搭建學生數形結合的數學思維
——以二次函數的圖像為案例

☉浙江省新昌縣城關中學 王岳琦

近來翻看了舊版初中數學教材，其教材的科目名稱讓筆者有了感悟，《代數》、《幾何》就是對初中數學知識的簡單分類.正逢學習二次函數的圖像，這類知識就是代數和幾何的交集，是一種數形結合的思想.在近期的集體備課活動中，筆者將數形結合思想帶進了教研之中.學科組教師都有同感：第一，在初中階段的數學，除了要讓學生認知數學基礎知識，更為重要的是要引導學生認知數學特有的思想方法，只有這樣，才能夠逐步構建學生的數學知識體系，完善他們數學思維的學科素養；第二，二次函數圖像體現的就是數形結合思想，對于初中學生數學的能力發展和素質的提升是不可缺失的.如何在課堂上體現與深化數形結合思想呢？

一、課堂教學必須灌輸數學學科核心素養，以創設形象的情境激發學習興趣

在集體備課時，筆者提出了作為一位初中數學教師，在二次函數圖像教學中必須有意識地滲透數形結合思想，將二次函數與圖像緊密結合在一起，從抽象的函數式轉換為直觀圖像，從而激發學生的學習興趣，為今后的數學學習奠定扎實的知識基礎.

學科組教師也提出，初中學生已經有了有理數、無理數的知識基礎，對代數、幾何已經有了簡單的認識，這時教師因勢利導，讓學生更多地接觸、吸納并能夠運用數形結合思想方法，在二次函數的學習過程中掌握數形結合思想運用的步驟、解題方法等，引導學生將用數形結合思想解決二次函數問題變成一種主動自覺意識，從而對數學的知識探究產生興趣.比如，在課堂教學中引入二次函數的定義時創設這樣的問題：

案例1：如圖1，假若在一堵長18m的墻邊修建一個矩形花圃，可用的籬笆長度是一定的，讓垂直于墻的一邊MN的長為xm，先給出x的一些值，算出矩形的另一邊NP的長，使得矩形的面積為ym2.

圖1

試將所得結果填寫于表1中：

表1

在上面給出的x的值中，你能說明取值有限定范圍嗎？

然后就引導出：當MN的長（x）確定后，矩形的面積（y）也隨之確定，y是x的函數.繼續引導：當MN=xm時，NP長等于多少米？［通過圖1中的特征，結合MN=5m，NP=10m，得出籬笆長度為20m，當MN=xm時，NP=（20-2x）m］接下來仍然引導學生計算矩形的面積y等于多少［y=x（20-2x）］.當學生寫出了函數的關系式后，教師再說明為什么這個函數的關系式就是二次函數.

創設這樣的導入二次函數的情境，體現的是將圖形轉換為代數式的關系，就是數形轉換的思想.作為初中教師，必須具備善于挖掘數學教學中有助于激發學生學習動力的因素，因為數學學科就是一門從生活實踐中抽象出來的極有趣味的課程.像案例一樣，還有大量的趣味游戲、科學家的探索故事、家庭理財等都與數學有不可分割的關系，在引導學生感受到探究數學的樂趣之時，創設更多的讓學生主動參與的數學實踐活動，讓課堂上的數形結合思想變成他們實踐的樂園.

二、通過對數學概念的拓展，潛移默化數學知識，從而對數學思想方法進行建模

在集體備課活動中，學科組教師一致認為初中數學中有大量需要理解的數學概念，比如，在學習二次函數圖像的知識時，必須建立在記憶基礎上發現、分析和解決問題.作為教師，在課堂上必須能夠運用數學概念，引導學生通過探究問題的需求構建數學方法，讓學生在理解和應用中融合數形結合思想方法，促使他們將數學知識潛移默化成自己的數學能力.因此，在學習函數變化規律這一概念時，必須運用數形結合思想方法作出函數圖像，輕松、準確地解決函數問題，從而提升他們敢于應用數形結合的核心素養.在強化二次函數的概念時，就可以通過下列案例細化概念.

案例2：讓學生作出二次函數y=x2與y=2x2的圖像.

這類練習屬于概念問題，可以先通過自主完成，然后同桌交流來強化，在教師的引領下掌握方法.

