經(jīng)典圖形變式拓展，預(yù)設(shè)自編開放教學(xué)
——以“再探正方形性質(zhì)與判定”教學(xué)為例

☉江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳 怡

最近一次學(xué)校教研活動(dòng)中，筆者有機(jī)會(huì)執(zhí)教一節(jié)正方形的習(xí)題課，由于習(xí)題課中教學(xué)上沒有可供多選的習(xí)題或素材，經(jīng)過精心選題以及備課組同仁研討打磨，確定了以經(jīng)典圖形為背景，不斷變式拓展，以問題串的方式推進(jìn)學(xué)程，教學(xué)進(jìn)程中也恰當(dāng)預(yù)設(shè)了一些學(xué)生自編習(xí)題的教學(xué)活動(dòng)，起到了較好的教學(xué)效果.本文梳理該課教學(xué)流程，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，供研討.

一、教學(xué)流程概述

教學(xué)環(huán)節(jié)（一） 經(jīng)典例題，基礎(chǔ)熱身

例1 如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，連接DE、AF，請(qǐng)指出線段AF、DE的數(shù)量與位置關(guān)系，并說明理由.

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生易證△ABF △DAE，從而得到線段DE、AF的數(shù)量關(guān)系是AF=DE，并且由∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，可得線段AF、DE的位置關(guān)系是AF⊥DE.這樣利用正方形的邊、角性質(zhì)，借助全等三角形，得出線段的關(guān)系，同時(shí)提煉出本節(jié)課研究的兩個(gè)重要“對(duì)象”：一個(gè)正方形與兩條線段.同時(shí)教學(xué)互動(dòng)過程中學(xué)生踴躍回答問題，為這節(jié)課開了個(gè)好頭.

圖1

圖2

變式：如圖2，正方形 ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊 AB、BC上，當(dāng)點(diǎn)E、F不再是兩邊中點(diǎn)時(shí)，如果還要有AF=DE，AF⊥DE，你覺得點(diǎn)E、F至少要滿足怎樣的條件？

教學(xué)預(yù)設(shè)：若AF=DE，根據(jù)全等三角形可得AE=BF.將中點(diǎn)這個(gè)特殊條件一般化，讓學(xué)生將條件和問題互換，教學(xué)時(shí)可安排學(xué)生小組討論，先組內(nèi)編寫題目交流確認(rèn)之后再全班交流展示.

教學(xué)環(huán)節(jié)（二） 變式拓展，參與編題

例2 如圖3，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別是邊AB、BC、AD上的點(diǎn)，連接GF、DE，小蘇提出一個(gè)命題：當(dāng)GF⊥DE時(shí)，求證GF=DE.請(qǐng)同學(xué)們思考：小蘇提出的命題是真命題嗎？并進(jìn)一步思考：若將小蘇命題中的條件和結(jié)論互換一下，仍然成立嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：根據(jù)GF⊥DE，由“HL”證全等得GF=DE.但是由GF=DE，不一定能保證GF⊥DE.在學(xué)生出錯(cuò)后，要注意引導(dǎo)究錯(cuò).從本質(zhì)上說“位置確定之后，有確定的數(shù)量關(guān)系；但數(shù)量關(guān)系明確之后，不一定嚴(yán)格對(duì)應(yīng)著一種位置關(guān)系”，比如，“對(duì)頂角相等”與“相等的角都是對(duì)頂角”.

圖3

圖4

圖5

變式再練：如圖4，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、DC、AD上的點(diǎn)，現(xiàn)在請(qǐng)你將GE⊥FH和GE=FH中的一個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，編出正確的題目，并給出證明.

教學(xué)預(yù)設(shè)：若GE⊥FH，可以得出GE=FH；但是由GE=FH，不能得出GE⊥FH，如圖5就是一種反例構(gòu)圖.

圖6

圖7

拓展1：如圖6，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為18，在AD上取點(diǎn)G，在BC上取點(diǎn)F，將這個(gè)正方形沿GF折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上，得到點(diǎn)E，已知AE=6，求DG的長(zhǎng).

拓展2：如圖7，在拓展1中，DC經(jīng)折疊后與邊BC交于點(diǎn)H，隨著點(diǎn)G、F在邊AD、BC上移動(dòng)，∠EDH的大小會(huì)發(fā)生改變嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：這兩道拓展題以正方形的折疊為載體，讓學(xué)生自我操作和探究.拓展1中假設(shè)未知數(shù)，找出直角三角形，利用勾股定理列出方程.拓展2中添加垂線段，形成兩組全等三角形，進(jìn)而求出角的大小.這兩個(gè)問題培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，并從問題情境中歸納、概括得到猜想和證明，注重知識(shí)的形成過程.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三） 繼續(xù)生長(zhǎng)，拓展鏈接

例3 如圖8，已知正方形ABCD，點(diǎn)E、F分別是邊DC、CB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，請(qǐng)圍繞線段DF、AE的數(shù)量和位置關(guān)系，編寫題目并給出證明.

