化工類線性代數本質與幾何直覺培養教學例證研究

左路

【摘要】本文針對化工類專業特點，利用矩陣在線性代數知識體系中的貫穿作用，提出依賴矩陣的幾何意義建立直覺模型，構建教學框架并直指線性代數本質，讓學生在幾何直觀的形象思維中逐步培養抽象思維，為專業發展與應用建立堅實的數學基礎.

【關鍵詞】化工類;教學研究;線性代數課程;幾何直觀模型

作為以實驗為核心的科學，化學從兩方面需要數學的參與.其一，現代化學的微觀發展，即探討物質的組成、構造及反應，所采用的語言越來越數學化.其二，化學的實際應用要求更嚴格的定量計算工具，其中分析化學及化工問題都需要更精確的計算工作，自然涉及更多的應用數學.簡言之，化學學科需要數學從符號層面和技術層面的支持，需要從本科學習階段開始掌握靈活運用數學工具的能力.線性代數課程作為化工類專業的學科大類數學基礎課程之一，定位于以線性空間、線性變換為核心，旨在培養學生的抽象思維能力，以及讓學生具備運用線性代數知識進行數值計算的能力.但是如何準確建立數學模型，選擇計算方案，解釋計算結果，并產生方法的創新，需要研究者對線性代數有更多的本質認識，僅依賴抽象思維的培養不能完全勝任.那么何為抽象思維？抽象思維為何如此重要？如何才能培養抽象思維？從認知神經學的角度而言，抽象思維活動于左腦，對外界事物建立概念、判斷和推理，并通過分析、比較、概括等基本過程以期達到認識事物的本質特征的目的[1]，這也正是科學工作者應具備的素養.然而，線性代數的概念采用公理化結構的表達方式造就了該學科知識的高度抽象性，這個特點恰好就成為學習的第一步障礙，學生并不易直觀感受并認識線性代數的本質，在未來的工作研究過程中不能熟練自如地利用矩陣工具為研究服務.

抽象思維的培養無法做到一蹴而就.盡管人的認知過程中抽象思維擺脫了對感性材料的依賴，并非意味著基于感性的形象思維可以欠缺.如同藝術家，科學研究者的科學發現和創造需要形象思維，形象與抽象相輔相成參與著知識的獲取、累積、創新的過程.正如統計學家Ronald A.Fisher，因為具備這種非凡的形象思維，幾何直觀常常使他能夠在極短的時間內解決他人需耗費很長時間能解決的問題[2].不僅如此，興趣作為學習的第一推動力，幾何直覺的存在還可以促進興趣的驅動力.當經過初等代數訓練的學生一步跨入抽象的高等代數領域，如何才能激發學生的興趣，這個跨度需要教師的輔助.教師的輔助需要教師對知識的累積規律過程、學科的本質特征有深入的了解，并建立適宜的教學方式.如，歐拉在《無窮分析引論》中將直觀性顯著的指數函數先于對數函數介紹[3]，盡管后者略早于前者產生，但這一順序符合人類的認知習慣，因而沿用至今.早期的數學家們均相信直覺，笛卡爾認為直覺是將知性上升為知識的途徑之一，布勞維將數學思維視為智力構造的過程，它建立于基本的數學直覺之上[4].于是，我們嘗試在線性代數課程的教學過程中實施循序漸進的方式培養學生的抽象思維，從建立矩陣的幾何直覺模型開始，串起線性代數的知識框架體系，采取幾何直觀模型解釋矩陣的各種表達與運算，貫穿起線性空間和線性變換兩大核心，線性代數的本質不過如此.如果用金字塔式結構構建出線性代數學習過程，則幾何直觀構成底層的堅實基礎，中間層是數值計算能力的培養，最頂層是應用能力的獲得.本文以二維向量空間為例，采用層層遞進的順序，從三個層面在教學中以矩陣串聯起整個課程框架.

四、結?語

從以上三個方面將矩陣與空間、映射貫穿起來，實現向量空間過渡至線性空間，達到知樹識森林，從具體到抽象.學生未來需要成為知識的探索者和發明者，僅僅作為知識的接受者是無法承載這一重任的.教師需不懈努力，探索更加符合學習規律的教學模式，以矩陣及其運算為主，以線性空間和線性變換為根，以幾何直觀為輔，從而使學生知曉線性代數知識體系的構建方式，獲取自學能力，為未來研究、工作夯實計算基礎.

【參考文獻】

[1]王志良.腦與認知科學概論[M].北京：北京郵電大學出版社，2011.

[2]Salsburg D.女士品茶——20世紀統計怎樣變革了科學[M].邱東，譯.北京：中國統計出版社，2004.

[3]Euler L.無窮分析引論[M].張延倫，譯.哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2013.

[4]Klein M.數學：確定性的喪失[M].李宏魁，譯.長沙：湖南科學技術出版社，2001.

[5]吳贛昌.線性代數：第5版[M].北京：中國人民大學出版社，2017.