中考專題復習課：求聯(lián)求變讓老歌新唱*
——以中考“二次三項式再認識”復習為例

☉江蘇省海安市教師發(fā)展中心

☉江蘇省海安市城南實驗中學 劉東升

中考復習“年年歲歲花相似”，老歌反復唱、審美也疲勞，優(yōu)秀學生常常在“題海”訓練中“空轉(zhuǎn)”.如何創(chuàng)新開展中考專題復習課，是值得每個中考備考老師認真思考的教研課題.本文結(jié)合最近一次中考“二次三項式再認識”的專題復習課例，闡釋筆者對當前中考專題復習課的一些思考，期待中考復習課的研討領(lǐng)域能夠在“看似無路之處走出一路來”.

一、“二次三項式的再認識”教學流程

活動1：一組計算

計算：（1）（y＋1）2；（2）（x-2）2＋1；（3）（-3-a）（5-a）；（4）4m（3-m）-9.

預設(shè)解答：y2＋2y＋1，5-4x＋x2，-2a-15＋a2，12m-4m2-9.

追問1：這4個運算結(jié)果從形式上看，有什么共同點？

預設(shè)：它們都是二次三項式.

追問2：請同學們把上述二次三項式按某個字母降冪排列.

設(shè)計意圖：先安排學生計算，并核對計算結(jié)果，然后給出兩個追問，學生互評結(jié)果.讓學生鞏固基礎(chǔ)運算，以及七年級所學習的多項式基本概念（包括按某個字母的降冪排列）.

活動2：分解因式

追問1：為什么x2-4x＋5不能進行因式分解？（學生可以從一元二次方程根的判別式，或二次函數(shù)圖像與x軸的交點來解釋）

追問2：能否從一元二次方程或二次函數(shù)的角度解釋，為什么其他二次三項式都可以進行因式分解？

設(shè)計意圖：先安排學生獨立分解因式，其中第（2）題不能進行因式分解，在追問學生原因過程中引出利用一元二次方程、二次函數(shù)的解釋，體現(xiàn)后續(xù)知識對因式分解的支持與聯(lián)系.這里多數(shù)學生可能會有障礙，所以需要在突破之后，安排其他學生繼續(xù)用一元二次方程或二次函數(shù)的知識來解釋另外幾個二次三項式為什么可以進行因式分解，為了便于學生快速構(gòu)造拋物線分析研究，在學生活動單上提供幾個 “平面直角坐標系”備用.

活動3：變式再練

題1：計算：（1）（x＋y＋1）2；（2）（2-a-b）（4-a-b）.

預設(shè)解答：（1）（x＋y＋1）2=［（x＋y）＋1］2=（x＋y）2＋2（x＋y）＋1=x2＋2xy＋y2＋2x＋2y＋1；

（2）（2-a-b）（4-a-b）=［2-（a＋b）］［4-（a＋b）］=8-6（a＋b）＋（a＋b）2=a2＋2ab＋b2-6a-6b＋8.

變式1：計算（x＋y-1）2；

變式2：計算（2＋a-b）（4-a＋b）.

題2：因式分解：

（1）（x-y）2＋2x-2y＋1；

（2）x2＋2mx＋m2＋2x＋2m＋1.

變式1：寫出關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋2x＋2m＋1=0的解.

變式2：求拋物線y=x2＋2（m＋1）x＋m2＋2m＋1的頂點坐標（用含m的式子表示）.

設(shè)計意圖：先安排學生獨立練習題1，挑選學生在黑板上板書并講解自己的思路，其他學生參與點評，教師追問其他思路，請相關(guān)學生上臺演算講解，對運用“視為整體”的處理策略或眼光表示肯定，并指出這是適當變形實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的重要能力，同學們要注意體會.然后安排變式練習，要求學生運用“視為整體”的處理策略.在題2因式分解之后，跟進兩道變式題，拓展到含參數(shù)的一元二次方程、含參數(shù)的二次函數(shù)問題，讓學生感受到在方程、函數(shù)學習和研究中，熟練進行二次三項式的分解變形是非常有必要的.

活動4：回顧小結(jié)

教師組織學生回顧梳理本課復習內(nèi)容，形成如下結(jié)構(gòu)化板書：

過關(guān)檢測：

題1：計算：（y＋1）2-（y2-y）=______.

題2：分解因式：3a2-6a＋3=______.

（1）求出拋物線的頂點坐標.

（2）分析拋物線與x軸是否有公共點.如果有，寫出公共點的坐標；如果沒有，說明理由.

設(shè)計意圖：4道習題分別對應著本課訓練內(nèi)容，同時是各地中考必考知識點，中考復習時圍繞本課訓練主題進行多角度的變式訓練、過關(guān)檢測、反饋學情是十分有必要的.

