中學生數學演繹推理形式的校際表現研究＊

郝連明

一、問題提出

中學階段是從形象思維過渡到抽象思維的關鍵時期，所以要尤為重視對學生推理能力，特別是演繹推理能力的培養。數學推理是數學教育中的重要內容，剛剛公布的高中數學課程標準的六個數學核心素養就包括邏輯推理，其中邏輯推理分為演繹推理和歸納推理。[1]這也表明數學是培養學生推理能力的重要載體。有關數學推理的研究有很多，早在20世紀我國學者在探討數學三大能力時就開始了相關研究。根據他們對國內文獻的梳理，邏輯推理的研究主要集中在內涵結構、教學、現狀、教材、課程等幾個主要方面。[2]在現狀調查中，學者們普遍從小學、初中、高中三個階段開展研究，了解學生在數學推理上的表現情況。一些研究表明，初中階段的八年級是培養推理能力的重要時期，高二年級是高中階段的重要時期。[3][4]有學者在具體結論分析中發現男生表現比女生更優異，[5]也有學者不支持這種觀點，認為不存在明顯的性別差異。[6]在學校類型的對比中，一些研究表明存在明顯的地域差異，城市學校的學生表現明顯好于農村學校的學生，但也有學者不支持這一結論。[7]在對主要結論的簡要梳理中發現，學者們對數學推理開展了很多研究，但是沒有形成統一的結論。究其原因，主要是實證研究中受多種因素的影響，而諸多變量中任何一個都可能導致結果的不一致。研究中學者們往往使用不同的測試工具，構建了不同的測試框架，采用了不同的統計技術和分析軟件。另外，參與測試的學生群體也可能不同，優質學校學生會好于普通學校學生，樣本的選擇沒有代表性也會影響測試的結果。同時，學者自身對推理的認識也會產生差異。數學推理素養、數學推理能力、演繹推理、數學證明等核心概念的不同認知，也會造成測試內容的不同。如果不控制更多的變量因素，一定會造成結果不一致。因此，在研究中需要更進一步地設計研究框架，盡可能地控制其他變量的干擾。基于現有的研究發現，僅關注學生在數學演繹推理上的校際差異表現較少，一些現狀調查研究并沒有報告不同水平學校之間的差異，而且較少有單獨報告學生在數學演繹推理形式上的表現情況。因此，基于對數學演繹推理形式的認識，本研究將開展針對不同學校的測試研究。

二、構建測評框架

本研究主要是調查不同學校學生在數學演繹推理形式上的表現情況。因此，構建測評框架成為首要任務，只有構建了測評框架，才能進行工具開發、測試、數據分析等工作，進而根據數據分析結果得出結論。

很多關于數學演繹推理的測試和研究都基于形式邏輯學的分類進行，數學有自身獨特的學科特點和發展路徑。因此，數學演繹推理的研究要基于數學學科本身的角度進行分析。一些學者雖然從數學本身關注了推理的研究，但容易將數學證明等同于數學演繹推理，雖然二者表現形式一致，但卻有差別，不能等同視之。例如，在英國一項有關數學證明的調查中發現，很多學生在構建證明時很少使用演繹推理。[8]因此，本研究將構建新的測試框架來考察演繹推理的形式表現。史寧中教授指出，論證依靠的是公理，推理依靠的是形式，[9]即推理過程實質是一個對形式規則應用的過程。

通過對文獻的梳理發現，史寧中教授從數學學科本身角度詳細說明了數學推理的幾種不同類型。他認為數學推理是有邏輯的推理，其中的邏輯性是指推理過程滿足傳遞性。通過基于數學知識的發展過程，認為數學推理存在兩種類型，一是性質傳遞推理，二是關系傳遞推理。