第一步是列表：在x的取值范圍內列出函數對應值表.

表2

第二步是作圖像，包括描點和連線.如圖2.

教師可以在班里隨機抽取兩位學生的圖像，通過投影的方式來分析作圖時出現的相關問題，并指出函數的圖像有怎樣的特點，再給出拋物線的概念、拋物線的頂點的概念.接下來讓學生明確這兩個概念，預設可以設置概念填空.

假如存在二次函數y=ax2，其對應的拋物線圖像具備的特點是：

問題1：當a＞0時：拋物線開口______；在對稱軸的左邊，曲線自左向右______；在對稱軸的右邊，曲線自左向右______；______是拋物線上位置最低的點.

問題2：當a＞0時：當x＜0時，函數值y隨著x的增大而______；當x＞0時，函數值y隨著x的增大而______；當x=______時，函數取得最小值，最小值y=______.

從集體備課中設置的案例2可以看出，對數學概念理解或推導等知識在課堂上當然需要占用大量的數學教學時間，這是課堂教學的重點，如果學生不能抓住二次函數和拋物線的關系的關鍵所在，對于后來的深化學習就很容易形成知識缺口或不能牢固掌握基礎知識，久而久之就會對數學學習毫無興趣.筆者相信，在課堂上教師更多的是鼓勵學生通過有效運用情境法、分組討論法等深化數學概念的認知，理解數形結合思想方法，這樣就能提升學習效率.

圖2

三、廣泛收集信息，優化教學案例，將數學思想方法細化成學生探究數學問題的常用方法

集體備課將每位教師的聰明才智匯聚在一起.在二次函數圖像的集體備課時，學科組成員都會針對自己教學實踐中讓學生有效掌握數形結合思想的含義和運用知識的案例各抒己見，本次教研活動中達成共識：只有通過對同一數學思想反復訓練和強化，才能真正理解解題方法的真諦.所以，在集體備課時，筆者特別重視學科組成員提供的典型案例，著重對教學案例進行分析篩選，然后根據班級學情、教學重點和三維目標等綜合設計教學方案，預設一種可以讓學生經歷動手演算、作圖，動腦、探究等過程的活動，在解題中質疑、釋疑，從而激發學生的求知欲和學習動機.例如，在二次函數圖像學習中，用比較法來拓展拋物線的變化特征.前面案例2就是采用二次函數y=x2和函數y=2x2圖像對比的方法，在拓展二次函數圖像的過程中還可以用同樣的方法產生質疑情境.

案例3：在電子白板上展示：二次函數y=2x2和y=2x2＋1.

情境1：請同學們根據前面學習過的數學方法作出二次函數y=2x2和y=2x2＋1的圖像.

情境2：請將函數y=2x2與y=2x2＋1的圖像作在同一直角坐標系中.

情境3：當自變量x的取值相同時，這兩個函數的函數值y之間是怎樣的關系？請你在圖像上找到這兩個點，并觀察二者之間的位置關系.

連環式的質疑情境不但能回顧舊知，同時通過讓學生作函數圖像、觀察函數圖像，利用對比分析出二次函數y=2x2與y=2x2＋1的圖像開口方向、對稱軸、頂點坐標等，在練習過程中不斷打磨數形結合思想方法，從而從函數y=2x2的某些性質中得出函數y=2x2＋1的相關性質.

案例是豐富多彩的，課堂也是精彩紛呈的，不同的教師有不同的風格.筆者是喜歡循序漸進的、喜歡對比展示并拓展知識，因此在集體備課時談到案例2之后，仍然欣然談到案例3.二次函數圖像的課堂教學如何優化和創新設計，如何適時滲透數形結合思想，是每位初中數學教師的共同話題，這里就不狗尾續貂了.

總之，集體備課給了筆者一個再學習、再提升教育教學能力的機會，感悟至深，溢于言表.筆者知道，初中數學知識體系中擁有大量的數學學習方法和數學思想，其中數形結合思想是學生在二次函數圖像中解題抓手的關鍵所在，教師只有在課堂上靈活、有效地運用數形結合思想，才能拓展和創新學生的數學思維，才能達成初中學生必備的數學學科核心素養.