圖8

圖9

拓展：如圖9，四邊形ADEF中，對(duì)角線AE與DF垂直且相等，點(diǎn)G、H、M、N分別是AF、FE、DE、DA的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷四邊形GHMN的形狀并證明.

教學(xué)預(yù)設(shè)：從例1、例2變式為例3之后，拓展到中點(diǎn)四邊形的研究，即中點(diǎn)四邊形的形狀只與兩條對(duì)角線的數(shù)量、位置關(guān)系有關(guān)，與四邊形的形狀無關(guān).

教學(xué)環(huán)節(jié)（四） 圖形旋轉(zhuǎn)，探求最值

例4 如圖10，正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AD、DC上的點(diǎn)，OE⊥OF，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為1時(shí)，求線段EF的最小值.

拓展：當(dāng)△OEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，四邊形EOFD的面積發(fā)生改變嗎？

教學(xué)預(yù)設(shè)：由正方形的性質(zhì)，得到△DOE △COF，易證△OEF是等腰直角三角形，因此EF= ■ 2 OE.要求EF的最小值，只需求EO的最小值.四邊形EOFD的面積可以轉(zhuǎn)化成△ODC的面積，所以面積不變.教學(xué)時(shí)要關(guān)注學(xué)生是否能夠正確判斷出△OEF是等腰直角三角形，并能正確使用“點(diǎn)到直線的線段中，垂線段最短”這個(gè)性質(zhì).

圖10

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.引導(dǎo)學(xué)生深入探究正方形相關(guān)綜合問題

本課教學(xué)內(nèi)容是蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)第九章9.4節(jié)矩形、菱形、正方形.本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)與判定，作為正方形的第3課時(shí)，學(xué)生對(duì)正方形與兩條垂直線段組合成的圖形的理解還比較淺顯，對(duì)由正方形本身可以直接觀察出來的結(jié)論能迅速得出，但是對(duì)技巧性較高的問題還需要經(jīng)過一定的訓(xùn)練.本節(jié)課中，教師以學(xué)生為主體，借助一個(gè)正方形和兩條線段這種基本圖形的訓(xùn)練，讓學(xué)生充分參與課堂，自主探索編題.通過問題的提出，引出思考訓(xùn)練，學(xué)生能夠?qū)φ叫蔚男再|(zhì)與判定進(jìn)行有效訓(xùn)練.

2.重視開展開放教學(xué)，預(yù)設(shè)變式拓展問題

本課十分重視開放式教學(xué)，教師通過問題串層層遞進(jìn)，學(xué)生在解答的過程中也能成功編寫題目.不同例題講評(píng)之后，多次進(jìn)行的變式或拓展訓(xùn)練，使學(xué)生加深了對(duì)課堂知識(shí)的理解，提高了他們的發(fā)散思維能力.特別是，學(xué)生從學(xué)會(huì)解題到自主編題，其實(shí)是教師從問題中一步步引導(dǎo)出來的結(jié)果，掌握前面給的圖形性質(zhì)，加上一部分拓展思維得到新的問題，并不困難.自主編題使原來以教師為主的習(xí)題課變成學(xué)生、教師全員參與的討論課，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.在這個(gè)過程中，啟發(fā)學(xué)生參與課堂進(jìn)行思考，特別是“通過變化以突出其中的不變因素”，從而幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì).通過一題多變，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題從多角度、多層次、多方面思考，最終在此過程中提高自己的數(shù)學(xué)思維能力.

3.把核心素養(yǎng)的培養(yǎng)“落腳”在課堂教學(xué)

我們知道，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括抽象思想、推理思想、模型思想等，過去我們?cè)诮忸}策略中強(qiáng)調(diào)的很多解題方法，也可歸入相應(yīng)的核心素養(yǎng)范疇.比如，化歸思想、數(shù)形結(jié)合、分類討論、以美啟真等，都可看成是相應(yīng)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵.如本課關(guān)注的以正方形為載體的綜合問題，其求解策略主要是以美啟真、化歸思想、模式識(shí)別.在所有的四邊形中，正方形無疑是最完美的四邊形，它不僅是軸對(duì)稱圖形，還是中心稱圖形，既具有矩形的一切性質(zhì)，又具有菱形的一切性質(zhì)，是矩形和菱形的完美化身.正方形的這些性質(zhì)給我們解答正方形相關(guān)問題提供了便利.這節(jié)課利用這個(gè)基本圖形，將兩條線段從特殊到一般，從形內(nèi)到形外，借助全等三角形，和一些典型的輔助線，讓學(xué)生探索線段的關(guān)系，求出角度大小或線段的最值.