再談垂徑定理及其應用

☉湖北省武漢市第三十中學 程 艷

初中九年級的學生在七、八年級時已經學習了軸對稱圖形的有關概念和性質，也學習了等腰三角形的對稱性和三角形全等的知識，本節課，要求學生在理解弧、弦的概念和了解等圓、等弧的概念的基礎上，準確理解、掌握垂徑定理及其推論，會進行相關計算，并會運用垂徑定理及其推論解決現實生活中的問題，提升學生分析、探索和證明的能力.

課前準備好三角板、圓規等部分教具、自制課件和個人電腦.以下是垂徑定理的應用這節課的課堂實錄.

師：今天我們復習圓的垂徑定理及其應用！請問，圓的重要性質是什么？

生1：圓既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.

師：根據圓的軸對稱，可得圓的垂徑定理，什么是垂徑定理？

生2：在圓中，垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.

教師畫圖示意.

師：垂徑定理有哪些推論？

生3：推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

生4：推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.

師：垂徑定理還有哪些推論？請舉手回答！

生5：推論3：平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.還有推論4：圓的兩條平行弦所夾的弧相等.

師：同學們在學習垂徑定理時會碰到平分弦、優弧和劣弧，垂直于弦，過圓心等具體條件，如何有效進行推理？

師：在下列5個條件中，只要具備其中任意兩個作為條件，就可以推出其他三個結論.簡稱為知二推三.

（1）平分弦所對的優弧；

（2）平分弦所對的劣弧；（前兩條合起來就是：平分弦所對的兩條弧）；

（3）平分弦（不是直徑）；

（4）垂直于弦；

（5）過圓心.

師：垂徑定理是初中數學的重要內容，同學們必須理解圓的軸對稱性和垂徑定理及其推論，初三數學學習中，掌握垂徑定理，并能應用垂徑定理及其推論進行有關計算和證明，是解決和圓有關的問題的關鍵.

垂徑定理主要用來解決長度、角度、范圍等問題，下面通過幾個例子進行逐一體會：

一、垂徑定理的簡單運用

例1 （2018·湖南張家界）如圖1，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，OC=5cm，CD=8cm，則AE=（ ）.

A.8cm B．5cm C．3cm D．2cm

則AE=AO+OE=5+3=8（cm）.

故選A.

圖1

圖2

例2 （2016·廣西百色）如圖2，⊙O的直徑AB過弦CD的中點E，若∠C=25°，則∠D=______.

生：由∠C=25°，得∠A=∠C=25°.

由⊙O的直徑AB過弦CD的中點E，得AB⊥CD.

則∠AED=90°.

則∠D=90°-25°=65°.

故答案為65°.

二、利用垂徑定理解決長度問題

例3 （2017·浙江金華）如圖3，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為（ ）.

A.10cm B.16cm C.24cm D.26cm

生：由OB=13cm，CD=8cm，得OD=5cm.

則AB=2BD=24（cm）.

答案為C.

師：本題中沒有給出垂徑定理的條件，但我們可以通過作輔助線作出垂直于弦的直徑，從而利用其平分弦及垂直產生的直角，借助勾股定理求出線段長度.

圖3

圖4

例4 （2013·浙江嘉興）如圖4，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EC.若AB=8，CD=2，則EC的長為（ ）.

師：觀察題中是否有垂徑定理模型.

生：OD垂直平分AB.

師：由垂徑定理可以得到哪些量？

生：AC=4，CD=2.

師：求解線段CE的長，利用勾股定理必須構建直角三角形，如何構建直角三角形？

生：連接EB，則由直徑所對圓周角是直角可知△EBC為直角三角形，由EB=2OC，BC=4，可求EC.

師：說說你的解題過程.

生：由⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，AB=8，得AC=AB=4.

設⊙O的半徑為r.

則OC=r-2.

在Rt△AOC中，AC=4，OC=r-2，OA2=AC2+OC2.

則r2=42+（r-2）2，解得r=5.

則AE=2r=10.

連接BE.

圖5

由AE是⊙O的直徑，得∠ABE=90°.

故選D.

師：解決求線段長的問題時，要充分挖掘題中條件，合理構建直角三角形，借助勾股定理求線段長.本題根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

三、利用垂徑定理解決角度問題

例5 （2018·山東菏澤）如圖6，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC=32°，則∠OBA等于（ ）.

A．64° B．58° C．32° D．26°

圖6

生：如圖7.

∠2=2∠1=2×32°=64°.

則∠3=64°.

在Rt△OBE中，∠OEB=90°，則∠B=90°-∠3=90°-64°=26°.

故選D.

師：此題考查垂徑定理與圓周角定理.此題比較簡單，應注意掌握數形結合思想的應用.

例6 （2017·湖北襄陽）在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長分別為1和，則∠BAC的度數為______.

師：根據題中所給條件畫出適合的圖形，大家試著畫畫看

生1：如圖8.

圖8

圖9

師：大家認可這種圖形嗎？

生2：還可能是另一種情況，如圖9.

師：你是如何想到有這兩種位置關系的？

生3：將AC繞著點A試著旋轉一下就可以發現應該有多種情況.

師：非常好！下面請大家試著算算看.

生4：按照圖10的解法：

生5：如圖11，當點O在∠BAC的外部時，∠BAC=60°-45°=15°.

圖10

圖11

四、利用垂徑定理解決最值問題

例7 如圖12，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是線段BC上一個動點，以AD為直徑作⊙O分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，則線段EF長度的最小值為______.

圖12

圖13

師：由垂徑定理我們可以發現，圓的半徑、半弦長可以構成直角三角形，所以我們可以利用這個直角三角形求弦長，由垂線段的性質可知，當AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，如圖13，連接OE、OF，過O點作OH⊥EF，垂足為H.在△EOF中，∠EOF=120°，OE為半徑，EF=2EH=2OE·sin60°.要使EF最小，只需要OE最小.又2OE=AD，故當AD⊥BC時，AD最小，所以可求.

例8 （2015·泰興市二模）如圖14，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動（點C、D與點A、B不重合），M是CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P，若CD=3，AB=8，PM=a，則a的最大值是______.

圖14

圖15

圖16

生1：連接OM、OC，推出PM=OC，求出OC的長即可.

連接CO、MO，根據∠CPO=∠CMO=90°，所以C、M、O、P四點共圓，且CO為直徑.設CO的中點為E，則PM為⊙E的一條弦，當PM為直徑時PM最大，所以PM=CO=4時PM最大.即PMmax=4.

生2：延長CP交⊙O于點E，根據垂徑定理，得P是弦CE的中點.又M是CD的中點，連接ED，則PM為⊙O的弦長ED的一半.當ED為直徑時，PM的長最大，最大為直徑AB的一半，則PM的長度的最大值為4.

師：本節課主要講述了垂徑定理的基本內容和垂徑定理的應用.

在解決角度、長度等問題的過程中，往往需要借助圓的切線的性質，平行線的性質和判定，勾股定理，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關系，能靈活運用這些知識點進行推理是解題的基本途徑，大家今后在解決圓的相關問題時，要注意綜合利用題設條件，合理運用垂徑定理.F