選編習(xí)題呼應(yīng)教材，漸次呈現(xiàn)變式反饋
——以“‘角’的再認(rèn)識(shí)”習(xí)題課教學(xué)為例

☉江蘇省蘇州市青劍湖學(xué)校 高 鵬

我們知道，不少數(shù)學(xué)核心概念或定理學(xué)習(xí)之后，往往會(huì)跟進(jìn)一些習(xí)題課的訓(xùn)練與講評(píng)，以促進(jìn)學(xué)生全面理解、掌握所學(xué)概念，然而不少類(lèi)似的課例常常是以教輔資料或習(xí)題單式的導(dǎo)學(xué)案為主要形式進(jìn)行習(xí)題教學(xué)，習(xí)題課變成“一題接一題”的題海戰(zhàn)術(shù).最近，在一次教學(xué)研討活動(dòng)中，我們選擇“角”的習(xí)題課作為研討課題，筆者執(zhí)教了這節(jié)習(xí)題課，經(jīng)過(guò)前期精心備課，預(yù)設(shè)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，有效促進(jìn)學(xué)生在課堂上的思維參與，取得了較好的教學(xué)效果.本文先梳理該課的教學(xué)流程，并闡釋對(duì)習(xí)題課教學(xué)的一些思考，供研討.

一、“角”的再認(rèn)識(shí)復(fù)習(xí)課概述

活動(dòng)1：從平角出發(fā)

問(wèn)題1：已知平角∠AOB，分別畫(huà)出它的角平分線、三等分線.

圖1

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生畫(huà)出圖形之后，繼續(xù)追問(wèn)相應(yīng)角的度數(shù)，并繼續(xù)作出直角的角平分線，形成圖2、圖3，以備后續(xù)教學(xué)使用.

圖2

圖3

設(shè)計(jì)意圖：從特殊的平角出發(fā)，復(fù)習(xí)角平分線、三等分線，并且得出特殊角度，如直角、45°角、60°角，便于后續(xù)教學(xué)環(huán)節(jié)使用.

活動(dòng)2：研究“雙角平分線”

問(wèn)題2：如圖2，點(diǎn)A、O、B在同一直線上，OC⊥AB，OD平分∠BOC，再作∠AOC的平分線OE，求∠DOE的度數(shù).

變式追問(wèn)1：當(dāng)∠BOC=82°35′時(shí)，求∠AOE的度數(shù).

變式追問(wèn)2：寫(xiě)出∠COD的補(bǔ)角.

問(wèn)題3：如圖3，射線OC、OD是平角∠AOB的三等分線，分別畫(huà)出∠AOC、∠BOD的角平分線OE、OF，求∠EOF的度數(shù).

變式追問(wèn)1：如圖4，點(diǎn)A、O、B在同一直線上，∠COD=30°25′30′′，分別畫(huà)出∠AOC、∠BOD的角平分線OE、OF，求∠EOF的度數(shù).

變式追問(wèn)2：如圖4，點(diǎn)A、O、B在同一直線上，∠COD=α，分別畫(huà)出∠AOC、∠BOD的角平分線OE、OF，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）.

圖4

圖5

活動(dòng)3：深入探究“共頂點(diǎn)雙直角”圖形

問(wèn)題4：如圖5，一幅三角尺的直角頂點(diǎn)重合在一起，圖中哪些角互為余角？圖中有哪些角相等？圖中哪些角互為補(bǔ)角？

問(wèn)題5：如圖6，一幅三角尺的直角頂點(diǎn)重合在一起，圖中哪些角互為補(bǔ)角？圖中有哪些角相等？

問(wèn)題6：小江研究圖5后發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)論：一個(gè)銳角的補(bǔ)角一定比它的余角大90°.請(qǐng)判斷“小江的發(fā)現(xiàn)”是否正確，并說(shuō)明理由.

圖6

教學(xué)組織：學(xué)生在這些問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下深入思考，對(duì)熟悉的“共頂點(diǎn)雙直角”的基本圖形進(jìn)行多角度思考，提出很多不同角度的問(wèn)題，有利于學(xué)生對(duì)所學(xué)內(nèi)容的深刻理解.教學(xué)過(guò)程中注意先安排學(xué)生獨(dú)立思考，然后小組內(nèi)交流，再全班展示交流.

活動(dòng)4：學(xué)情反饋

根據(jù)本課內(nèi)容，設(shè)計(jì)4道習(xí)題進(jìn)行當(dāng)堂反饋.

（1）計(jì)算180°÷5=_______°.

（2）如圖7，∠AOB=102°，OC為∠AOB內(nèi)一條射線，OD、OE分別平分∠AOC、∠BOC，求∠DOE的度數(shù).

圖7

圖8

（3）如圖 8，∠AOC=∠BOD=90°，請(qǐng)指出∠BOC 與∠AOD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（4）如圖8，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOC=α，分別畫(huà)出∠AOB、∠COD的角平分線OE、OF，求∠EOF的度數(shù)（用含α的式子表示）.

