淺談數學中的標準差在小學教育中的應用

龍鋒鋒

摘 要：教師在教育工作中，只有掌握了自己的教育對象，才能因材施教，提高教學質量。而要掌握學生情況，就必須經常了解他們各方面，分析他們的心態及存在的問題。這一切都離不開統計知識。標準差與算術平均數一樣，是一項十分重要的統計指標。對于“算術平均數”大家較為熟悉，而對“標準差”的概念和它在教育統計中的用途，諸多教師可能并不十分清楚。為此，本文著重介紹標準差在教育統計中幾個主要的用途。

關鍵詞：標準差 教育統計 用途

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：C 文章編號：1672-1578（2019）01-0170-02

1 數學中標準差的概念和意義

1.1 數學中標準差的概念

考試的原始成績屬于計量資料，通常選用算術平均數和標準差分別代表集中的趨勢和整體的離散程度。也就是說標準差是衡量離散程度的統計量 。所謂離散程度就是指數值間的波動程度。在平常應運中，我們可以用方差、標準差等統計量來衡量離散程度，而標準差是最為完善和科學的。盡管結果較易受兩端極值的影響，但由于它能用代數方法運算且受到抽樣變動的影響較小，所以標準差反映的離散程度相對于算術平均數還是比較準確的。

標準差也被稱為標準偏差，即方差的算術平方根。簡單地說，標準差是一組數值的離散程度。一個較大的標準差，代表大部分的數值間的離散程度或數值和平均值之間的差異較大；反之，代表大部分的數值間的離散程度或數值較接近平均值。

標準差是總體各單位標志值與其算術平均數的離差平方的算術平均數的平方根，也稱均方差。

例如：兩組數的集合{2，7，9，14}和{6，7，9，10}其平均值都是8，但第二個集合相較于第一個集合具有較小的標準差。

例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數為95、85、75、65、55、45，B組的分數為73、72、71、69、68、67。通過計算可知A、B組的平均數都是70，但A組的標準差為18.71分，B組的標準差為2.37分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。

由于方差是數據的平方，與檢測值本身相差太大，人們難以直觀的衡量，所以常用方差開根號換算回來，這就是標準差。

1.2 數學中標準差的意義

標準差是衡量數據離散程度的最好標準。值越大，說明離散程度大，反之，說明數據比較集中，它是統計分析中最常用的差異量數。它具有一個良好的差異量數應具備的條件：準確度高；有公式嚴密確定；容易計算；適合代數運算；抽樣變動影響小。

2 數學中標準差在小學教育中的應用

2.1利用數學中標準差對小學學生學習的穩定性進行評估

例如：小明數學10次測驗考試成績如下：

50 60 65 88 82 95 70 75 93 77

平均數： 75.5（分） 標準差：13.85（分）

通過計算結果可知：該學生的平均分是75.5分，反映該學生學習成績的一個集中水平。標準差13.85分，反映了該同學每次考試與一般水平平均相差13.85分，說明該生成績不是很穩定。那么該同學就可以認真分析一下導致成績不穩定的原因在哪里。這樣學生不緊學會了知識，還可以將所學用于自身實踐，利于提高學生的學習興趣。同時老師也可以根據標準差來分析學生學校情況的穩定性，從而關注學生的學習情況及引起學習變動的其他方面，以便更加了解學生，找出原因提高學生的學習成績。

2.2 教師利用數學中標準差可以比較不同班級學生成績的差異程度

例1：甲、乙兩班分別有10名同學，某次考試中：甲班學生平均成績80分，乙班學生的平均成績是80分，甲班學生標準差為5分，乙班學生標準差為15分。

分析：雖然甲乙兩班學生的均分都為80分，但是甲班標準差小于乙班標準差，說明甲班學生之間的學習成績都差不多，個體差異不是很大，基本接近80分；而乙班學生之間的學習成績個體差異較大，高分和低分兩級分化的情況較明顯。兩個班的平均數代表性也不同，甲班學生平均成績代表性要高于乙班平均成績代表性。上例是甲、乙兩班平均數相等，若甲、乙兩班平均數不等，比較兩班學生成績離散程度就需要計算標準差系數。

