“教什么”比“怎么教”更重要
——以“解直角三角形”教案打磨為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星江學(xué)校 張麗華

最近參加學(xué)校教研組一次課例（課題是九年級(jí)“解直角三角形”）打磨，教師試教之后教學(xué)時(shí)間不夠用，后來經(jīng)過打磨刪減了原稿中很多變式與拓展問題，回歸基礎(chǔ)，適度變式，從特殊走向一般，使我們對(duì)這節(jié)課的教學(xué)理解走上了新的層次.本文先分別梳理這節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)的第1、2稿，并跟進(jìn)教學(xué)立意的闡釋.

一、“解直角三角形”教案打磨

說明：為了便于對(duì)比打磨前后的顯著區(qū)別，分別整理第1稿、第2稿的教學(xué)流程.

“第1稿”教學(xué)流程

活動(dòng)1：復(fù)習(xí)引入

問題1：直角三角形中，除直角外，還有幾個(gè)元素？

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生回答后，教師給出定義：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的過程叫作解直角三角形.

問題2：在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊分別是a、b、c，那么a、b、c、∠A、∠B這五個(gè)元素間有哪些等量關(guān)系呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：教師與學(xué)生互動(dòng)對(duì)話，分類討論確認(rèn)以下事實(shí)：知道其中的兩個(gè)元素（至少有一個(gè)是邊），就可能求出其余三個(gè)未知元素.

活動(dòng)2：例題探究

題型1：已知兩邊解直三角形.

例1 如圖1，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=，BC=，解這個(gè)直角三角形.

圖1

教學(xué)預(yù)設(shè)：先安排學(xué)生獨(dú)立思考，再由學(xué)生交流解題思路，最后由教師板書解題過程，示范步驟與格式，強(qiáng)調(diào)最后寫出“答語(yǔ)”的解題習(xí)慣，并繼續(xù)給出下面一道跟進(jìn)練習(xí).

練習(xí)1：在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AC=10，BC=5，解這個(gè)直角三角形.

題型2：已知一銳角和一邊解直角三角形.

例2 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=45°，AB=12，解這個(gè)直角三角形.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生先畫出草圖分析，確認(rèn)只有一種可能形狀的三角形，然后標(biāo)注字母識(shí)別特殊直角三角形（含45°）并解出這個(gè)直三角形，然后給出如下的跟進(jìn)練習(xí)：

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道練習(xí)沒有配圖，屬于較難題與易錯(cuò)題，學(xué)生構(gòu)圖時(shí)會(huì)有困難，教師不能上來就幫助學(xué)生分析，再由學(xué)生寫過程.可以先安排學(xué)生獨(dú)立練習(xí)，誘發(fā)錯(cuò)誤之后，再跟進(jìn)究錯(cuò)、訂正.

題型3：解非直角三角形.

圖2

圖3

教學(xué)預(yù)設(shè)：由于圖形已給定，學(xué)生容易想到過點(diǎn)A向BC作垂線段AD（如圖3），接著依次在直角三角形ABD、直角三角形ACD中求解.解答之后，給出變式練習(xí).

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道題無(wú)圖，需要分類討論，學(xué)生的主要難點(diǎn)在構(gòu)圖，特別是構(gòu)造出符合要求的“可能圖形”，是很有“高中味”的解三角形習(xí)題.

活動(dòng)3：練習(xí)鞏固

配了幾道練習(xí)題，但都沒有體現(xiàn)解直角三角形的訓(xùn)練，只是求一個(gè)元素，不利于本課目標(biāo)的達(dá)成.

活動(dòng)4：小結(jié)與拓展

先安排幾個(gè)簡(jiǎn)單小結(jié)問題（如本課學(xué)習(xí)了什么，感悟了什么數(shù)學(xué)方法之類），然后給出一道拓展題（先閱讀理解，再挑戰(zhàn)）：利用45°角的正切，求tan22.5°的值（.限于篇幅，這里不完整再現(xiàn)該題）

試教情況概述：教師組織試教之后，進(jìn)展到例2就已過去25分鐘，到了練習(xí)2時(shí)，教師就開始加快教學(xué)節(jié)奏，題目呈現(xiàn)之后學(xué)生還沒有來得及思考，教師就提前干預(yù)，“同學(xué)們，看老師來分析一下，你們可能的難點(diǎn)，該這樣分類討論，畫出圖形，再求解”，然后安排學(xué)生計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果就推進(jìn)下一題.盡管這樣，不給學(xué)生充分的思考時(shí)間，講評(píng)到例3后，還是只剩5分鐘就下課了，于是對(duì)于練習(xí)3，更加簡(jiǎn)要講授了構(gòu)圖，學(xué)生課后再補(bǔ)全過程，然后匆忙小結(jié)，后續(xù)的練習(xí)鞏固、小結(jié)拓展統(tǒng)統(tǒng)來不及了.這樣的試教情況，讓執(zhí)教者感覺非常尷尬，于是經(jīng)過教研組內(nèi)充分打磨，形成“第2稿”教學(xué)設(shè)計(jì).

