過程性分析在壓軸題教學(xué)中的嘗試

☉江蘇省海門市東洲國(guó)際學(xué)校 陳宏亮

筆者認(rèn)為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程就是研究模型進(jìn)而使用模型解決問題的過程.簡(jiǎn)單舉例：一元一次方程一章中，我們從概念、解法、應(yīng)用多個(gè)角度進(jìn)行學(xué)習(xí)，最后將其落實(shí)到解題中.我們將不同模型對(duì)應(yīng)于不同題型，相應(yīng)地解決問題.在學(xué)習(xí)時(shí)，需要對(duì)模型進(jìn)行歸納、消化，此時(shí)，思維具有形成的過程；在解題時(shí)需要在記憶中提取有效模型進(jìn)而應(yīng)用模型，此時(shí)，思維具有提取的過程.因此思維的過程性在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至關(guān)重要.在初三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生接觸的壓軸題越來越多，很多學(xué)生對(duì)于壓軸題淺嘗輒止，又或畏難止步.原因在于壓軸題是思維的制高點(diǎn)，題中含有的思維變化太多，立刻完成壓軸題的破題，難度很大.每位教師對(duì)于壓軸題的破題技巧各有千秋.就壓軸題類型而言，筆者認(rèn)為，一部分題中隱含常用模型，可運(yùn)用模型思想破題［1］；一部分有多個(gè)思維起點(diǎn)，則可選擇不同的思維起點(diǎn)破題［2］.但思維的起點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，如何破題？

圖1

原題展示：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-2），點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.

（2）過點(diǎn)P分別作平行于x軸、y軸的直線，分別交直線BC于點(diǎn)E、F.

①求線段PF的最大值；

②將△EPF沿直線BC翻折得到△EP1F，若P1恰好落在坐標(biāo)軸上，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo).

原題分析：此題是筆者任教學(xué)校初三年級(jí)檢測(cè)卷中的壓軸題，班級(jí)得分率只有35%左右.最大的失分點(diǎn)在于第二小題的第二小問，筆者發(fā)現(xiàn)本題的思維起點(diǎn)只有將△EPF沿直線BC翻折得△EP1F，整理信息，即為點(diǎn)P、點(diǎn)P1關(guān)于直線BC對(duì)稱.在實(shí)際課堂教學(xué)中，筆者嘗試逐漸進(jìn)行“思維進(jìn)化”進(jìn)而破解壓軸題.

思路1簡(jiǎn)析：點(diǎn)P、P1關(guān)于直線BC對(duì)稱，則直線BC垂直平分線段PP1.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1的坐標(biāo)，由點(diǎn)P1的坐標(biāo)特征破題.

思路2簡(jiǎn)析：點(diǎn)P、P1關(guān)于直線BC對(duì)稱，則直線BC垂直平分線段PP1.先設(shè)直線PP1的解析式，通過P1的坐標(biāo)表示點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線PP1的解析式，通過函數(shù)圖像相交求點(diǎn)P的坐標(biāo)破題.

圖2

思路3簡(jiǎn)析：點(diǎn)P、P1關(guān)于直線BC對(duì)稱，則直線BC垂直平分線段PP1.先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，求出直線PP1的解析式，然后求出點(diǎn)P1的坐標(biāo)，再通過中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得線段PP1的中點(diǎn)，代入直線BC的解析式破題.

分析：其實(shí)從本質(zhì)而言，三種解題方法是一樣的，就是由P（不定）、P1（不定）、H（不定）、直線BC的解析式（定）、二次函數(shù)的解析式（定），進(jìn)行不同的優(yōu)先組合而已.這三種方法都需要一定的參數(shù)運(yùn)算能力.在實(shí)際教學(xué)中，只針對(duì)方法3進(jìn)行了分析.筆者進(jìn)而思考如何對(duì)思維進(jìn)行進(jìn)化.

思路簡(jiǎn)析4：點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則主動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)P1為從動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P1的軌跡也為拋物線，兩者應(yīng)該關(guān)于直線BC成軸對(duì)稱，但P1的軌跡形成的拋物線無法求得，因此反其道而行之，嘗試把坐標(biāo)軸關(guān)于BC成軸對(duì)稱，那么點(diǎn)P就應(yīng)該為新坐標(biāo)軸理解了以后，這道題就相對(duì)簡(jiǎn)單了.由△OBC與△CMB關(guān)于BC成軸對(duì)稱分析，只需求點(diǎn)M的坐標(biāo)即可，點(diǎn)O為定點(diǎn)、BC為定直線，則點(diǎn)M的求法較多，筆者用了以下兩種方法.

方法4：設(shè)CN=a，MN=b.因?yàn)镃M=OC=2，所以可得a2+b2=4；△ONM △BOC，可得a+3=2b.解方程組即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo).再分別求直線BM、CM的解析式，與二次函數(shù)聯(lián)立就可求得點(diǎn)P.

方法5：在△BOC中，OB=4，OC=2，求得tan∠ABC=，求得直線BM的解析式，與二交點(diǎn)即為點(diǎn)P.另一解通過求直線CM的解析式與拋物線相交即可.