基于這樣的認識，在本研究中將數學推理形式分為三個類型：三段論、關系、運算。其中每一個維度又劃分了多個子維度。具體測評框架如下：

三、研究設計

（一）研究對象

通過對已有研究的梳理發現，很多學者都指出初中階段的八年級是最關鍵的時期。例如，德國在一項的測試研究中，發現八年級學生的推理能力提升最明顯。[11]我國的初中階段，八年級剛開始講授證明，學生的初中學習也進入一個相對穩定的時期。因此，本研究選擇了八年級學生進行測評，具體測試學生為剛剛升入九年級的學生，確保學習了完整的八年級知識。學生用的人教版教材，學生來自吉林省某地級市3所學校。根據整體抽樣方法，3所學校代表不同層級教學水平，其中學校1最好，學校2居中，學校3較弱。

（二）研究工具

在測試工具開發中研究者與多位數學教育工作者進行了商討，經過幾輪修訂最終形成了數學演繹推理形式測試問卷。由于本研究的目的是測試學生在演繹推理形式方面的表現情況，因此，在測試工具的開發中盡可能地控制了數學知識對測試結果的影響，工具中盡可能通過簡單符號、語言來表述，規避數學知識帶來的認識負荷。最后經過可靠性檢測，問卷系數為0.727。雖然從信度的數值來看不高，但是在測試內容上已經能夠達到測試的要求，具有較好的專家效度。測量學的數值指標只是更好地實現測試目的，但是測試的目的并不是為了構建好的測量學指標。經過最后的修訂形成了數學演繹推理形式測試量表。實際測試中共發放問卷230份，回收230份。經過有效性篩選，剔除部分無效問卷后獲得224份有效問卷，問卷結果采用SPSS20.0軟件進行分析。

四、結果及分析

（一）關系推理結果表現分析

關系推理總體學校1學校2學校3 min 1 1.2 1 1.2 max 2 2 2 2 std 0.24 0.15 0.2 0.26 mean 1.82 1.92 1.9 1.72 p（男，女）0.98 0.43 0.23 0.62

從上表中可以看出，學生在關系推理上表現較好。總計5道測試題，滿分為2分，學生的平均分達到1.82。其中有119名學生滿分，占比53.1%。不同學校學生之間存在一定差異，其中學校1和學校2表現較好，學校3表現較弱。通過單因素方差分析發現，這種差異達到了統計學上的顯著性，其中P（校1，校2）=0.50>0.01，而P（校1，校3）=0.00<0.01，P（校2，校3）=0.00<0.01。這表明在關系推理方面學校之間存在差異，低水平學校學生表現明顯弱于高水平和中等水平學校學生，而高水平和中等水平學校學生之間不存在差異。從性別角度看，整體上男生和女生之間不存在顯著性差異。進一步從學校層面看，不同學校都不存在性別差異，P值都大于0.05，從一個側面得出男女生在關系推理方面掌握較好。

（二）三段論推理結果表現分析

三段論推理總體學校1學校2學校3 min 1.2 1.35 1.4 1.2 max 1.95 1.9 1.95 1.95 std 0.16 0.13 0.14 0.16 mean 1.63 1.69 1.7 1.57 P（男，女）0.36 0.76 0.31 0.6

從上表看到，學生在滿分為2分的三段論推理形式測試中平均分為1.63，最高分為1.95，全部參測的學生中沒有能夠得到滿分。不同水平的學校表現與關系推理結果略有不同，中等水平的學校2表現最高，平均分達到1.70，學校3最弱，為1.57。通過方差分析發現，學校1和學校2之間的差異不具有顯著性，P（校1，校2）>0.01，但是P（校1，校3）<0.01，P（校2，校3）<0.01，表明學校1和學校2的表現明顯好于學校3，達到了顯著性差異。從性別角度分析，三所不同學校中，男女生的表現不具有顯著性差異，p值都大于0.05。在三段論推理的子維度中，不同性別學生在假言三段論、直言三段論、選言三段論上也不具有差異性。子維度表現上，學生在直言三段論和選言三段論表現較好，假言三段論表現一般，事實上幾乎所有的數學定理都可以寫成假言三段論的形式。例如，三角形內角和等于180°，可改寫為“如果一個圖形是三角形，那么這個三角形內角和等于180°。”可見，假言三段論對學生掌握數學知識，應用知識進行問題解決是至關重要的。在三段論題中，學生假言三段論題的平均分僅為1.61，試題為“如果成立，則成立。若成立，則一定成立。”對于這個命題進行判斷。很多學生在該題做出了錯誤判斷，認為一定成立。事實上根據這個前提只能嚴謹的說成立時，成立，而成立時是無法得出是否一定成立。如果加入數學知識進行思考，可以轉化為“前提：平行四邊形一組對邊平行，結論：一組對邊平行的四邊形是平行四邊形”。顯然這個結論是錯誤的，該圖形可能是梯形。由此可見，推理的規則隱藏在數學知識的推導中，教學中對各種知識的證明和推導可以有意識地滲透推理形式。