“第2稿”教學(xué)流程

活動(dòng)1：復(fù)習(xí)舊知，引出新知

問題1：判定兩個(gè)直角三角形全等，有哪些方法？

問題2：一個(gè)直角三角形除直角外還有5個(gè)元素（2個(gè)銳角、3條邊），除直角外，再給出幾個(gè)元素就能確定這個(gè)直角三角形（形狀與大小唯一確定）呢？

教學(xué)預(yù)設(shè)：?jiǎn)栴}1是引導(dǎo)學(xué)生從三角形全等的角度理解直角三角形唯一確定的條件，與問題2互相對(duì)應(yīng).問題2出示后，先安排學(xué)生分組討論，分類討論，有序思考，待小組討論確定至少需要兩個(gè)元素（至少有一個(gè)邊）才能確定直角三角形之后，教師摘抄一些計(jì)算依據(jù)（如兩銳角互余的關(guān)系、勾股定理、銳角三角函數(shù)等）分類整理到黑板上，并給出“解直角三角形”的定義.

活動(dòng)2：例題示范，同類訓(xùn)練

例1與練習(xí)1.（見第1稿中例1、練習(xí)1，這里略去）

活動(dòng)3：例題變式，走向一般

例2 如圖4，在△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解這個(gè)直角三角形（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）.

教學(xué)預(yù)設(shè)：這里針對(duì)例1進(jìn)行變式，從特殊直角三角形走向一般直角三角形，這是非常重要的一次修改，因?yàn)槿绻竦?稿中所有直角三角形（包括后續(xù)變式問題中的輔助轉(zhuǎn)化之后）都是特殊直角三角形，則引出銳角三角形函數(shù)這樣的概念就不是“一定必要”的，只有把特殊直角三角形引向一般之后，才能顯現(xiàn)出直角三角形“邊角關(guān)系”（即銳角三角函數(shù)）的解題威力.當(dāng)然，具體求解時(shí)，可以安排學(xué)生使用計(jì)算器參與解答.

練習(xí)2：在△ABC中，∠C=90°，a=3，c=5，解這個(gè)直角三角形（銳角的角度以度、分形式給出，精確到分即可）.

圖4

練習(xí)3：在Rt△ABC中，已知∠C=90°.已知∠B、c，寫出解Rt△ABC的過程.

活動(dòng)4：師生小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)問題1：本課學(xué)習(xí)的解直角三角形與以前所學(xué)習(xí)的求一些特殊直角三角形某個(gè)元素有什么不同？

小結(jié)問題2：你覺得解直角三角形的解題步驟中有哪些步驟是值得注意的？

設(shè)計(jì)3道課后作業(yè)，如下：

（1）在Rt△ABC中，已知∠C=90°，c=6，a=3，解這個(gè)直角三角形.

（2）在△ABC中，∠C=90°，a=1，b=2，解這個(gè)直角三角形（銳角的角度以度、分形式給出，精確到分即可）.

（3）在Rt△ABC中，已知∠C=90°.已知a、c，寫出解Rt△ABC的過程.

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.想清辨明解直角三角形該“教什么”

對(duì)比第1稿、第2稿會(huì)發(fā)現(xiàn)，我們改動(dòng)最大的還是教學(xué)內(nèi)容，也就是“教什么”比“怎么教”更重要.“教什么”是基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容的深刻理解而確定的，以解直角三角形這個(gè)知識(shí)點(diǎn)為例，它“上承”銳角三角函數(shù)的概念而來，又“下啟”解直角三角形的應(yīng)用問題，更重要的是以后高中階段“解三角形”的基礎(chǔ)內(nèi)容.這樣來看，第1稿所選例、習(xí)題只是涉及特殊角度的直角三角形顯然是不全面的，沒有深刻理解教學(xué)內(nèi)容，把解直角三角形只限制在特殊直角三角形的認(rèn)知“黑屋”之中，不利于引導(dǎo)學(xué)生開闊思路和眼光.

2.解直角三角形教學(xué)要“從特殊到一般”

根據(jù)定義，解直角三角形是已知（除直角外）兩個(gè)元素（至少一個(gè)邊）求出其余所有元素的過程.從定義來看，并沒有限制所給角度一定要是特殊角度（30°、45°或60°），這也是第1稿教學(xué)選題的顯著不足.也許有老師會(huì)說，很多中考試卷確定只涉及特殊角度的直角三角形求解，這也是現(xiàn)實(shí).因?yàn)橹锌荚嚲沓鲇诳荚嚂r(shí)間和考試條件（如不允許考生使用計(jì)算器）的考慮，往往只安排特殊直角三角形求解，但是作為解直三角形的新授教學(xué)，則不能把學(xué)生限制在這樣的框架之中，而需要從特殊走向一般，這也是“第2稿”安排例2，以及練習(xí)2、3的重要意圖.

三、寫在后面

華東師大李政濤教授提醒教師要加“現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)力”，而作為教師最重要的“現(xiàn)場(chǎng)”當(dāng)屬“課 堂”（上課或聽評(píng)課），我們以這次解直角三角形的聽課、評(píng)課與打磨改進(jìn)教學(xué)設(shè)計(jì)為例的課例反思也算是發(fā)展自己現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí)力的一點(diǎn)努力，歡迎同行的批評(píng)，也期待更多同行把更多“課堂現(xiàn)場(chǎng)”中的課例分享，讓課例研究豐富多樣、精彩紛呈.