關于初中數學圖形等面積拼接問題的教學探索

☉江蘇省蘇州市工業園區星匯學校 李雪瓊

圖形等面積拼接問題是初中數學教學中的重要內容，也是中考數學科目的創新考題，初中數學圖形等面積拼接問題的教學是為了讓學生具備解決這類數學題目的能力.圖形等面積拼接問題解答的關鍵在于分割與拼接兩個環節，教學重點是引導學生掌握圖形等面積拼接問題的正確解題思路與方法，知道在解決這類題目時該如何剪與怎樣拼.考慮到部分初中生在遇到圖形等面積拼接問題時無從下手的實際情況，以及初中數學圖形等面積拼接問題教學面臨的困境，本文嘗試優化數學課堂教學設計，引導學生創造性地發現不同的剪拼方案，歸納圖形等面積拼接問題的解題思路，總結出剪邊長與拼直角的方法，夯實學生的數學知識基礎.

一、初中數學圖形等面積拼接問題的教學實例

例題：①地面上有一塊正方形區域需要鋪設瓷磚，已知一塊矩形瓷磚余料長5米、寬1米（見圖1），并且該正方形區域的面積與矩形瓷磚余料的面積相等，為了避免因瓷磚余料分割不恰當而造成材料的浪費，保證將矩形瓷磚余料分割后拼接在正方形區域內，請設計出瓷磚余料的分割與拼接方案.

②如果需要鋪設瓷磚的正方形區域不變，而瓷磚余料的形狀發生改變（見圖3），確定該正方形區域的面積與瓷磚余料的面積相等，在忽略接縫不計的情況下，請設計出瓷磚余料的分割與拼接方案.

圖1

對于上述圖形等面積拼接問題的解答，為了幫助學生掌握解決圖形等面積拼接問題的思路與方法，教師在實際教學中可以引導學生從拼圖前后面積不變這一角度思考，結合題干中給出的已知條件，計算出所拼的正方形面積為5平方米，則邊長為米.教師在該問題的具體解析中充分發揮實物教學的優勢，讓學生利用紙片剪出一個代表矩形瓷磚余料的矩形紙片，并將矩形紙片剪切和擺拼成新的大正方形，引導學生結合實物總結經驗，檢驗自己對圖形的分割與拼接方法及思路，總結歸納出“剪邊長，拼直角”的解題方法（見圖2）.

圖3

對于②中提出的圖形等面積拼接問題，結合①中的已知條件可以發現圖3與圖1中所給的瓷磚余料圖形的面積并未發生改變，但圖形的形狀發生了變化，改變了幾個小正方形的位置.學生在解決該問題過程中，利用①中的解題思路，可以很容易畫出圖形的分割方法（見圖4）.

圖4

從圖4可以看出，針對上述圖形等面積拼接問題的解答，學生對圖形的分割與拼接思路較為單一，并未脫離將圖形剪成四個直角三角形與一個正方形的思路，凸顯出學生的數學知識面較窄.為了更好地培養學生的數學素養及抽象思維，幫助學生掌握解答圖形等面積拼接問題的多種思路與方法，教師在例題解析過程中可以引導學生觀察圖4中的第三個圖形，利用分割線將該圖形分成三個部分，根據解答上述問題的需要，通過移動其中的兩塊拼出正方形（見圖5），保證學生能夠獨立解決這類題目，加深學生對圖形等面積拼接問題所涉及數學知識的理解與記憶.

圖5

針對數學圖形等面積拼接問題的教學，教師在例題解析過程中可以引導學生思考一個問題——“是否只要保證由拼得正方形邊長確定的分割線互相垂直，就能剪拼成一個更大的正方形？”為了讓學生更高效地理解所學的圖形等面積拼接問題的相關數學知識，教師將實物教學應用到初中數學圖形等面積問題教學及上述實例解析中，引導學生自己動手剪出一個如圖5中第一個圖形的紙片，利用手中的紙片進行剪拼試驗，滿足分割線互相垂直的要求，讓學生在實踐中結合解題需要作出長度為的分割線，從而拼出題目要求的正方形（見圖6至7）.

圖6

圖7

在上述例題解析過程中，教師應當引導學生脫離思維定式，掌握圖形等面積拼接問題的多種解題思路與方法，利用兩條分割線將圖形分成不規則的四個部分，滿足上述問題的解題要求，拼出一個大正方形.在解決上述問題時，學生在作長為的分割線時，需要用到勾股定理，但在圖形中作出分割線后，所畫出分割線的頂點容易局限在格點處.針對這種常見現象，教師可以在圖形等面積拼接問題的教學中，引導學生思考一個問題——“長為米并且互相垂直的分割線只有這兩條嗎？”鼓勵學生相互討論，或自己動手試驗，讓學生自己發現若將分割線平移并不會改變兩條分割線的位置關系與數量關系（如圖8）.

