、N的坐標分別為（m，am2+c）、（x1，ax12+c）、（x2，ax22+c），其他條件不變.

若tan∠1=tan∠2，則a（x1+m）=-a（x2+m），必有x1+x2=-2m.

設直線MN的解析式為y=kx+n，將點M、N的坐標代入，得x）2.

因為x1+x2=-2m，所以k=a（x1+x2）=-2am.以此驗證上述特例：當a=-1、m=-，k=-2am=-2×（-1）×，與條件完全吻合.

反思2：結論k=a（x1+x2）可否由其他方法得出？

反思3：能否有更進一步的猜想？

由上述推理是否可更一般地猜想：只要滿足“k=-2am”就有“BC平分∠MBN”呢？其中k為直線MN的解析式y=kx+b的一次項系數，a為拋物線的二次項系數，m為拋物線上點B的橫坐標，結論與兩個函數的常數項c、n無關.

顯然，以上步驟步步可逆（讀者可自行證明）.由此可見：“BC平分∠MBN”的充要條件是“k=-2am”.與其他量無關.這才是問題的本質.

二、問題思考

上述兩個案例中，在解題后均對解法和問題進行了反思，這個過程引發了筆者進一步的思考.數學教師解題除了掌握一定的解題策略、良好的思維方式，作為數學教師特有的解題品質，既要反思問題從哪里來、怎么來，也要關注是什么樣子、還可以是什么樣子，還要思考往哪里去、怎么去.即“追根溯源揭本質，關聯變式求發展”.

1.追根溯源揭本質

試題的命制，即使是原創題，都不會是無本之木、無源之水，一定會有問題的源頭.從問題原型來看，有些直接來自于教材，有些源自于某個重要結論；從思路方法上看，大多為常規思路、通性通法，考查重要的數學思想方法.作為數學教師，在解題中應該追根溯源，揭示問題的本質所在.

如在例1中，通過對問題深入思考發現，一是對條件一般化處理有：只要過原點O的直線與函數y=的圖像相交于A′、A，無論k、m、n為何值，都有“PG平分∠APA′（或其鄰補角∠APE）”；二是對原問題進行反思：如果m≠，只要將條件中的“正方形ABCD”改為“滿足=2|m|的矩形ABCD”，仍然有“A′B與函數y=的圖像的交點P必在CD邊上”.在例2中，通過分析試題條件中相關元素的關系，并對條件一般化后發現：“BC平分∠MBN”的條件為“k=-2am”，而原題則是在“當a=-1，m=-時，k=-2”這種特殊情況下的結論.這就揭示了問題的本質.

該試題是針對初中數學內容和學生認知能力，將一般性結論特殊化而命制的.教師要在解題中追根溯源，揭示問題的本質，并反過來回到原問題，將一般性結論在具體的、特殊的問題中加以驗證.只有這樣，教師才能居高臨下俯瞰數學知識與數學問題，在解題教學中游刃有余、收放自如.

2.關聯變式求發展

有人說，“基礎知識貴在求聯，基本技能貴在求變，基本思想貴在求通”［1］，在筆者看來，教學的“求聯、求變、求通”與“關聯變式求發展”有異曲同工之妙.

（1）“聯”：聯想、聯系.

數學解題中要經常思考：一是問題解法與哪些方法、知識、策略相關聯；二是問題與哪些問題本質是相同的，與哪些問題的形式相近但本質不同，對解題有何啟示.如例1與例2都是函數與圖像問題，均涉及角平分線的證明，證明方法都是通過構造直角三角形利用銳角的正切來解決，這就是知識與方法的聯系，這也是處理類似問題的策略之一.解決問題的具體方法既有聯系也有區別，聯系是：都可以通過代數運算方法進行推理，區別是：例2利用一元二次方程根與系數關系解決更快捷、簡潔.

為什么例2的解法聯想到與一元二次方程根與系數的關系？一方面，是受k=a（x1+x2）這個特定的代數結構與形式啟發；另一方面，點M、N是一次函數圖像與二次函數圖像的交點的橫坐標的實質為根據得到的一元二次方程的兩根.這就是聯系與聯想的作用.另外，這種解題經驗具有普適性，遇到可能出現二次方程的問題，可嘗試這種思路.如解決下列問題：

例3 如圖7，如果一次函數y=ax+b（a≠0）的圖像與x軸、y軸交于點A、B，與反比例函數y=的圖像交于P1、P2兩點，求證：AP1=BP2.

圖7

結論的證明方法論較多，在參考文獻［2］中有具體闡述，有些方法過程煩瑣，計算量大.這里考慮“化斜為直”，分別過點P1、P2作兩坐標軸的垂線（如圖3），垂足分別為E、M、N、F，要證AP1=BP2，只要證明△AEP1≌△P2FB，即證EA=FP2.依次設點A、P1、P2的橫坐標為xA、x1、x2，證EA=FP2即證xA-x1=x2，也即x1+x2=xA.因為xA=-，即證x1+x2=-.該等式結構與一元二次方程根與系數關系相同，故向此方向聯想：x1、x2恰為方程ax+b=即ax2+bx-k=0的兩根，結論顯然成立.