例2：2017年秋期數學期末考試甲班平均分80分，標準差5分；乙班平均分85分，標準差10分。

甲班離散系數： 6.25% 乙班離散系數； 11.76%

計算結果表明：雖然乙班平均成績比甲班平均成績高，但是乙班離散系數大于甲班離散系數，則乙班學生平均成績代表性小于甲班學生平均成績代表性。乙班學生與學生之間成績差異較大，高低分兩級分化較嚴重；甲班學生與學生之間的成績差異不大，整體學的好。如果有專科的知識競賽，學校可以從乙班學生里選，因為一般均分高，而且有學的特別好的學生存在。

通常，在學校在對教師進行量化考核時有一項就是對成績的考核，大部分學校只看重平均成績，卻忽略了平均數代表性大小的問題。應該將平均成績和標志變異指標（通常選用標準差）結合應用。

2.3 利用數學中的標準差對各小學學校成績進行評估

教育局等上級單位，有時要對各學校成績進行評估。評估的過程中不可能把所有學校的所有學生成績拿來調查分析，通常從每個學校隨機抽取部分學生的成績作為樣本來調查，這樣肯定會存在一定的抽樣誤差。所以對學校學校成績的評估除了要看平均成績，還得結合一下在每個學校進行調查時，產生的抽樣誤差，反映抽樣誤差的指標是抽樣平均誤差。

抽樣平均誤差是各個樣本指標與全及指標之間的平均離差。抽樣平均誤差實際上是各個樣本指標的標準差。

通常，全校學生所有學生的平均成績用的是以前數據代替，或正式抽樣前所進行的試驗性調查的數據來代替。

例如：教育局對A、B兩所學校學習成績進行調查，隨機從兩所學校抽取100名學生進行調查，計算得A校的學習成績均分為80分，抽樣平均誤差為7分，B校的學生學習成績為90分，抽樣平均誤差為20分。

分析：從平均成績來看，B校學生學習成績高，學習較好；從抽樣平均誤差來看B校的調查結果誤差較大一些，調查結果的準確性有所欠缺。所以不能片面的憑平均成績來評估學校的學校成績，要結合抽樣平均誤差來評估。

可見，標準差以不同的形式為我們教育統計展現自己的魅力，只是很多學生、老師并沒有意識到它的魅力所在，因而實踐應運較少。平均數它反映的是總體中各單位的標志的一般水平，是各單位標志值的一個一般水平，而標準差它是反映總體各單位的標志值之間的差異程度，可以用來衡量一般水平的代表性。二者結合應用最為科學。

2.4 數學中的標準差在教學中的應用

例1：某班40人隨機平均分成兩組，兩組學生一次考試的成績情況如下：第一組平均分90，標準差是6 ；第二組平均分是80，標準差是4，每組20人，求全班的平均成績和標準差？

解：平均分=（90×20+20×80）÷40=85；

第一組的平方和=20×62+20×902=162720；

第二組20人分數的平方和=20×42+20×802=128320；

40人分數的平方和=162720+128320=291040；

這40人的方差=（291040-40×852）÷40=2040=51；

全班標準差=■≈7.1。

例2：甲乙兩位教師所教兩個班，平均分數均為75分，但教師甲所教班的標準差為12，教師乙所教班的標準差為8，將平均分和標準差分別帶入公式求均差分數，則：教師甲的均差分數為Y=X-S=75-12=63，教師乙的均差分數為Y=X-S=75-8=67。

（X：平均數 S：標準差）

由計算結果得出結論：乙教師面向全體學生的教學成績高于（好于）甲教師。

例3：一個班級中有兩個組的學生的數學平均成績都是75

分，具體如下：甲組 60，65，70，75，80，85，90； 乙組 50，60，70，

75，80，90，100。

雖然這兩組學生的平均分相同，但甲組學生的教學成績標準差較小，程度比較齊，75分的代表性比較大；乙組學生的標準差較大，程度參差不齊，75分的代表性較小。

標準差反映教師教學成績的離散程度（班學生成績高低之間的差別程度），平均分相同時，標準差大，表明班學生成績高低懸殊大。只有不僅平均分數高，而且標準差小時，才能得到較高的均差分數。也就是說，教師要想取得較高的均差分數，除了要努力提高全班學生的學習成績，提高班平均分之外，還必須認真幫助學困學生，提高他們的成績，從而降低標準差，真正達到面向全體學生的教學效果。

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