例說初中生運算能力的培養

☉新疆烏魯木齊市教育研究中心 趙愛華

通過聽課調研和每年對中考數學閱卷分析發現，初中生在考查運算能力的試題上失分較多，致使容易題的得分不高，導致數學成績偏低.而數學運算是六大核心素養之一，需要采取措施長期關注和培養.不僅要讓學生會算、算對，還要使其明白其中的算理以及如何優化運算.本文通過幾個案例，簡單談談對初中生運算能力的培養.

一、數與式的運算案例

層次2：弄清算理.

本題是分數除法，其中除數是異分母分數相加減.應該先算括號內的（順序），是異分母分數相加減（法則：先通分，分母不變、分子相加減），再做分數除法（法則：除以一個數等于乘它的倒數），最后是分數乘法（法則：分子與分子的積作分子，分母與分母的積作分母，能約分的要約分）.在運算中，識別運算對象，嚴格按照相應的運算順序、運算法則仔細運算是不會出錯的.

層次3：運算的優化.

考生根據二次根式的運算法則和運算順序，可得：

也有考生注意到了（a+b）÷c=a÷c+b÷c，于是，將運算優化為：

例3 （2011年烏魯木齊中考）先化簡，再求值：2（x+1）-（x+1）2，其中x=

識別運算對象，不難發現，這是一個單項式乘多項式然后減去一個完全平方式，于是在考試中多數考生選擇解法1：

解法1：原式=2x+2-（x2+2x+1）=1-x（2代值略）.

也有考生注意到“整式乘法”與“因式分解”的關系，于是選擇了解法2：

解法2：原式=（x+1）（2-x-1）=（x+1）（1-x）=1-x（2代值略）.

還有部分考生注意到通過配方可以將這個運算轉化為某個完全平方公式，于是有解法3：

解法3：原式=2（x+1）-（x+1）2-1+1=-［（x+1）-1］2+1=1-x2（代值略）.

二、培養學生運算能力的途徑

1.要幫助學生理解和掌握數學基礎知識，適當記憶數學事實

任何數學運算都是伴隨著數學概念產生的，都是在概念系統中進行的.深刻理解概念是合理、簡捷地進行運算的前提.所以，運算能力要先從概念、性質、公式和法則的理解入手，學好有關運算的基礎知識是培養學生運算能力的前提與根本.另外，適當記憶一些數學事實也是非常有必要的，比如，要記憶：（1）20以內正整數的平方，10以內正整數的立方數；（2）特殊角的三角函數值；（3）無理數e、π、等的近似值；（4）20以內正整數的心算、正負數運算法則、求根公式、配方、根冪運算等.

學生運算不正確的原因常常是概念模糊，公式、法則遺忘或混淆、運用死板，數學運算中要讓學生做到“不僅步驟清晰，還要步步有據”.

例5 設α、β是關于x的方程x2-2kx+k2-4k=0的兩實數根，求（α-1）2+（β-1）2的最小值.

錯解：由α、β是關于x的方程x2-2kx+k2-4k=0的兩實數根，得α+β=2k，αβ=k2-4k.

（α-1）2+（β-1）2=（α+β）2-2αβ-2（α+β）+2=2k2+4k+2=2（k+1）2.

由2（k+1）2≥0，得（α-1）2+（β-1）2的最小值等于0，此時k=-1.

評析：出錯的原因在于忽略了“Δ≥0”，也就是Δ=（2k）2-4（k2-4k）=16k≥0，即k≥0.（α-1）2+（β-1）2=2（k+1）2≥2，即［（α-1）2+（β-1）2］min=2，此時k=0.

2.進行科學、系統的訓練，強調良好計算習慣的培養

運算方面的訓練，一要選擇有代表性的問題進行訓練；二要注意訓練的科學性和系統性，從簡單到復雜，從簡單問題逐步展開.首先，遵循“先慢后快”“先模仿后靈活”的原則，嚴格按步驟進行運算，并能做到“步步有據”.其次，通過對公式、法則的“順用”、“逆用”、“變形用”的訓練，重視“簡捷算法”和“一題多解”，幫助學生提高運算能力.當然，要注意訓練量的“度”，并不是越多越好.

計算習慣的培養是提高運算能力的重要措施，在運算技能的形成階段，要讓學生養成明確計算目標、計算步驟和步步有據的習慣.

評析：出錯的原因在于學生對分數線的括號功能認識不清楚，沒有將“-a-1”看作一個整體，化為統一分母時符號出錯.同時，也是由于訓練之初學生沒有養成“按步驟進行”“步步有據”的好習慣.如果按步驟進行就不會出錯.

3.注重數學思想方法在運算過程中的主導作用，培養學生運算的靈活性

運算中自覺運用數學思想方法，既有利于提高學生的思維水平，又有利于運算的合理、簡捷，從而提高運算的正確性和速度.

例7 （2018年烏魯木齊中考）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，點D是BC的中點，點E是邊AB上一動點，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點F.若△AB′F為直角三角形，則AE的長為______.

圖1

圖2

連接AD.

由∠AB′D=∠C=90°，B′D=BD=DC，AD=AD，得Rt△AB′D≌Rt△ACD.

則∠B′DA=∠CDA. 又∠B′DE=∠BDE，則∠ADE=90°，即直線DE與直線AD垂直.

E是直線DE與直線AB的交點.

于是，AE的長為3或2.8.

解法中用到了數形結合思想，原本要通過多次使用相似三角形的判定與性質計算線段AE的長度，現在借助平面直角坐標系，將問題轉化為求直線的交點，再用兩點間距離公式即可求解.

總之，學生的運算能力并非單一的數學能力，需要長期關注與培養.在平時的教學中，要引導學生掌握相應的概念、公式、法則等基礎知識；進行科學、系統的訓練，養成“訓練有序”“步步有據”的好習慣；在訓練中反思，重視“一題多解”“多題一解”，注重數學思想方法在運算中的運用，努力達到“會算”、“算對”、“算好”.