想清辨明定義結構，鋪墊設問變式反饋
——以北京海淀九上期中卷新定義考題為例

☉廣東省廣州市花都區炭步鎮炭步初級中學 湯妙娟

新定義考題是目前各地中考、期中、期末考試的熱點題型，也在各級復習備考活動中占據重要位置，但是新定義考題的類型是豐富多樣的，其中北京市中考引領下的一類涉及隱圓、動圓的新定義考題風格獨特，體現了少算多思、構思要求高等特點，值得關注.本文結合北京海淀區2018年11月九上期中卷一道新定義考題，談談如何圍繞一道新定義考題開展“一題一課”的教學設計，供分享和研討.

一、新定義考題及思路解析

考題：（2018年11月北京海淀區）在平面直角坐標系xOy中，點A是x軸外一點，若平面內的點B滿足：線段AB的長度與點A到x軸的距離相等，則稱點B是點A的“等距點”.

（1）若點A的坐標為（0，2），點P1（2，2）、P2（1，-4）、

（2）若點M（1，2）和點N（1，8）是點A的兩個“等距點”，求點A的坐標.

思路解析：（1）在平面直角坐標系中畫出草圖，如圖1，容易求出AP1=AP3=OA=2，所以點P1、P3是點A的“等距點”.從“結構”上看，可以作出一個半徑為2的圓A，此時圓A恰與x軸相切，并且點P1、P3恰在圓A上.

圖1

圖2

（2）先構造圖2分析，MN//y軸，且MN=6，結合M、N都是點A的“等距點”，可知點A應該在線段MN的垂直平分線上，同時點A到x軸的距離也與AM、AN相等，可構造圓A與x軸相切，且點M、N恰在圓A上，此時圓A的半徑為5.構造直角三角形AMH，利用勾股定理可求出AH=4，于是點A的坐標是（5，5）.根據對稱性，可知在第二象限有另一點A′與A關于直線MN對稱，也是符合要求的，即A′（-3，5）.綜上，點A的坐標為（5，5）或（-3，5）.

（3）先作出圖3進行分析，此時點M到x軸的距離為MH，點M到圓上一點的距離的最小值是MN，連接MT交圓T于N，此時MN小于MH.可以調整N點的位置使得MH=MN，這樣就符合“等距點”要求.

圖3

圖4

圖5

圖6

接下來構造圖4，這種圖形位置情況下，點M到圓上一點的最小距離MN大于MH的長，不符合“等距點”要求.類似的，構造圖5，當圓到了x軸下方，與x軸無交點時，MN一定大于MH，也不符合“等距點”要求.

一個臨界狀態就是當圓心T在y軸的負半軸上時，圓T與x軸相切的位置關系，即t>-2.（注意，由于x>0，所以

再構造圖6，分析出另一臨界狀態，當△TOM恰構成等邊三角形時，此時MN=MH.結合OT=OM=TM=t，于是MN=t-2，而在Rt△OMH中，MH=0.5t.當t-2=0.5t，即t=4時，相應的求出該等邊三角形邊長為4，滿足題意.故t≤4.

綜上，-2

解后反思：從上述求解來看，關鍵是理解新定義“等距點”的圖形結構，從第（1）問開始，就會有一個隱性的圓貫穿問題探究的全過程，前兩問中的圓都是一個“確定”的圓，位置固定，而第（3）問中的圓是一個動圓，其圓心在y軸上上下平移，能否想清圓在上下平移過程中的兩處臨界位置成為解題的難點與關鍵所在.

二、圍繞考題設計的解題微教學

教學環節（一） 熟悉定義

給出“等距點”定義后，教師可結合平面直角坐標系，舉例幫助學生理解，然后安排學生在小組內互相舉例，加強對定義的理解.然后給出以下小問：

問題1：若點A的坐標為（0，2），判斷點B（2，2）、C（1，-4）是否為點A的“等距點”，并說明理由.

問題3：請判斷E（1，4）是否為點A的“等距點”.如果是，請說明理由；如果不是，能否將點E適當平移，使之成為點A的“等距點”？

教學環節（二） 初步運用

例1 若點M（1，2）和點N（1，8）是點A的兩個“等距點”，

（1）根據新定義，有人認為點A一定在直線y=5上，你覺得這種判斷正確嗎？說說你的理由.

（2）小睿指出，點M、N應該同時在半徑為5的圓上，你覺得有道理嗎？

（3）根據對稱性，點A應該有幾種不同的位置？結合以上分析，求出點A的坐標.

設計意圖：通過幾個鋪墊式問題，有效化解了考題第（2）問的難點與解題障礙，想清以上3個關鍵步驟，就能口算得解．

教學環節（三） 挑戰難題

（1）當t=1時，畫出圖形，并在圖形中找出滿足條件的一組點M、N.

（2）當t=5時，以OT為一邊作等邊三角形OTP，求點P的坐標.

（3）當t=-3時，能否找到符合要求的點M、N？結合圖形進行分析說明.

（4）直接寫出t的取值范圍.

設計意圖：為了讓學生能想到、想清兩處臨界位置，設計了（1）~（3）的鋪墊式問題，為的是使學生學會分析，數形結合，讓圓T動起來，逐漸逼近問題的兩種臨界位置.

教學環節（四） 變式再練

變式題：在平面直角坐標系xOy中，點A是x軸外一點，若平面內的點B滿足：線段AB的長度與點A到x軸的距離相等，則稱點B是點A的“等距點”.

（1）若點A的坐標為（1，2），點P（13，2）、P（22，6）、）中，點A的“等距點”是________.

（2）若點M（1，2）和點N（1，6）是點A的兩個“等距點”，求點A的坐標.

三、進一步的思考

1.深刻理解新定義考題，需要想清新定義的本質

新定義問題往往都是基于初中階段所學過的一些概念發展而來的，這時結合新定義所舉的圖形或例子，想清辨明新定義的本質所在，新定義所對應的圖形結構或某種基本圖形，是后續問題求解的關鍵.事實上，這也是我們在概念教學時應該注意的一個薄弱點，即章建躍教授所批判的“一個定義，三項注意，大量練習”式的數學概念教學對學生理解數學造成的“傷害”.像上文新定義考題第（3）問的本質就是圓T（半徑為2）在y軸上上下平移，尋找兩個位置符合題意，相應找到兩個臨界值.

2.開展新定義考題教學，需要預設鋪墊式問題

新定義考題的教學不能只是拿著一道題就從前講到后，而要對試題的呈現方式做出必要的變式改編，上面我們給出的就是通過分解步驟，預設鋪墊式問題，以問題串的方式推進教學進程，這需要教師在課前精心準備，特別是教師需要具備一定的命題改編能力.在預設鋪墊式問題時，還要注意貼近原考題的設問方向，不能離“題”太遠，偏離原設問的設問或變式不宜出現.講評最后，為了檢測學生的理解情況，還可對原考題整體上進行簡單的變式改編，如上文課例中的環節（四），就是針對原考題對各個小問進行了簡單的數字或符號的變式，并沒有破壞原題的設問本質與問題結構，側重考查學生對考題的掌握程度.