“翻”“轉”變換下的離散到集中*
——淺談圖形變換在勾股定理中的應用

☉江蘇省蘇州工業園區星海實驗中學 王 敏

一、教學背景

1.背景介紹

蘇州工業園區星海實驗中學江蘇省“十三五”規劃“教師發展專項”課題，聚焦課堂教學實踐，側重拓寬國家課程二次開發的課堂教學表現維度，加深、提高教師對國家課程及其教材的理解、把握、統整的能力，進而促進教師教學能力的提升.在此目標下，以“根據校情，學情，對教學內容進行適切的變式、拓展、深化，探索有深度的課堂教學”為“二次開發”的基本角度，在2018年11月23日江蘇省教師發展基地教學展示活動中擬定課題為“‘翻’‘轉’變換下的離散到集中——淺談圖形變換在勾股定理中的應用”.本課例是筆者執教該課的教學實錄.

2.學情分析

本節課之前學生探索和證明了三角形全等的判定定理，學習了勾股定理，對勾股定理的使用有了比較好的掌握，這些基礎知識為本節課的學習奠定了良好的基礎.

3.教學目標

本節課在學生已經掌握“勾股定理”這一基礎知識之上，通過旋轉和翻折兩種圖形變換，完成輔助元素的添設，變離散為集中，化難為易，達到解決問題的目的.在教學過程中，自然滲透轉化與類比的思想，讓學生體驗數學思想方法的重要性.教師通過變式，引導學生感悟圖形變化過程中不變的本質與內涵.

二、教學過程

章建躍指出：“教好數學”的內涵應該是“為學生建構前后一致、邏輯連貫的學習過程，使學生在掌握數學知識的過程中學會思考”.基于上述觀點，筆者設計了如下教學過程.

1.復習引入

師：前面我們學過勾股定理，請同學們一起來回憶一下勾股定理的內容.

生眾：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC2+BC2=AB2.

師：大家之前也學過全等三角形和圖形的變換，今天老師將兩個有公共頂點的等腰直角三角形結合旋轉和翻折一起來研究，看看能得到哪些美妙的結論.

設計意圖：通過提問復習舊知，交代背景，明確新知生長點，建構知識體系，激發學習興趣，讓學生產生進一步探索與研究的欲望.

2.小試牛刀——初露鋒芒

師：課前大家完成了小試牛刀，下面請一位同學來說說自己的證明方法.

小試牛刀1：如圖1，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上，求證：AE2+AD2=AB2.

圖1

圖2

生1：連接BE.證明△ACD △BCE.因此 AD=BE，∠D=∠BEC.因為∠DCE=90°，所以∠D+∠CED=90°.故∠BEC+∠CED=90°，即∠AEB=90°.所以AE2+BE2=AB2，因此AE2+AD2=AB2.

師：很好！這位同學對圖形的觀察能力很棒，能夠通過三角形全等轉移線段，實現變離散為集中的目的，從而得到要求證的結論.

師：小試牛刀1中點A在線段DE上，現在老師讓點A動起來，當點A運動到E點右側時，上述結論是否依然成立？

小試牛刀2：如圖3，∠DCE=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，△ABC的頂點A在直線DE上（E點右側），求證：AE2+AD2=AB2.

圖3

圖4

師：哪位同學能解決一下這個問題？

生2：結論依然成立.連接BE.證明△ACD △BCE，因此AD=BE，∠D=∠BEC，所以∠AEB=90°，則AE2+BE2=AB2，因此AE2+AD2=AB2.

師：該同學思路清晰，點贊哦！

設計意圖：小試牛刀1和2立足學生已有水平，通過三角形全等，實現線段的轉移，變離散為集中，從而證得結論.這兩種情況，為后續的探究奠定基礎，同時激發學生潛能，為學生的能力發展提供可能.

3.例題講解——嶄露頭角

師：剛才的證明都運用了三角形全等，其實我們可以把其中一個三角形繞著頂角的頂點旋轉，就可以得到另一個三角形（見等腰想旋轉）.下面我們用旋轉變化的方式研究例題.

例題：如圖5，在同一個平面內，將兩個等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°.若△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合）.求證：BD2+CE2=DE2.

圖5

圖6

師：待證明的結論與線段BC以下的部分沒有關系，我們可以把線段BC下面的部分刪掉，在相對簡單的圖6中完成證明.下面請大家用旋轉變換的方式嘗試一下.

生3：將△ABD繞著點A按逆時針方向旋轉90°得到△ACD′，連接D′E，則BD=CD′，AD=AD′，∠BAD=∠CAD′.因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠BAD+∠EAC=45°，故∠CAD′+∠EAC=45°，即∠D′AE=∠DAE=45°.又因為AD=AD′，AE=AE，從而得到△DAE △D′AE（SAS），所以DE=D′E. 因為∠BAC=90°，所以∠B+∠ACE=90°，故∠ACD′+∠ACE=90°，即∠ECD′=90°，所以CD′2+CE2=D′E2，從而BD2+CE2=DE2.

