提高學生“圓”部分審題能力的策略探究

張愛群

[摘? 要] 圓部分問題除了題干給出的條件外，圖形中還包含了較多的隱含條件，這就要求學生在審題的過程中兩者兼顧. 文章列舉了解決圓問題的兩種解題策略，并結合實例做了審題分析，為學生審題能力的培養提供參考依據.

[關鍵詞] 圓;審題能力;策略探究

平面幾何是初中數學教學的重要組成部分，它對學生的抽象思維有一定的要求，很多學生在平面幾何面前存在較為強烈的畏懼情緒. 在平面幾何部分的內容中，圓作為該部分的教學重點和難點，出題角度較為靈活，涵蓋的知識面較為廣泛，是教師教學關注的熱點問題，很多學生在該類問題屢屢出錯，其主要原因就是審題不清. 在初中數學教學中，為了提高學生數學應試能力，教師往往會采用題海戰術，有的還會總結綜藝類問題的解題方法和技巧，但在“圓”部分的解題中，有些學生還是大量出錯，這就是沒有注重學生在“圓”部分審題能力的培養. 審題是學生在解決數學問題時的第一步，想要準確解答數學問題，審清題意是關鍵.

去粗取精策略

很多“圓”部分的數學問題并不是精練準確的，它們給出的信息含量較大. 此外，除了題目中給出的已知條件外，受圓自身特點的影響，其圖形自身也含有大量的蘊含信息，這就需要學生從復雜的題干中提取有用的解題信息. 如果學生在審題過程中不能夠準確把握這些信息，厘清這些信息，就會陷入解題困境，導致解題出錯. 因此，在審題過程中，去粗取精，尋找關鍵信息是培養學生審題能力的基礎.

例1? 如圖1，圓O的半徑為5，AB，CD分別是圓O的兩條弦，其中AB=8，CD=6，MN是圓O的直徑，AB⊥MN交MN于點E，CD⊥MN交MN于點F，P為EF上的任意一點，那么PA+PC的最小值是多少？

審題分析：題目中“P為EF上的任意一點，那么PA+PC的最小值是多少”成為一個動點問題，無形之中給題目增加了難度. 學生在審題的過程中會發現，題干中幾乎所有的信息都是圍繞AB和CD來展開的，但是依然需要學生去抓住解題的關鍵信息“MN是圓O的直徑，AB⊥MN，CD⊥MN”，這時就可以根據圓自身的對稱性的特點得出PC=PD，那么原題就可以轉變為求PA+PD最小值的問題了，這樣就可以順利求解.

例2? 如圖2，圓O的直徑AB=6，E，F將AB分成三等份，M，N是弧AB上的兩點，且∠MEB=∠NFB=60°，那么EM+FN是多少？

審題分析：題干中僅通過“E，F將AB分成三等份，∠MEB=∠NFB=60°”去求EM+FN的值難度較大. 通過“E，F將AB分成三等份”這一條件就可以得出OE=OF， 又由∠MEB=∠NFB=60°就可以推出EM∥FN，這是解決這一問題的首要關鍵點. 然后，根據圓的對稱性延長ME到點P，那么PE=FN，于是就將求EM+FN的問題轉化為求PM的問題，題目就顯得非常簡單了. 如果學生在解題過程中，只是關注題目的表面信息，做不到去粗取精，那么整個題目的解題過程就會非常煩瑣，甚至出現錯誤. 由此可見，審清題意在解題過程中非常關鍵.

例3? 如圖3，在圓O中，P是弦AB上一點，連接OP，并作PC⊥OP，點C落在圓O上，如果AP=8，PB=2，那么PC多長？

審題分析：該問題的題干信息相對較為簡潔，如果因此粗心大意，不能夠做到去粗取精也是難以找到問題的突破口. 題目要求PC的長度，但是題干給出的信息只有PC⊥OP，AP=8，PB=2，這就顯得有些困難. 如果學生能夠準確理解PC⊥OP這一關鍵信息，就可以非常容易地完成求解. 延長CP交圓O于點M，根據垂徑定理就可以得知MP=PC. 又因為MC和AB是兩條相交弦，根據相交弦定理就可以輕易地求出PC的長度. 在這一類題目中，圓的垂徑定理是解題的重要突破口，但是題目中很少能夠直接提示學生，這就需要學生能夠去粗取精提取題目中的關鍵信息，審清題目.