例2與例3從形式上看大相徑庭，但問題本質一樣，其方法也相互關聯.

（2）“變”：變化、變式.

所謂“變化、變式”，旨在說明兩層意思.第一層意思是思路變化.轉換角度思考問題，注意研究思路的多樣性和解題方法的變化，通過一題多解形成發散思維能力.第二層意思是問題變式.比如，對問題作“形異質同”或“形似質異”的變式與比較，形成舉一反三、舉三反一和把握問題實質的能力.

例2中兩銳角正切值相等，用一般的代數運算的方法證明后，嘗試用一元二次方程根與系數關系證明；例3中可以用純幾何方法，也可用代數方法，這就是一題多解式的思路變化；例1與例2的問題母體一個是反比例函數，一個是二次函數，但都是將“證明角相等”這樣形的問題轉化為代數推理問題，例2與例3兩個形式、結構不同的問題都可以轉化為方程根與系數的關系解決，可謂“形異質同”；而例1與例3看上去形式相同，但解法是兩種完全不同的方向，此乃“形似質異”.此外，問題本身還可以進行變式與遷移、嫁接與組合.如：

例2的（2）可以作如下變式：

①如圖2，若M、N分別位于直線BC的兩側，且BC平分∠MBN，一次函數y=kx+n的圖像經過點M、N，求k的值；

②如圖8，若P為二次函數y=-x2+2在對稱軸左側圖像上的一點，過點P作PQ∥x軸，直線y=-2x+n與二次函數y=-x2+2的圖像的交點M、N分別位于直線PQ兩側，且PQ平分∠MPN，求點P的坐標.

例3中“AP1=BP2”的結論完全可以“嫁接”到例1中.如圖4，設AP交坐標軸于點T、S，求證：AT=PS.

（3）“通”：通聯、通達.

“通聯、通達”指向兩個方面.一是問題關系、解題思路通聯，相關問題及思路之間聯系、聯結，形成知識、方法的網絡.透過3個例題的解決發現：它們之間有著千絲萬縷的聯系，將相關數學知識織成網絡，構成一個整體.如例3中，從數學思想維度上看，在問題解決的過程中，集化歸、數形結合、方程、輔元、整體、變中不變、特殊到一般等數學思想方法于一身.二是問題解決與問題形式通達，通過橫向拓展、縱向延伸，以通往遠方，達到新高.問題解決后，可以嘗試對問題橫向拓展、縱向延伸.如在例2中，我們已經知道，只要滿足“BC平分∠MBN”，那么k、m、a之間就滿足關系“k=-2am”.事實上，對拋物線y=ax2+c，還可以進一步延伸：去掉條件“c＞0”，并將條件“a＜0”弱化為“a≠0”，其他條件不變，如圖8，若P為二次函數y=ax2+c在對稱軸左側圖像上的一點，其橫坐標為m，過點P（m，s）作PQ∥x軸，直線y=kx+n與二次函數y=ax2+c的圖像的交點M、N分別位于直線PQ兩側，且PQ平分∠MBN，此時發現：無論a、k的值如何變化，m的值保持不變；或者s是a的一次函數（讀者不妨自行證明）

當然，這種思考的結果有些超出了初中數學的范疇，并不一定要求學生掌握.這里順便說句題外話.參考文獻［3］提出了命題中對韋達定理的隱性考查的問題，認為“新授課階段不宜對韋達定理進行弱化”，甚至覺得“初三新授課期間，沒有哪個教師真的把韋達定理弱化為簡單介紹”，對此筆者不敢茍同.盡管韋達定理是一元二次方程知識系統不可或缺的組成部分，在高中也有著非常重要的應用，一些地區對韋達定理進行隱性考查，但這不能成為人為拔高教學要求的理由.《義務教育數學課程標準（2011年版）》［4］將“一元二次方程根與系數關系”作為選學和了解內容，僅僅要求“了解一元二次方程的根與系數的關系”，甚至通篇連“韋達定理”四個字都未提及，可見課程標準制定者的審慎程度.筆者認為：課程標準是教學的“根本大法”，教師的教學決不能有違“法”行為，這是所有初中數學教師和中考命題者應該守住的底線.

然而，作為數學教師，有必要對數學試題、數學問題做深入的研究、思考，甚至是縱橫關聯、上下疊合，做到心中有數、胸有成竹.因此，數學解題中“追根溯源揭本質，關聯變式求發展”式的思考應該是數學教師必備的解題品質，更應該成為數學教師不可或缺的解題習慣.

圖8