基于超絕熱捷徑技術快速制備超導三量子比特Greenberger-Horne-Zeilinger態*

于宛讓 計新

(延邊大學理學院物理系, 延吉 133002)

(2018 年 10 月 29 日收到; 2018 年 12 月 3 日收到修改稿)

本文提出了一個基于超絕熱捷徑技術快速制備超導三量子比特Greenberger-Horne-Zeilinger態的理論方案. 該方案首先在量子Zeno動力學的幫助下得到系統的有效哈密頓量, 之后通過引入與有效哈密頓量具有相同形式的反向導熱哈密頓量來構建絕熱捷徑, 加速了整個系統的演化過程. 該方案不需要初態和目標態之間的直接耦合, 在實驗上也更容易實現. 數值模擬結果表明該方案對超導量子比特的自發輻射、波導諧振腔的泄漏以及超導量子比特的退相位是魯棒的.

1 引 言

隨著量子信息學的發展, 糾纏態已經應用在許多前沿領域, 如量子隱形傳送、量子密鑰分配、量子安全直接通信等[1?3]. 其中一種著名的糾纏態就是 Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)態, 它提供了一種不使用貝爾不等式就可以驗證量子力學違背局域隱變量理論的可能性[4,5]. 迄今為止, 人們在不同的系統中制備了GHZ態, 這些系統包括離子系統[6]、光子系統[7]、原子系統[8]、超導系統[9]等.相比較而言, 超導系統的優勢在于它的可操控性,即通過調節電磁信號以及能級結構可以讓超導量子比特之間的耦合強度達到理想數值[10?12].

近幾年來, 在超導系統中人們應用了多種方法制備 GHZ 態. 2016 年, Wu 等[13]利用受激拉曼絕熱過程的方法制備了n量子比特GHZ態, 但是,受激拉曼絕熱過程的方法需要較長的演化時間來抑制非絕熱過程, 而長的演化時間勢必會對整個系統的消相干造成較大的影響. 為了解決絕熱過程演化緩慢的問題, 2017年Zhang等和Wu等分別用無躍遷量子驅動的方法[14]以及Lewis-Riesenfeld不變量的方法[15]在超導系統中制備了GHZ態. 然而, 這兩種方法在實驗上實現起來分別遇到了不同的挑戰. 無躍遷量子驅動的方法需要初態和目標態之間的直接耦合, 這在實際操作中是很難實現的;在Lewis-Riesenfeld不變量的方法中需要使用短時間截取的兩個簡諧脈沖, 在現有的實驗技術條件下是很難獲得這樣的脈沖的. 為了克服上述兩種方案中的不足之處, 本文提出基于超絕熱迭代相互作用的方法來制備GHZ態. 超絕熱迭代相互作用作為傳統絕熱近似的延伸第一次由Berry[16]介紹, 這里通過兩次迭代相互作用獲得超絕熱態作為演化路徑, 構建的反向導熱哈密頓量與利用量子Zeno動力學化簡后的哈密頓量具有相同的形式.與之前的兩種方案相比, 該方案的優點在于不需要初態和目標態之間的直接耦合, 并且該方案中所使用的驅動脈沖可以在曲線擬合的幫助下用兩個高斯型脈沖所替代, 這兩個優點極大地增加了該方案在實驗上實施的可行性. 數值模擬結果顯示制備的糾纏態保真度較高, 并且對于波導諧振腔的耗散、超導量子比特的自發輻射以及超導量子比特的退相位是魯棒的.

2 物理模型和有效動力學

如圖1所示, 三個超導量子比特與兩個共面的波導諧振腔(CPWRs)通過電容器相互耦合,三個超導量子比特具有相同的能級結構, 都具有一個激發態|e〉j, 兩個基態|L〉j和|R〉j(j=1,2,3 ).對于超導量子比特SQ1和超導量子比特SQ3,的躍遷分別由拉比頻率為的經典激光驅動.的躍 遷 與 CPWR1共 振 耦 合, 耦 合 強 度 為λL,的躍遷與CPWR2共振耦合, 耦合強度為λR. 在相互作用繪景下, 系統的總哈密頓量為 ( ? =1 )

圖1 制備超導三量子比特 GHZ 態的裝置圖Fig.1. Setup for generating GHZ state of three superconducting qubits.

