基于整體觀念的單元復習課設計

童衛華

[摘? 要] 從單元整體出發設計出學習資源豐富，思路清晰的教學問題，有利于學生加深對知識、技能、方法的理解和掌握，有利于學生完善認知結構，提升解決問題的能力，有利于滿足不同學生對數學學習的不同需求.

[關鍵詞] 整體觀念;復習課

“復習課難上！”這是許多教師發出的感嘆. 怎樣有效地進行復習，讓學生輕松、愉悅地對知識進行整理，使之系統化、條理化，同時掌握解決某類問題的數學方法或思維方式，是老師們要經常思考的問題. 下面筆者就以浙教版七年級下冊“二元一次方程組”單元復習為例，探討單元復習課設計.

教學目標

1. 通過復習，進一步了解二元一次方程（組）的概念，理解二元一次方程解的不唯一性.

2. 能用合適的方法解二元一次方程組，體會轉化思想.

3. 通過解決實際問題，培養學生獨立思考與合作交流能力，提升學生的核心素養.

教學重點難點

1. 重點：運用合適的方法解二元一次方程組.

2. 難點：利用方程組解決實際問題.

教學過程設計

活動1：回故舊知

1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ? ? ）

A. 3x-2y=4z? ? B. 6xy+9=0

C. +4y=6 D. 4x=

2. 下列各組方程是二元一次方程組的是（ ? ? ）

A. xy=2

x-2y=-2 ? ?B. x=2

x-2y=-2

C. x-y=2

x+y2=-2 ? ? D. xy=2

x-2y=-2

3.下列各組數據不是方程x+3y=9的解的是（ ? ? ）

A. x=3

y=2 ? ? ? ? B.x=5

y=

C. x=6

y=1 ? ? ? ? ?D. x=4

y=2

4. 二元一次方程組2x+y=5，

x-y=1 的解是（ ? ? ）

A. x=-1

y=2? ? ? B. x=1

y=-2

C. x=2

y=1 ? ? ? ? D. x=1

y=2

5. 關于x，y的方程組x+cxy=2，

xa+2-（b-4）

yb-3 =-2是二元一次方程組，則a-b+2c=______.

6. 用合適的方法解下列方程.

①x=2-3y，

3x+5y=2; ? ? ②3x-2y=7，

5x+2y=1.

設計說明? （1）通過6個小題系統地梳理本單元的基本概念：二元一次方程、二元一次方程組、二元一次方程的解、二元一次方程組的解，以及怎樣解二元一次方程組，有利于學生從整體上把握本單元的基本內容、基本方法.

（2）通過學生的交流，力圖使學生更清晰地認識二元一次方程解的特點：有無數多組. 一般的二元一次方程組的解只有一組，是通過消元法來解，體現了數學的轉化思想，變二元為一元，化未知為已知. 具體的解法依賴于方程中系數的特點，以及方程的結構特點. 并為后續的學習做好鋪墊，可以用類比的方法解決三元一次方程（組）的問題.

（3）習題5的設計目的，從形式上看是初中學生最“怕”的題目，“關于x，y的方程”，以及初二、初三“關于x的函數”等，怕的原因：學生雖然學習了用字母表示數，對字母的含義有所了解、體會，但真正接受字母，理解字母的意義還存在一定的偏差，不完善、不深刻. 初中學生（尤其是初一學生）的思維以具體形象思維為主，在方程（組）中表現為：具體的、數字系數的方程能理解、能計算，但在方程中包含了字母系數，或者多了一個參數時，往往就比較迷茫，處理起來就比較困難. 通過類比習題2，明確未知數的次數為1，一次項的系數不為零，這點在y的系數和次數上表現尤為明顯. 一方面，讓學生形成類比的學習思路;第二方面，通過解題對二元一次方程組的概念有更進一步的認識，達到概念的精致;第三方面，為今后的學習提供了解題經驗.

