求不定積分的分部積分法

楊付貴

摘 要：分部積分法是不定積分的一種重要方法之一，它對某一類積分有特效，其他方法不行。分部積分法也是不定積分中的一個難點。在教學中，如何采用簡單可行的方法，使學生們正確的理解"反·對·冪·三·指"的含義，準確的確定出哪個函數作為u和哪個函數和dx湊成dv是重中之重。然后，通過代公式，再微出來，最后積出來求出不定積分。

關鍵詞：分部積分；不定積分；微積分

分部積分法是不定積分學中的一類重要的、基本的計算積分的方法。也是不定積分中的一個難點。學生們在學習（或復習）不定積分的分部積分法時，對其使用并不熟練，特別是對于文科的學生，不知什么時候用不定積分的直接方法，什么時候用不定積分的換元法，什么時候用分部積分法，用分部積分法解題的技巧表現得更生硬。下面我結合自己三十多年講授高等數學的體會，談一下分部積分法的使用要點與技巧。僅供大學生學習不定積分的分部積分法時參考。

一、分部積分法的方法與步驟

由于積分與微分互為逆運算。所以分部積分法是由微分的乘法法則和微積分基本定理推導而來的。它的主要原理是將不易直接求結果的積分形式，轉化為等價的易求出結果的積分形式的。即

其中積分 比

易求。

由此不難得到分部積分的步驟：

第一步： 湊dv；第二步：代公式；第三步：微出來；第四步：積出來。

其中第一步湊dv是關鍵，如果湊的不合適，就有可能使得后面的積分 比前面的積分 更復雜，更難積分，那么究竟如何湊dv呢？對于這個問題，我們下面進行詳細的討論，而第三步也很重要，否則，作著作著又作回去了。

二、使用分部積分法的基本條件

什么時候用分部積分法呢？一般地說，對于被積函數是冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數這幾類初等函數中的某兩類函數乘積形式時，應使用分部積分法，分部積分法對這一類積分有特效，其他方法不行。當然，分部積分法對于其他的一些積分有時也會起到立竿見影的效果。比如：

例1：已知 的一個原函數是 ，求 。

解：

所以

例2：求

解：

所以

三、分部積分法湊dv的原則

一般地，從要求的積分式中將 湊成 是容易的，但通常有原則可依，也就是說dv湊的不好，不僅不會使右邊第二項 積分 變得精簡，反而可能會更麻煩。分部積分法最關鍵之處就在于準確地選取 ，因為一旦 確定，則公式中右邊第二項積分 中的 也隨之確定，但為了使式子得到精簡，如何選取 則要依 的復雜程度決定，也就是說，選取的 的原則，一是易求，二是一定要使公式中右邊第二項積分

的形式更簡單或更有利于求得積分。依照經驗，常用的分部積分的根據組成被積函數的基本函數類型，將分部積分的湊dv順序整理為口訣：“反對冪三指”。分別代指五類基本函數：反三角函數、對數函數、冪函數、三角函數、指數函數的積分。也就是說在分部積分中，我們湊dv，可以先確定u，剩下的便可湊成dv，而確定u有以下的優先規律：

對數函數、反三角函數 →多項式（或冪）函數 →指數函數與三角函數（主要指sinkx和coskx）

具體地說，我們是按照以下步驟先確定u的：

（1）先看被積函數中是否含有對數函數、反三角函數中的一種，若有的話就確定做u。（須指出：在我們現行的高等數學教課書上，關于計算積分題目中的被積函數，不可能有“對數函數×反三角函數”的形式）。

（2）如果被積函數中不含有上述兩種函數中的任一種，再看有沒有多項式函數（或冪函數），若有的話確定為u。

（3）如果被積函數中未含有上述三種函數，那么，一定是三角函數與指數函數乘積的形式（若不然，沒必要使用分部積分法！）。這時，三角函數與指數函數都可以確定為u。

四、計算分部積分時的三種可能情景

那些相對簡單點的題目，經過使用一次分部積分即可解決問題。如：

∫xcosxdx=∫xd（sinx）=xsinx-∫sinxdx=xsinx+cosx+C。

可是，更多的題目僅使用一次是不夠的，往往需要使用兩次或多次的分部積分，甚至還需配合其它手法才能解決問題。一般可有以下幾種情景：

1. 多次使用分部積分

例如： ， 對該式右端第二項

積分，再按此模式進行分部積分，有

， 所以，

2. 解一個關于原積分式的方程。

利用有些函數經一次或二次求微分后不變的性質，通過一次或二次分部積分后，使等式右端再次產生 ，只要它的系數不為1，就

可以利用解方程的方法求出原積分。

比如：被積函數是指數函數與三角函數（sinkx或coskx）的乘積形式，那么計算該題需要兩次分部積分，并且經過兩次分部積分后會得到一個關于原積分式的方程。這時只需解這個方程即可.在這里需要注意的是，第二次分部積分時選取的u要與第一次選取的u為同一類函數。

所以，

3. 對某些形如 的不定積分，利用分部積分可降低

的次數，求得遞推公式，然后再次利用遞推公式，求出

例如，對于積分 ， 當 時，

當 時，

而該式的第二項又可變換為]

將其帶入上式，則得到

故 最后，得到統一的遞推關系式