學材重構單元教學，研判學情相機施行
——以一節“二元一次方程組”起始課為例

☉江蘇省南京市上元中學 王圣蕓

我們注意到，最近三年來，由中國教育學會中學數學教學專業委員會推廣的首屆國家教學成果獎“自學·議論·引導”在全國開展了3次推廣活動，該教學法主要倡導“單元教學”，特別是“三學”（學材再建構、學法三結合、學程重生成）得到很多一線教師的積極響應，近年來在《中學數學（初中版）》能檢索出相當數量的文獻．然而我們也注意到，因為對單元教學的理解比較膚淺，教學實踐時往往表現出一些“只見其形，未得其神”的尷尬課例．本文先梳理近期教學觀摩所見的一節“二元一次方程組”單元起始課的教學流程，并跟進評課與商榷意見．

一、“二元一次方程組”單元起始課教學概述

教學環節（一） 實際問題，引入新知

問題背景：籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分．

問題1：籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分，某隊在一次比賽中勝x場，負y場，得到16分，你能得到怎樣的關系式？

教學組織：學生列出方程2x＋y=16．教師跟進追問這是什么方程，類比一元一次方程的定義，引導學生歸納定義出這是二元一次方程，并形成課題與板書．接下來安排一組練習，鞏固二元一次方程的概念，以及如何靈活變換不同表示方法．

跟進練習：（1）在方程x＋y=10中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

（2）在方程x-2y-1=0中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

（3）在方程3x-2y=1中，用x表示y，得______，用y表示x，得______.

教學環節（二） 列表研究“不定方程”的解

探究：滿足方程2x＋y=16，且符合問題實際的解：

表1

跟進練習：列表探究方程x＋y=10的自然數解：

表2

教學組織：通過列表分析實際問題的解，發現在表格中有一組“公共解”，為進一步定義二元一次方程組的解提供了一個歸納的情境．并通過PPT呈現圖1：

圖1

在此基礎上歸納出二元一次方程組的解的定義．

順便將開課階段的問題情境適當改編呈現，如下：

籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝一場得2分，負一場得1分，某隊在10場比賽中得到16分，那么這個隊勝、負場數分別是多少？

學生就可發現上面列表發現的那一組公共解就是這個實際問題的解．

教學環節（三） 研究“消元”解二元一次方程組

例1 用加減消元法解下列方程：

例2 用代入消元法解下列方程：

教學組織：教師準備了上述兩組例題，結果因為教學時間不足，只能“匆匆示范”，學生是否真正掌握、深刻理解消元思想，因為沒有見到有質量的對話與展示，難以評價．

教學環節（四） 完善生成“結構化板書”

教師根據本課所學，將主要內容和黑板上已形成的部分內容進行關聯、轉化，形成如圖2所示的結構化板書，成為結課階段一個教學亮點．

圖2

二、評課與商榷

教學研究的經典話題一般是“教什么”“教誰”“怎么教”．這些我們熟悉的教研觀點被國外包裝為所謂的PCK理論，再經由國內一些數學教育專家學者的推介，成為目前引發關注的MPCK研究．事實上，通俗來說，就是教學內容，對學情的研判，如何組織教學．以下就圍繞這三個方面，對上面的課例進行評析與商榷．

1.學材再建構的前提是深刻理解教學內容

這里所指的“深刻理解”就是被鄭毓信教授反復推介的旅美數學教育研究者馬立平博士在名著《小學數學的掌握與教學》中提及的“深刻理解”，即追求數學知識的深度、廣度與貫通度．以二元一次方程組為例，消元求解二元一次方程組當然是全章核心內容，但是二元一次方程（組）的定義，它的相關概念如二元一次方程（組）的解，如何驗證一組數對是否為某二元一次方程的解也是十分重要的準備知識．不可像上文課例中一樣，“一帶而過”．事實上“精彩是不容錯過的”，比如，師生在得出二元一次方程的定義之后，可聯系、類比一元一次方程的定義、一般形式（形如ax＋b=0，其中a≠0），給出二元一次方程的一般形式ax＋by=c（其中a、b、c為常數，且a、b不能為0），二元一次方程組的一般形式c、m、n、k為常數）．也許有老師說，教材上都沒有給出它們的一般形式，為什么一定要補充？這就需要我們想清這類一般形式在整個數式、方程學習征途中的前后一致性．學生以后會學習一次函數的一般形式、一元二次方程的一般形式、二次函數的一般形式，在七年級是有必要或值得向學生補充這些簡單方程或方程組的“一般形式”的．

2.基于學情，適合的教學內容才是好的

如上所述，單元教學是基于深刻理解數學知識的前后一致、邏輯連貫而預設的，但在具體教學實施時，還需要考慮和研判學情，不能將課前的所有預設全盤托出，“完成所有課前預設”的教學是糟糕的，因為心中只有教學設計，而沒有了學生和學情的觀察與研判．這樣來看，課前的預設要盡可能采取開放式教學的問題設計，比如，安排讓學生討論二元一次方程組的解法時，就需要一些十分簡單的二元一次方程組，以便學生能從不同角度快速消元、轉化成功，而不宜在起始課就給出復雜形式的二元一次方程組，也不宜一下子推出多個二元一次方程組安排學生來求解，因為本課主要任務是生成新知、定義新知、理解新知、運用新知，而新知的重點內容體現了二元一次方程及解的概念、二元一次方程組及解的概念，學生理解“公共解”的意義，并能分析一組有序數組是否為方程組的公共解．可見，在上文課例中給出兩組用消元法解二元一次方程組的習題是超量的，使得教學主題發生偏離，需要刪減，將更多的教學時間讓位于前面概念的歸納與理解鞏固．

3.預設開放教學，相機停留與推進學程

南京大學哲學系鄭毓信教授倡導“從開放題走向開放式教學”，在一線教學實踐中并沒有得到太多的關注，原因是多方面的．筆者認為，開放式教學之所以難在一線教師中推廣，與當前“習題單”式的導學案營造的教學生態有很大關系，這類導學案習題量大，數學課堂被大量、密集的習題占據，教師也就不可能有開放式教學．二是，開放式教學需要教師展開追問與即時評價，而這些都對教師專業基本功提出了很高的要求．但是，我們并不能因為難就放棄開放教學的追求與努力，而應該作為心向往之的努力目標．具體來說，開放式教學所設計的問題需要精心準備、打磨，比如，安排學生探究二元一次方程的解時，可以先充分放開探究任意數組，只要滿足方程的等式成立，然后限制到考慮正整數解，這樣符合要求的有序數對就很有限了，便于學生很快發現，而且教師也能充分駕馭、即時點評、跟進追問、引導學生互評．

三、寫在后面

單元教學是當前教研熱點，但是教學研究并不是簡單的“蹭熱點”，而要真正靜心閱讀與實踐反思（相關建議可參閱鄭毓信教授的文獻［3］），想清單元教學的課前用力點何在，如何基于理解數學、理解學情、理解教學來優化教學設計，真正讓課堂簡約起來、開放起來，是值得我們認真思考的.當然，所有的努力都會指向我們的專業基本功的精進與發展．