活動2：方法提升

解方程組：5x+6y=12，

6x+5y=21.

師：觀察方程的系數有什么特點？你打算用什么方法來解題？

生1：沒有一個未知數的系數為1，或者-1，用代入消元法解不方便，

生2：未知數的系數也不成倍數關系，用加減消元法也不方便.

師：那該怎么辦？

生3：未知數的系數有新的特點，x，y的系數好像對調了下.

很多同學比較茫然.

師：這位同學，你能說詳細點嗎？

生3：第一個方程的系數為5和6，第二個方程的系數為6和5，系數交換了位置.

生4：我把兩個方程相加得到了11x+11y=33，然后兩邊同時除以11得到了x+y=3，然后和第一個方程組成一個新的方程組x+y=3，

5x+6y=12， 解這個方程組就比較方便.

師：很好，大家還有別的想法嗎？

生5：我把兩個方程相減得到了x-y=9，然后和第一個方程組成一個新的方程組x-y=9，

5x+6y=12，解這個方程組同樣比較方便.

生6：我把剛才這兩位同學的想法綜合了一下，把原方程組中的兩個方程相加和相減，得到了新方程組x+y=3，

x-y=9， 這個方程組的解一眼就能看出是x=6，

y=-3.

師：太精彩了，當初我們把兩個方程相加（或相減）的目的是為了消去一個未知數，得到一個一元一次方程，從而解出這個方程組. 現在我們把這兩個方程相加（或相減），得到x+y=3，x-y=9，我們把x+y，x-y看成一個整體，這種想法稱為整體思想. 請大家按照這樣的想法來完成以下練習：

1. 解方程組（2選1）.

（1）x+y=3，

y+z=6，

z+x=9; ? ?（2）x+2y+z=12，

x+y+2z=18，

2x+y+z=24.

2. 已知二元一次方程組2x+3y=5，

x+4y=3， 則3x+7y=_____，2016-x+y=____.

設計說明? 通過對一個對稱方程組的解法的交流，從觀察方程的系數特點出發，引起認知沖突，激發學習興趣. 把兩個方程相加（相減）的目的從消元化“簡”，化二元為一元，從而可解方程，拓展提升為得到一個新的二元一次方程，而這個新方程的系數相對“簡單”，用這個新的方程和原方程組中的方程組成方程組，或者把新得到的方程的左邊看成一個整體，用整體代入的方法解決問題. 加減消元的目的是為了化“簡”，化難為易，這個“易”可以是只有一個未知數，也可以是一個相對簡單的等式，豐富學生的認知，拓寬了“加減消元”的內涵，提升學生的思維品質.

活動3：實際應用

有甲、乙、丙3種商品，某人購甲3件，乙7件，丙1件，共需24元;若購甲4件，乙10件，丙1件，共需33元，則此人購甲、乙、丙各1件，共需_____元.

學生順利地將問題轉化成了方程組3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， 則x+y+z=_____.

但在解方程組時遇到了問題，過了好一會兒才有學生回答，我好像有辦法了.

生1：我是先消元，將方程轉化成x+3y=9，通過解這個二元一次方程得到方程的一組解是x=6，

y=1， 再把這個解代回原方程，解得z=-1，從而得到x+y+z=6. 但是這個方程組中z=-1不符合實際.

師：很好，用特殊值法解題，的確不一定是問題的解，誰有辦法完善一下解法呢？

生2：可以嘗試幾個數字試試.

師：那好，我們分別假設y=1，y=2，y=3……然后解方程，看看x+y+z=6是否仍然成立？

幾分鐘后教室里出現了興奮的聲音：“我做出來了！”“我也做出來了！”“x+y+z=6仍然成立. ”

師：太好了，我們通過假設y為一個確定的數時，通過解方程，雖然x，z的值發生了變化，但x+y+z的值始終不變，你們能說明這個“事實”的正確性嗎？

生3：把x+3y=9中的3y移到方程的右邊，得到x=9-3y③，然后把③代入方程①.