圖8

對于初中數學圖形等面積拼接問題的教學，教師在上述例題解析過程中，可以引導學生討論“分割線的作用是剪切出所得大正方形的邊長，而最后拼接圖形時分割線要向外”這種解題方法的原理.明確利用上述方法在圖形中作出分割線時，分割線互相垂直的目的是垂直所分出的四個直角剛好作為拼得正方形的內角.利用實例解析，幫助學生理解與掌握數學圖形等面積拼接問題的解題思路與方法.

二、初中數學圖形等面積拼接問題的教學策略

1.培養學生的畫圖能力

學生畫圖能力與抽象思維的培養，影響著學生解決數學圖形等面積拼接問題的能力，也是初中數學圖形等面積拼接問題教學的重要目標之一.學生學習數學圖形等面積拼接問題的重點是分割與拼接兩個環節，考慮到新課標在初中數學教學中的貫徹落實，教師在圖形等面積拼接問題的教學中應當優化數學課堂教學設計，有機結合理論與實踐，充分發揮實例解析與實物教學的優勢，讓學生真正掌握在遇到圖形等面積拼接問題時應當如何對圖形作分割線與怎樣拼出一個正方形，理清這類題目的解題思路與方法.教師在初中數學圖形等面積拼接問題教學中，引導學生利用剪刀與紙片對所學的相關知識進行實際操作，明確圖形的分割與拼接方法，讓學生切身體會圖形的分割與拼接過程，加強培養學生的畫圖能力，按照具體要求將拼好的圖形畫出來，有利于學生徹底擺脫思維定式.

2.加強知識的歸納與提升

學生的學習離不開教師的引導，特別是數學這種學習與理解難度較高的科目，更加需要教師的指導及對相關知識的深層次分析.初中數學圖形等面積拼接問題的關鍵在于對圖形的分割與正方形的拼接，而教學難點在于讓學生掌握圖形剪切與拼接的思路和方法，需要教師在實際教學中對學生加以引導，根據學生的圖形分割進行新知識的拓展與延伸，結合圖形等面積拼接問題相關教學內容的設置，合理設計教學例題，引導學生重點學習與討論拼接問題，構建數學圖形等面積拼接問題相關知識的系統化知識體系，加強相關知識的歸納與整理，促進初中數學圖形等面積拼接問題教學有效性的提升，夯實學生的數學知識基礎.例如，圖形的分割就是將一個幾何圖形按照具體要求分割出大小相同且形狀相同的圖形，而圖形的拼接強調前后圖形之間的對應關系.對于圖形等面積拼接問題的計算，則需要抓住圖形在分割與拼接前后面積相等這一關鍵點，幫助學生更好地學習圖形等面積拼接問題這一知識點.

三、初中數學圖形等面積拼接問題的課堂反思

教師對上述例題的解析是為了讓學生創新地發現剪拼正方形的新方法，擺脫思維定式的局限，加強培養學生的數學素養及抽象思維與畫圖能力.因此，學生在作出圖4并未有新的突破后，教師需要引導學生自主思考，不能急于給出兩條分割線垂直的位置關系，增加學生自主創新探究解題新思路與方法的機會，引導學生自己找出分割線垂直的關系及其在圖形拼接中的作用.新課改背景下，教師在初中數學圖形等面積拼接問題的課堂教學中，應當重視實物教學的應用，讓學生自己動手利用剪刀與紙片進行試驗操作，親身感受每塊圖形拼圖前后的位置變化，體會在圖形等面積拼接時“剪邊長，拼直角”的過程，加深理解與掌握作分割線與拼正方形這一教學重點，促進學生數學成績與學習水平的提升.

四、結束語

初中數學圖形等面積拼接問題是初中生需要掌握的動手操作問題，但由于初中生的抽象思維能力與空間思維等綜合能力有待進一步培養與提升，導致學生學習圖形等面積拼接問題的難度較高，缺乏學習興趣.考慮到新課標下初中數學教學的具體要求與標準，加強對學生畫圖能力的培養，合理設計教學問題，適時解析具體實例，充分發揮實物教學的優勢，引導學生找出圖形等面積拼接問題解決的重點與關鍵，掌握核心的數學知識，為學生學習更深層次的數學知識奠定堅實基礎.F