師：很好！大家能活學活用.除了旋轉變換，我們還學過翻折變換，大家思考一下，這個問題能否用翻折變換解決？

生4：剛才生3證明了△D′AE △DAE，我們可以考慮將△ADE沿著AE翻折得到△AD′E，再證明△D′AC△DAB，繼而證明BD2+CE2=DE2.

師：太棒了！這位同學觀察仔細，能夠看到問題的本質，此處應有掌聲（學生鼓掌）.這個問題的具體證明留給大家課后完成.

設計意圖：例題與小試牛刀相互聯系，又有一定的梯度，螺旋上升，這種立足于學生已有經驗和最近發展區的、能以“不變”應“萬變”的通法符合學生的認知規律.

4.例題變式1——乘勝追擊

師：將例題中的△AFG繞點A旋轉，得到圖7，關系式BD2+CE2=DE2是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

圖7

圖8

師：請同學們動手在學習任務單上試試看.

生5：將△ACE繞著點A按順時針方向旋轉90°得到△ABE′，連接DE′，證明△ADE △ADE′，繼而可以證明BD2+CE2=DE2.

生6：將△ADE沿著AD翻折，得到△ADE′，證明△ABE′△ACE，也可以證得BD2+CE2=DE2.

師：看來大家都掌握得不錯，下面老師繼續將例題中的△AFG繞點A旋轉.

5.例題變式2——攻堅克難

圖9

圖10

師：將例題中的△AFG繞點A旋轉，得到圖9，AG、AF所在直線與BC所在直線分別交于E、D兩點，關系式BD2+CE2=DE2是否依然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

學生思考了兩分鐘，仍然沉默不語，教師啟發.

師：這里有等腰三角形，可以考慮旋轉變換.AB與待證結論中的BD在一個三角形中，可以考慮旋轉△ABD，實現線段BD的轉移.下面請一個同學來完成證明.

生7：將△ABD繞著點A按逆時針方向旋轉90°得到△ACD′，連接D′E，則BD=CD′，AD=AD′，∠ABD=∠ACD′.因為∠GAF=45°，所以∠EAD=135°.又因為∠DAD′=90°，所以∠EAD′=135°，故∠EAD=∠EAD′. 又因為AD=AD′，AE=AE，從而得到△DAE≌△D′AE，所以DE=D′E.因為∠BAC=90°，所以∠ABC+∠ACB=90°，故∠ECD′=90°，所以BD2+CE2=DE2.

師：該同學思路非常清晰，證明過程很有條理，老師希望同學們課后再用翻折變換的方式完成此題的證明.本節課同學們的表現非常棒.你們有哪些收獲？

學生思考、討論后紛紛舉手.

設計意圖：學生在解決問題時，需經歷操作、觀察、思考、歸納、推理等數學活動過程.當學生遇到困難時，教師需進行點撥和引導，促使學生進一步思考，在層層遞進中把學生的思維引入“深水區”.

三、教后反思

通過這節課的嘗試，我的體會有以下幾點：

首先，如何激發學生學習的欲望？我在設計時，從學生熟悉的等腰直角三角尺入手，著眼于調動學生的積極性，挖掘出有價值的素材，對教材中的內容進行加工、處理、拓展和深化，探索有深度的課堂教學.

其次，感受圖形變換對學生來說是一個漸進的認知過程.為了幫助學生合理選擇變換的方式，我設計了題組，同時通過題組讓學生掌握“變中不變”的數學思想.以例題為引導，教會學生方法，鼓勵學生獨立思考，嘗試解決問題.隨后以例題的兩個變式為拓展，將課堂的探究式學習推向高潮.

最后，現在學生的學習存在誤區，企圖通過提前學，不斷刷題來提高分數，使得有趣的數學學習變得越來越機械.本節課試圖通過對以等腰直角三角形為載體的圖形變換問題的探討，以期達到幫助學生理清其中的變化規律，明確解決問題的方法.在探討過程中培養學生良好的思維品質，幫助學生提高解決問題的能力.

在本節課的教學過程中，既有教師的有效組織與合理引導，又有學生的獨立思考與合作交流；既有基礎知識的教學、基本技能的訓練，又有基本數學思想方法的感悟，還有數學思想方法的有機滲透.通過精心確定教學目標、教學重點和教學難點，例題的選擇、內容的深化、教學流程的構思都旨在知識的形成過程中突出數學思維的培養，引導學生充分經歷知識的建構過程，體驗解決問題的成就感.F