根據量子Zeno動力學理論, 得到系統的有效哈密頓量為

3 基于超絕熱捷徑方法快速制備超導三量子比特GHZ態

Heff(t)的瞬時本征態也稱作絕熱本征態, 其形式 如下:

4 數值模擬

式中?0是高斯脈沖的振幅,tf是操作時間, 選定參數通過這兩個脈沖, 可以確定θ0(t) 和θ1(t) . 圖 2 給出了θ0(t) 和θ1(t) 隨時間變化的圖像, 可以看出對于任意的?0, 均滿足邊界條件但 是?0數 值 的 大 小對邊界條件的影響很大. 為了找到合適大小的?0, 圖3繪制了保真度隨?0變化的圖像, 可以看到當?0的取值在10—50之內時,均可獲得相對較高的目標態保真度, 但是考慮到量子 Zeno 條件又不能過大, 因為一旦不滿足量子Zeno條件, 系統在演化的過程中會經歷更多的耗散. 因此, 為了保證該方案的魯棒性,在接下來的討論中取為了進一步說明該方案的可行性, 在圖4中根據脈沖繪 制 出七 個 狀 態 的 布居轉移, 可以看出在時可以近乎完美地獲得GHZ態, 并且不包含在GHZ態中的其他狀態在整個演化過程中布居占有數很小. 因此, 本文提出的方案是有效的.

圖2 θ 0(t) 和 θ 1(t) 隨時間的變化情況Fig.2. Dependence on t of θ 0(t) and θ 1(t) .

接下來, 考慮超導量子比特的自發輻射、波導諧振腔的泄漏以及超導量子比特的退相位對整個系統的影響. 當考慮這些消相干的影響時, 整個系統的主方程可以表示為

圖3 保真度隨 ?0 的變化情況Fig.3. Dependence on ? 0 of fidelity ( λ =100tf-1 ).

圖4 量子態布局隨時間的變化Fig.4. Population versus

圖5(a)—(c)分別給出了保真度隨γ和κ的變化情況, 保真度隨γ和γ?的變化情況, 以及保真度隨κ和γ?的變化情況. 從圖 5 可以看出, 超導量子比特的自發輻射對系統的保真度幾乎沒有影響, 這主要是因為如圖4 所展現的, 在該方案中, 激發態在整個演化過程中的布居數幾乎為0; 與自發輻射相比, 波導諧振腔的泄漏對系統保真度的影響稍大, 但從圖5(a)和圖5(c)可以看出, 當κ從 0 變化到時, 系統的保真度變化很小, 所以該方案對波導諧振腔的泄漏也是魯棒的; 對比圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)三個圖可以看出,超導量子比特的退相位對系統的保真度影響最大,但即使當波導諧振腔的泄漏率且超導量子比特的退相位率時, 目標態保真度仍高達99.76%, 而在前面提到的通過無躍遷量子驅動的方法[14]和通過Lewis-Riesenfeld不變量的方法[15]制備 GHZ態中, 當時, 保真度分別為 0.922 和 0.87, 所以可以看出本文方案與之前的方案相比對于超導量子比特的退相位是更加魯棒的.

圖5 (a) γ 和 κ 對目標態保真度的影響; (b) γ ? 和 γ 對目標態保真度的影響; (c) κ 和 γ ? 對目標態保真度的影響Fig.5. (a) Denpendence on γ and κ of fidelity; (b) denpendence on γ and γ? of fidelity; (c) dependence on κ and γ? of fidelity.

5 結 論

在量子Zeno動力學的幫助下, 提出了一個實驗上可行的理論方案, 通過超絕熱捷徑技術快速制備超導三量子比特GHZ態. 與無躍遷量子驅動的方法和Lewis-Riesenfeld不變量的方法相比, 該方案的優點在于以超絕熱態作為演化路徑, 構建的反向導熱哈密頓量與利用量子Zeno動力學化簡后的哈密頓量具有相同的形式, 不需要初態與目標態之間的直接耦合, 并且所使用的驅動脈沖在曲線擬合的幫助下在實驗上可以用兩個高斯型脈沖所替代,這些優點極大地保證了該方案在實驗上實施的可行性. 數值模擬結果表明該方案對于超導量子比特的能量弛豫、波導諧振腔的泄漏以及超導量子比特的退相位是魯棒的.