（三）數學運算結果表現分析

數學運算總體學校1學校2學校3 min 1.2 1.3 1.2 1.2 max 2 2 2 2 std 0.21 0.15 0.19 0.2 mean 1.71 1.82 1.8 1.61 P（男，女）0.52 0.54 0.6 0.16

從上表看出，學生在滿分為2分的數學運算上平均分為1.71，學校之間的差異明顯。學校1和學校2表現明顯好于學校3。通過方差分析發現，P（校1，校2）>0.01，但是P（校1，校3）<0.01，P（校2，校3）<0.01，表明學校1和學校2之間不具有顯著性差異，學校3與學校1和學校2之間都具有顯著性差異。從性別角度看，男女生在數學運算上都不具有顯著性差異，p值都大于0.05。數學運算推理不同于關系推理和三段論，以往的很多數學演繹推理研究中并沒有加入數學運算。本研究基于數學推理角度出發，將數學運算納入測試框架中。從結果看出學生在數學運算表現較好，其中四個子維度差異不大，運算公式上表現略好。

五、研究啟示與不足

（一）關注不同學校之間的差異

通過對演繹推理形式不同維度測試結果的分析，3所不同學校學生之間的差異較為明顯。其中高水平學校和中等學校學生沒有表現出明顯差異，但二者與低水平學校之間有明顯差異，低水平學校學生的表現明顯低于前者。雖然在很多學業成績的測試，以及數學能力的測試中都反映出學校之間的差異，城市學校和優質學校的學生表現要好于其他學校，但并沒有研究表明這種差異在演繹推理形式上也存在。本研究結果表明這種校際之間的差異在數學演繹推理形式層面也同樣存在。因此，要關注不同學校層面學生數學演繹推理形式的差異情況，并針對這種情況開展更為深入的研究工作。

（二）關注不同形式推理的教學情況

通過本研究的測試結果發現，學生在關系推理上表現相對較好，但三段論和數學運算方面表現一般。三段論推理包含多個類型，其中假言三段論的形式較多，也不容易理解。前提和結論的肯定和否定容易使學生做出錯誤判斷。由于幾乎所有的數學定理都可以通過假言三段論的形式表現出來，所以三段論推理形式的學習顯得尤為重要。因此，從推理的教學角度看，在課堂教學中對于不同推理形式要有一定的側重，特別是三段論推理要重點強調，通過多種方式提高學生的應用能力。

（三）拓展性別差異的原因

本研究發現男生和女生并沒有出現預期的差異，在所有測試中，一級維度和二級維度都沒有呈現出顯著性的性別差異。這種情況可能是由于測試樣本量較小所導致，但是排除此種因素，推測出八年級學生的推理差異并不是由推理形式上的差異所導致，應該有更復雜的原因，如知識的掌握程度、家庭環境、個人興趣等因素。因此，對性別差異的研究要更大范圍的去討論，不能僅僅停留在所研究的變量本身。

數學演繹推理是數學教育的重要研究領域，也是一種非常重要的數學能力，關注數學演繹推理的表現對開展教學研究具有重要的參考價值。雖然本研究存在一些不足，如測試樣本數量較小，測試工具的信效度還有待進一步檢驗，但是一些測試結果有助于我們開展有關數學演繹推理形式的深入研究。