角接觸球軸承的優化設計算法

摘要：以角接觸球軸承的優化設計為例，運用網格法和懲罰函數法進行對比設計計算。兩種方法的計算結果基本相同，但應用網格法計算，速度快、計算數據更接近真實情況；應有懲罰函數法計算，耗時大、且需要對計算結果進行調整以符合軸承設計標準。滾動軸承的優化設計問題屬于具有離散變量的小型約束優化問題，針對這一具體問題，網格法較懲罰函數可操作性、實用性更強。

關鍵詞：角接觸球軸承；優化設計；網格法；懲罰函數法

引言

我國采用優化設計方法設計滾動軸承已有近百年的歷史，且隨著計算機的普及應用，利用其高速計算能力對軸承的優化設計算法進行編程計算也早已成為可能。本文將重點介紹一下優化算法在滾動軸承優化設計中的應用。滾動軸承的優化設計是一個約束優化設計問題，對此問題有兩種解法，直接法或轉化為無約束問題求解。網格法是一種直接解法，在文獻[1]中介紹了一種間接解法，懲罰函數法。一般認為，懲罰函數法較網格法容易理解，且易于編程實現，很多書籍對其都有大量說明，但很少有文獻資料涉及網格法，但是通過計算發現，在滾動軸承優化設計問題上，網格法較懲罰函數法更加合適，現將兩種情況對比介紹如下。

1 滾動軸承優化設計過程

滾動軸承產品設計的正確與否對其性能、壽命和可靠性有著根本的影響，進而也影響到主機的工作質量。設計人員的職責是從所有可能的候選方案中選取最優者。通用軸承的設計計算流程[2]（以角接觸球軸承為例）。由于對通用軸承來說，第1層設計參數已經標準化，而第3、4層設計參數的確定又依賴于第2層設計參數，因此本文所進行的優化設計重點是第2層設計參數，即滾動軸承主參數的設計。

滾動軸承優化設計中，滾動體直徑、數量、公稱接觸角、滾動體中心圓直徑等均可作為設計變量。滾動軸承的優化設計屬于約束優化問題的范疇。同樣，根據具體的工作要求，可以對滾動軸承提出不同的目標函數。若軸承工作條件正常，主要的破壞方式是接觸疲勞，則對于給定輪廓尺寸的軸承，應在最大的動負荷情況下進行優化設計；其他類型和工作場合的軸承還要求磨損壽命最長、摩擦力矩最低、旋滾比最小等因素。滾動軸承的優化設計可以是單目標的，也可以是多目標的。以角接觸球軸承為例，說明網格法和懲罰函數法在通用軸承設計中的應用，為保證軸承地壽命最長，應把目標函數取為角接觸球軸承的最大動負荷。

對于球軸承來說，其最大動載荷計Cr的計算式[3]如下所示：

其中bm為修正系數，i為球之列數，α為公稱接觸角。對雙列角接觸球軸承來說， ，因此，角接觸球軸承的優化設計問題的數學模型為：

KW和βmax的取值與角接觸球軸承的直徑系列有關，fc的取值與Dw和 Dwp有關，均可查表取得，因此，優化設計變量為3個：Dw、Dwp和Z。以角接觸球軸承702/06，外形尺寸D=64mm，d=30mm，B=16mm，公稱接觸角a=25°為例進行優化計算，此時查表得Kwmin=0.34、Kwmax=0.41、βmax=194°。

2 網格法

網格法是解非線性規劃的一種方法，事實上它是一種窮舉法。其基本原理[4]是：首先把設計區間劃分為網格，逐一計算各網格結點的目標函數值，并作可行性驗證，通過比較目標函數值的大小找出可行的最好點，然后再以該點周圍結點為界構成新的設計區間，將網格加密尋找可行的最優點。

對于702/06角接觸球軸承，可以計算出約束條件（1）和（2）的約束范圍，分別為：8.68mm≤Dw≤10.92mm，48mm≤Dwp≤57.42mm。將約束條件（1）和（2）作為邊界條件，對其所構成的區域進行網格劃分，以設計變量Dw和Dwp組成坐標系，在其標準值相交處形成結點，共形成20組結點。分別驗證這20組結點是否滿足約束條件（3），如果滿足，則進行目標函數值的計算，并比較各目標函數值的大小，記錄最大值；如不滿足，則放棄該組結點。計算結果最優結點為Dw=9.58mm、Dwp=48mm、Z=8個，此時Cr=19768N。

3 懲罰函數法

懲罰函數法是一種間接求解約束問題的方法，將約束問題轉化為無約束問題，然后調用無約束優化方法求解。采用懲罰函數法對角接觸球軸承進行優化計算時，鋼球數量Z、鋼球直徑Dw及軸承中心距Dwp等均作為連續變量求解，再采用湊整法來求得符合軸承設計標準的最優解。

本例選用懲罰函數內點法，此時角接觸球軸承的數學模型需要略作改變如下：

角接觸球軸承優化計算原函數中的fc取值與Dw和Dwp有關，可查表取得；bm取值為常數，可暫時忽略。

利用湊整法求得最優解為x1=Z=8個、x2=Dw=9.58mm、x3=Dwp=48mm，計算出最大額定動負荷Cr=19768N。計算結果與網格法計算結果相同。

4 結論

本文以角接觸球軸承的優化設計為例，運用兩種優化算法進行計算，計算結果相同，但網格法簡便易行、結果精確；而懲罰函數法需要構造新的函數，計算復雜，因此對于角接觸球軸承優化設計這種變量較少的優化問題，網格法較懲罰函數便捷。

參考文獻：

[1]萬長森.滾動軸承的分析方法[M].北京：機械工業出版社，1987.

[2]吳飛.尋求合理的軸承設計參數——淺析滾動軸承的優化設計[J].現代零部件，2007（2）：76-79.

[3]岡本純三（日）著，黃志強譯，羅繼偉校.球軸承的設計計算[M].北京：機械工業出版社，2003.

[4]任中全，寇子明，趙燦.現代機械設計理論與方法[M].北京：煤炭工業出版社，2003.

作者簡介：張丹丹（1986-）女，漢族，山東交通技師學院