思路5簡(jiǎn)析：既然想到了翻折，那不妨把△EPF沿BC翻折，使得點(diǎn)P1就在y軸上，針對(duì)∠AP1F為直角構(gòu)造K型求得：PE=8m-2m2；PF=4m-m2.

圖3

方法6：如圖4，△FHP1△P1GE，且相似比為1∶2.設(shè)HF=a，則求得GP1=2a，GE=2m，則可列方程：2a+m=8m-2m2；a+4m-m2=2m.另一解同理可求.此時(shí)思路清晰易懂.

圖4

教學(xué)反思：在實(shí)際教學(xué)時(shí)，筆者選擇了方法3、方法4、方法6進(jìn)行教學(xué)，進(jìn)而總結(jié)壓軸題中求點(diǎn)的坐標(biāo)的常用策略.（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過題意分析，列方程.（2）分析題意，求過要求點(diǎn)的函數(shù)解析式，通過方程組解決.筆者認(rèn)為在壓軸題教學(xué)時(shí)，從一道壓軸題出發(fā)，歸類一類問題的解決策略，進(jìn)而選用恰當(dāng)?shù)乃季S起點(diǎn)分析，是壓軸題教學(xué)的真正目的，也有利于幫助學(xué)生建立恰當(dāng)?shù)乃季S路徑.思維具有過程性的特征決定了思維的動(dòng)態(tài)性，即問題的思維過程包含知識(shí)搜索及結(jié)論推理的過程.在知識(shí)搜索的過程中，結(jié)合結(jié)論推理得出相關(guān)結(jié)論，利用這些結(jié)論探索破題點(diǎn)的分析方式即為過程性分析.在上例中發(fā)現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)是點(diǎn)P、點(diǎn)P1關(guān)于直線BC對(duì)稱，可利用這一結(jié)論破題.然而進(jìn)一步分析，直線BC垂直平分線段PP1，則利用垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)距離相等，也可利用這一結(jié)論列方程破題.再進(jìn)一步分析，還可以構(gòu)造以C為圓心、OC為半徑的圓.過程性分析初期會(huì)發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用簡(jiǎn)單，但是可能運(yùn)算較復(fù)雜，但是隨著思維逐步“進(jìn)化”，思路越來越寬，解法越來越活.因此，過程性分析的前提是知識(shí)需要系統(tǒng)化.

感悟1：學(xué)習(xí)的過程往往是經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)的累積過程，而解決問題則是提取經(jīng)驗(yàn)性知識(shí)并以此破題的過程.在壓軸題處理時(shí)，往往在限定的時(shí)間內(nèi)無法立刻破題，那就立刻需要在給定的前提條件下推理出所有可能性結(jié)果.進(jìn)而轉(zhuǎn)換角度，進(jìn)一步思考求出所有可能性結(jié)果或者對(duì)其中一個(gè)結(jié)果進(jìn)一步思考得出所有可能性結(jié)果.這個(gè)過程就需要知識(shí)完備.例如，碰到已知中出現(xiàn)垂直條件，那垂直的處理策略必須完備：勾股定理、三角函數(shù)、相似、k1k2=-1、圓等，如果選擇了三角函數(shù)處理，那又涉及三角函數(shù)的思維下枝.

感悟2：過程分析的結(jié)果肯定是凌亂的，因此在信息不完全的情況下，出現(xiàn)前提和結(jié)論不一致時(shí)，就需要對(duì)原來得出的結(jié)論進(jìn)行調(diào)整或修正，直到知識(shí)結(jié)構(gòu)達(dá)到一致性，此時(shí)問題可解.以上題為例，利用垂直平分線思維結(jié)果得出的破題方法思維含量較少，計(jì)算較復(fù)雜.那就轉(zhuǎn)換角度，思考得點(diǎn)P由函數(shù)圖像相交得到，二次函數(shù)一定，只需求得過點(diǎn)P的另一個(gè)函數(shù)的解析式即可.那就需要翻折直角坐標(biāo)系，此時(shí)翻折直角坐標(biāo)系就是翻折△BOC，即可求得點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo).繼續(xù)轉(zhuǎn)換角度，直角怎么用？構(gòu)造K型相似是其中一個(gè)途徑.繼續(xù)往下分析，最終知識(shí)結(jié)構(gòu)一致，那結(jié)果就創(chuàng)意無限了.

感悟3：過程性分析也有一個(gè)缺點(diǎn)，就是思維進(jìn)程較長(zhǎng)，結(jié)果數(shù)量會(huì)無限擴(kuò)大.知識(shí)內(nèi)容越完備，思維活躍度也就越大，容易造成脫離主題的結(jié)果，學(xué)生在操作的時(shí)候無法準(zhǔn)確把握，會(huì)造成思維混亂的負(fù)面影響，這方面就需要教師進(jìn)行梳理、引導(dǎo).

所以在知識(shí)內(nèi)容的完備性為推理前提下，不斷調(diào)整或修正，逐步形成過程性的分析結(jié)果，直至知識(shí)結(jié)構(gòu)一致，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)壓軸題破題，也是處理壓軸題的技巧之一.