審題過程中，學生如果能夠做到去粗取精抓住關鍵信息，這不僅能夠幫助學生完成審題，還能夠拓展學生的解題思維，能夠發現解題的新角度. 通過對關鍵信息的分析，能夠有效地降低題目的難度，給學生提供更加便捷的解題思路.

等價變換策略

能夠對數學問題中的不同語言進行靈活轉化是學生審題的基本技能，在審題過程中，不僅要求學生能夠將題干中的文字語言轉化為數學語言，還要能夠對題目中的條件進行等價轉換. 尤其是在圓部分的問題審題中，要能夠透過圖形，翻譯里面的集合信息，結合題干中的已知信息進行等價交換，這樣才能夠準確地把握考查點，順利完成審題.

例4? 如圖4，在圓O上的四點A，B，C，D，弧AB等于弧BD，BM⊥AC交AC于點M. 求證：AM=DC+CM.

審題分析：通過題目的分析我們可以看出如果要證明AM=DC+CM，題干中的已知條件就顯得比較少，很難找到問題解決的突破口. 結合圖形我們可以發現，要求的DC和CM不在一條直線上，要求不在一條直線上的兩條線段相加難度較大，我們可以借助圓的特征將它加以轉化. 題目中弧AB等于弧BD，根據圓等弧對等弦和同弧對圓周角相等的性質，就可以得出∠BCA=∠BAD，BA=BD，這樣通過等量關系轉化就可以完成證明求解.

例5? 如圖5，在圓O中，A，B，C，D，E均是圓O上的點，并且AC為圓O的直徑， 求∠A+∠B+∠C的度數.

審題分析：拿著這個問題，很多學生會感覺無從下手，因為題干中并沒有出現角的度數，而問題的最終卻要求∠A+∠B+∠C的度數，這就需要學生能夠在題干中通過等價變換來尋找隱含的條件. 在圓部分的問題中，角在圓的求解和轉化中運用較為廣泛，題目中要求∠A+∠B+∠C的度數，通過弧與角的對應關系，就可以將要求的角的問題轉化為弧的問題，∠A+∠B+∠C對應的角就是圓弧AC對應的圓周角，于是就可以求出∠A+∠B+∠C的度數.

例6? 如圖6，在圓O中有內接四邊形ABCD，其中四邊形的對角線BD平分AC于點E. 求證：= .

審題分析：題目中要求證明=，我們在幾何證明題里很少看見證明兩個數量關系相除的問題，我們可以先將它們進行轉化，變成等積的形式AB·AD=BC·CD. 題目中已知BD將四邊形ABCD分為了兩個內接三角形，我們就可以向圓內接三角形的性質靠攏. 分別作AF⊥BD交BD于F，CG⊥ BD交BD于點G，那么就將求證=的問題轉化為求證AF·d=CG·d的問題，于是解決該問題的關鍵就是要證明AF=CG. 結合題目中的已知條件，利用全等三角形的性質就可以求出AF=CG. 在該題中，通過對相關信息的兩次等價變換將證明線段相除的問題轉化為證明線段相等的問題，降低了題目的難度，為學生問題解答提供了便利.

圓作為一種特殊的圖形，其內包含多種性質，在審題的時候不僅要閱讀題干信息，還要了解圓圖形中包含的信息，并且這些信息之間需要靈活的轉換，這就要求學生對問題中的信息進行等價轉換. 在關于圓的證明里邊，角應用得最為廣泛，圓中角的靈活性非常強，例如，圓心角和圓周角之間，已知其中一個角就可以求出另一個角;根據同弧或等弧對應的圓周角相等的性質，可以在圓上移動對應的頂點，探究問題的解決方法.

小結

審題是做題的前提和基礎，是培養學生解題能力的關鍵，一個學生如果審題能力較強，那么就能夠順利讀懂題意，就能夠制定出正確的解題計劃;如果學生審題能力較差，解決數學問題更是天方夜譚. 因此，在圓部分的教學中，除了教授學生必要的知識和技能以外，還要有意識地培養學生的審題能力，進而提高他們的解題能力.