微積分基本公式在四維空間中的推廣

常培林

摘 要：Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本N-L公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，在曲面上表現為通常意義上的Stokes公式。所以思考由低維向高維公式的轉換思想以及一般的Stokes公式的證明，實現Stokes公式在四維空間上的推廣，并將所得結果和一般的Stokes公式進行對比，驗證其正確性。

關鍵詞：Stokes公式；Green公式；Gauss公式；四維空間推廣

1 前言

N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式這個公式在數學分析中有著非常重要的地位，縱觀這幾個公式之間有著共同的特點：

（1）他們基本上是把從區間或區域上的計算轉化到邊界上計算，如Green公式是從平面區域轉化到邊界曲線L上的；

（2）他們分別是從一維空間到二維空間再到三維空間上的轉換.

根據以上敘述，我們發揮發散性思維：是否可以推廣到思維空間呢？以下將對此問題進行研究。

2 預備知識

2.1 N-L基本公式

設 是 上連續，設F是 在 上的一個原函數，則：

（2.1）

公式（2.1）就稱之為N-L（牛頓-萊布尼茲）公式。

2.2 Green公式

設D為平面上由光滑或分段光滑的簡單閉曲線所圍的單連通區域。如果函數 ， 在D上具有連續偏導數，那么：

（2.2）

公式（2.2）即成為Green公式，其中L+表示沿D的邊界的正方向。

2.3 Gauss公式

設 是 中由光滑或分片光滑的封閉曲面 所圍成的二維單連通封閉區域， ， 與 在 上具有連續偏導數，

則 ，即：

（2.3）

公式（2.3）就稱之為Gauss公式，其中 表示有向封閉曲面 的外側。

2.4 Stokes公式

設S為光滑曲面或分片光滑的雙側曲面，其邊界為光滑或分段光滑閉曲線 ，若 ， 與 在S及其邊界 上具有連續偏導數，則有：

（2.4）

公式（2.4）就是Stokes公式，其中 取S的誘導定向。

3 三維空間內的Stokes公式的推廣

3.1 Stokes公式與Green公式

Stokes公式是Green公式的推廣. Green公式表達了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分間的關系， 而Stokes 公式則把曲面 上的曲面積分與沿著 的邊界曲線的曲線積分聯系起來. 下面的公式就敘述這種關系.

定理3.1.1：設 為分段光滑的空間有向閉曲線， 是以 為邊界的分片光滑的有向曲面， 的正向與 的側符合右手規則， 函數 ，

， 在包含曲面 在內的一個空間區域內具有一階連續偏導數， 則有公式

上式叫做Stokes公式.

3.2 Stokes公式與N-L公式

定積分的N-L（萊布尼茲）公式： ，如果把 看出是0-形式 在區間 的誘導定向邊界 上的積分，則N-L公式也可以寫成 。所以說N-L是Stokes公式的一維形式。

3.3 Stokes公式與Gauss公式

假設 是 中的分片光滑曲面， 是 的邊界，記：

那么

也就是說Gauss公式有 ，也就是說Gauss公式是Stokes的三維推廣模型。

4 Stokes的四維空間推廣

根據以上三維空間內的Stokes公式的推廣，在此將其推廣到四維空間中，首先假設：

設K是 中由光滑或分片光滑的封閉曲面 K所圍成的三維單連通封閉區域， ， ， 與 在K上具有連續偏導數，則：

（4.1）

其中 表示有向封閉曲面 的外側。

證明：記：

那么

也就是說四維公式有 ，也就是說四維公式是Stokes的四維推廣模型。

結語

綜上所述，在一維的直線上，Stokes公式就是N-L公式；在平面上，Stokes公式就是Green 公式；在空間的情形；Stokes 就是Gauss 公式，Stokes公式是一般的積分公式，Stokes公式的一維形式上就是微積分基本公式，二維情形上則是Green公式，三維空間上是Gauss公式，此推論在四維空間上同樣適用。

限于本人水平有限，文中還有很多地方值得深思和延伸，希望在今后的研究中能夠加入深入。

參考文獻

[1] 褚衍彪. N-L公式、Green公式、Gauss公式、Stokes公式縱橫談[J]. 科教文匯旬刊， 2007（11）：184-185.

[2] 宋來忠. Gauss映照非退化的曲面及利用Stokes公式所得的一些整體性質[J]. 湖北科技學院學報， 1987（s1）：23-28.

[3] 劉紅玉， LIUHong-yu. Stokes公式及其在高維空間中的推廣[J]. 廣東技術師范學院學報， 2015， 36（2）：6-8.