二、中考復習這首“老歌”如何新唱

1.中考專題復習要注意跨年級選題與構(gòu)思

以筆者教學經(jīng)歷與觀課所見，從上個世紀90年代初到現(xiàn)在近30年時間，各校在中考復習時采取的多是一輪復習、二輪復習的模式，一輪復習以知識點梳理、基礎(chǔ)題訓練為主，常常是按七、八、九年級章節(jié)、單元知識塊（如數(shù)、式、函數(shù)、三角形、平行四邊形等）進行歸類、按序復習，二輪復習常常是按所謂的題型歸類（如閱讀理解型、動態(tài)型、新定義型，等等），以上復習方式主要問題在于“老歌舊唱”“老歌反復唱”，學生（特別是優(yōu)秀學生）審美疲勞，數(shù)學復習課成為重復之前已反復練習過的習題的訓練，數(shù)學復習課的品質(zhì)難有提升.為此，我們提出了基于某個復習主題（或主線）的專題復習的設(shè)想，在上面的課例中，我們選擇“二次三項式”作為復習主題，跨七、八、九三個年級進行選題與聯(lián)通，整節(jié)課幾個教學環(huán)節(jié)圍繞開課階段的4個二次三項式漸次展開，“一線串珠”，從不同角度分別研究這4個二次多項式及其相關(guān)問題（或變式問題）.復習趣味也大大增加，因此學生對這樣的復習課也充滿好奇和期待，整節(jié)課雖然是舊知復習，卻仍然像探索未知領(lǐng)域那樣充滿挑戰(zhàn).

2.研究地區(qū)中考較難題并“分散”難點訓練

當前各地（校）中考復習的一個糟糕做法是盲目選取全國各地中考試題（或所謂最新模考試題）進入自己的學校或班級進行“題海訓練”，這種繁重的中考復習負擔需要“精準應試”來緩解.具體來說，由于中考多是地級市（河北、河南、北京、上海、天津、重慶等地是統(tǒng)一命題）獨立命題，試題風格真是“天上人間”“南腔北調(diào)”各不相同.作為精準應試來看，師生應該更加關(guān)注本地區(qū)近年來中考試題的風格，關(guān)注必考點、熱點問題、難點問題等，然后進行反復訓練、同類跟進，對熱點問題進行復習、變式訓練，對于難點問題，可充分展開解題細節(jié)，暴露關(guān)鍵步驟，然后針對一些關(guān)鍵步驟各個擊破.像上面的課例最后提供的“解方程一些地區(qū)中考綜合題中的關(guān)鍵步驟，它們并不一定直接考查，但是學生在解答這些綜合題時，往往會分析、列出相應的繁雜方程、函數(shù)表達式，這時能否將其快速整理變形，往往能有效區(qū)分優(yōu)秀學生與中檔學生的解題實力，前者算得巧、算得快、算得準，而后者算得繁、算得苦、容易錯.所以圍繞“二次三項式”這一主題構(gòu)思復習課，并不僅僅是找出不同年級在新授課期間的一些例、習題反復再練，而要到本地區(qū)中考綜合題中查找是否存在某個解題步驟中的關(guān)鍵一步，體現(xiàn)二次三項式整理、變形的能力，把這些步驟抓取出來，開發(fā)成訓練點，變式訓練，密集練習，可以幫助學生在應對綜合題時若遇到“關(guān)鍵一步”，也能“快速通過”.

3.解釋“結(jié)構(gòu)不良問題”往往通向另外領(lǐng)域

最近讀到英國數(shù)學家、菲爾茲獎獲得者蒂莫西·高爾斯在《數(shù)學》一書中關(guān)于引出有理數(shù)的論述：“為了向小孩子解釋減法和除法還有著更進一步的困難，那就是這兩種計算并非總能夠進行”，并指出“只需要再增加兩條規(guī)則來擴充我們的數(shù)系：一條給我們帶來負數(shù)，另一條給我們帶來分數(shù)，即我們所熟知的有理數(shù)”.從上述論述可見，數(shù)學運算上解釋不夠減、不夠除這一矛盾的“出路”是增加規(guī)則（引入負數(shù)、分數(shù)），帶來數(shù)系擴充到有理數(shù)系；我們還知道，為了解釋開方所得的數(shù)并非全是有理數(shù)這一矛盾，數(shù)系進一步擴充到實數(shù)系（這事實上也就是所謂“數(shù)學第一次危機”）.所以，上面課例中的對于二次三項式“x2-4x＋5”在實數(shù)范圍內(nèi)進行因式分解是不可能的，那么解釋這種“不可能”的“結(jié)構(gòu)不良問題”就會引出一元二次方程根的判別式或二次函數(shù)圖像等相關(guān)后續(xù)知識來幫助理解.這種教學價值已超出了應試價值，向?qū)W生傳遞和滲透數(shù)學研究方法與可能引發(fā)的開創(chuàng)性局面，也就是當我們的思維“自我封閉”時就會出現(xiàn)矛盾或不可解的問題，如果打破常規(guī)、另辟思路，往往就能開創(chuàng)新領(lǐng)域.人們常說的“入乎其內(nèi)求深入，出乎其外求拓展”大抵也是這個道理.