二、關(guān)于習(xí)題課教學(xué)的四點(diǎn)思考

1.習(xí)題課選題要重視“呼應(yīng)”教材

根據(jù)教學(xué)觀察，當(dāng)前的習(xí)題課教學(xué)一個(gè)最大的不足就是被所謂教輔資料“綁架”.很多教輔資料“著眼”于全國(guó)各地“中考試卷”“模考試卷”“名校試卷”進(jìn)行選題匯編，使得習(xí)題課的教學(xué)變成“面向全國(guó)”“離開(kāi)教材”搞習(xí)題課教學(xué)；這是“突出問(wèn)題”.我們知道，各地使用教材版本并不一致，各地中考試題、模考試卷、名校試卷中的所謂好題并一定適合本校、本班，備課選題需要理解學(xué)情、針對(duì)學(xué)情是一條重要原則，不可忽視.在上面課例中，我們的選題都是基于教材上的例、習(xí)題類(lèi)型，對(duì)“角”這一單元教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的高頻問(wèn)題、經(jīng)典問(wèn)題進(jìn)行改編重組，既有效復(fù)習(xí)近期所學(xué)新知，又呼應(yīng)了教材上的重要例、習(xí)題，以變式改編呈現(xiàn)的方式，帶領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練并加深理解.

2.習(xí)題課的解題活動(dòng)追求漸次展開(kāi)

習(xí)題課的備課，在選題之后需要對(duì)所選習(xí)題進(jìn)行編排，按由易到難、由簡(jiǎn)到繁的順序進(jìn)行構(gòu)思，讓教學(xué)過(guò)程如“山水畫(huà)卷”般漸次展開(kāi).更重要的是，各個(gè)解題教學(xué)活動(dòng)或環(huán)節(jié)要注意加強(qiáng)關(guān)聯(lián)，使得不同教學(xué)活動(dòng)之間的過(guò)渡更加平滑.在上面課例中，我們從一個(gè)平角出發(fā)，依次引出一條射線、角平分線、三等分線，在不同教學(xué)環(huán)節(jié)都是針對(duì)開(kāi)課之初得出的這個(gè)“基礎(chǔ)圖形”（或“背景圖形”）展開(kāi)設(shè)問(wèn)，學(xué)生在同一個(gè)“背景圖形”上變式出來(lái)的不同問(wèn)題中，可以更快地聚焦問(wèn)題本質(zhì)，以免出現(xiàn)反復(fù)切換問(wèn)題背景，增加背景理解、基本條件理解的“通過(guò)”時(shí)間，事實(shí)上，這也是很多“習(xí)題單式”導(dǎo)學(xué)案的一大通病.

3.習(xí)題課教學(xué)小結(jié)后跟進(jìn)當(dāng)堂反饋

習(xí)題課教學(xué)小結(jié)之后跟進(jìn)當(dāng)堂反饋，可以檢測(cè)學(xué)生對(duì)習(xí)題課教學(xué)內(nèi)容的掌握情況.特別是，認(rèn)真設(shè)計(jì)當(dāng)堂檢測(cè)的習(xí)題也是非常關(guān)鍵的.比如，所設(shè)計(jì)的習(xí)題需要從內(nèi)容效度上高度貼近本課所學(xué)例、習(xí)題或“背景圖形”，這對(duì)于教師的另一項(xiàng)專(zhuān)業(yè)基本功（即命題能力）提出了較高的挑戰(zhàn).在這里不妨提及數(shù)學(xué)教師為什么要努力修煉命題基本功.主要是基于教學(xué)設(shè)計(jì)中的例、習(xí)題選取或改編、習(xí)題設(shè)計(jì)中的變式改編或生長(zhǎng)拓展，都需要教師有扎實(shí)的命題基本功.我們常常看到一些習(xí)題課中所選習(xí)題都是“原封不動(dòng)”地下載或復(fù)制粘貼而來(lái)，內(nèi)容效度不高、重點(diǎn)偏離十分嚴(yán)重，值得大家反思.如果稍有命題基本功，就可以對(duì)教學(xué)過(guò)程中一些例、習(xí)題進(jìn)行簡(jiǎn)單改編（改編數(shù)字、字母或圖形的位置），或者對(duì)問(wèn)題進(jìn)行強(qiáng)化、弱化（或一般化）的變式拓展，以實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)反饋學(xué)情的檢測(cè)目標(biāo).

4.習(xí)題課需要規(guī)范步驟與糾正錯(cuò)誤

傅種孫先生關(guān)于平面幾何教學(xué)曾有精辟的論述，其中提到的“指示正確、糾正錯(cuò)誤”是非常值得學(xué)習(xí)的教學(xué)建議.以“角”習(xí)題課教學(xué)為例，學(xué)生在前面已對(duì)“角”的有關(guān)概念、表示、大小比較有了初步的理解，但是對(duì)這些知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)貫通理解還需要通過(guò)必要的習(xí)題訓(xùn)練.在習(xí)題教學(xué)時(shí)，有些例題需要由教師來(lái)規(guī)范幾何語(yǔ)句的書(shū)寫(xiě)表達(dá)，有些則需要課堂教學(xué)進(jìn)程中捕捉學(xué)生的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，通過(guò)投影進(jìn)行展示與評(píng)析，對(duì)于一些錯(cuò)誤表述、不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牟襟E或需要優(yōu)化的步驟進(jìn)行糾正或究錯(cuò)，促進(jìn)學(xué)生在幾何入門(mén)階段走得更好、更穩(wěn).

三、寫(xiě)在后面

習(xí)題課教學(xué)是各級(jí)教學(xué)研討活動(dòng)中的“薄弱點(diǎn)”，然而在當(dāng)下的日常教學(xué)中，習(xí)題課恰恰是占比較多的一類(lèi)數(shù)學(xué)課型，這次有機(jī)會(huì)執(zhí)教“角”的習(xí)題課，也促使自己深入思考習(xí)題課該如何教，而不是拿著一本練習(xí)冊(cè)就題講題.當(dāng)然，筆者的認(rèn)識(shí)還很初步，期待更多的同行構(gòu)思并分享習(xí)題課的課例，讓我們對(duì)習(xí)題課的教學(xué)研究豐富起來(lái)、深入下去.