同學們聽了提示后，趕緊計算起來，不久就有興奮的聲音傳來：“我知道了.”

生4：方程的解為x=9-3y，

z=2y-3， 從而得到x+y+z=（9-3y）+y+（2y-3）=6.

師：同學們，你們真是太厲害了，通過消元法，成功地將三元一次方程組（不完整），轉化為一個二元一次方程，然后通過假設y為一個確定的數時，猜測得到了x+y+z的值為定值，最后通過將y一般化，解出了方程組，說明了x+y+z為定值的正確性. 這題還有其他精彩的解法， 下面老師來介紹三種新的解法. 請同學仔細觀察老師的解題步驟，猜猜看，老師是怎么解這個方程的.

方法一：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， ②-①得x+3y=9③，把③代入①可得2（x+3y）+（x+y+z）=24④，解得x+y+z=6.

方法二：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②， 將方程組變形為2（x+3y）+（x+y+z）=24③，

3（x+3y）+（x+y+z）=33④， 解這個方程組得x+3y=9，

x+y+z=6， 即x+y+z=6.

方法三：3x+7y+z=24①，

4x+10y+z=33②，①×3-②×2得3（3x+7y+z）-2（4x+10y+z）=24×3-33×2，去括號，合并同類項得x+y+z=6.

設計說明? 通過一個實際問題，而且是不定方程的實際問題，落實了方程組的實際應用，體現了數學的實際應用價值. 通過探索這個不定方程的解，使學生進一步明確方程組解的結構，解的探索方法. 從特殊值y=1，y=2，y=3…的嘗試檢驗法，到一般解法（含待定字母）驗證解的正確性，體現了從特殊到一般，從具體到抽象，幫助學生加深對方程組解的理解，符合學生的認知規律. 通過學生欣賞教師的方程組新解法，激發了學有余力的同學學習數學的興趣，感受數學的結構美. 新的解題思路，蘊含著更深層次的數學思維，這將繼續鼓舞著學有余力的同學認真學習數學.

教學反思

1. 整節課以題組的形式呈現了本單元的基本知識，沒有單純地講概念. 在實際練習中鞏固了知識點，把基本知識習題化，精選習題，不疏漏、不重復，系統地梳理了本單元的基本知識，基本方法. 題題有目的、題題有深意，有利于學生對學習內容的整體把握，形成自己的認知結構. 同時通過關于對“關于x，y的方程”的探討，深刻理解了概念，同時也為后續的學習做好鋪墊.

2. 注重了習題之間的內在邏輯聯系，引發認知沖突，激發學習興趣. 通過師生對話，引導學生積極探索怎樣較方便地解方程組5x+6y=12，

6x+5y=21 的活動，促使學生的思維從單純地利用“加減法消元化簡”，提升到“加減法整體化簡”. 豐富了學生的認識，促使學生加深對知識、技能、方法的理解和掌握，從而滿足不同思維能力的學生的需求，完善學生的認知結構，并使其體會整體思想，提升了思維品質. 通過方程解法的探討，引導學生學習從方程的系數特點、問題的結構特點出發，找到比較簡潔的解法，培養學生靈活解題能力，并為今后學習整式乘法中的代數式求值、構造公式變形、因式分解中的整體思想做好了鋪墊.

3. 采用“問題情境——建立模型——解釋、應用”的模式展開活動3，向學生提供了現實、有趣、又富有挑戰性的學習素材. 再一次經歷了用嘗試檢驗法解決問題，在質疑中嘗試用字母y表示x和z，從而找到了方程組的通解，解答了問題. 在解題過程中，學生通過積極思維，掌握了獲取知識的過程和方法，完善了認知結構，提升了解決問題的能力. 教師的新的解題方法更關注了學生個性特征與水平差異，滿足了不同學生對數學學習的不同需求.