多場耦合多方向振動俘能器建模及響應分析*

張旭輝， 吳中華， 賴正鵬， 譚厚志， 樊紅衛

(西安科技大學機械工程學院 西安, 710054)

引 言

壓電式振動俘能器的設計需要充分利用系統固有頻率與環境振動頻率的相互匹配以達到性能最優。大多數環境激勵表現出隨機性[1]、寬頻帶及非周期性等特點，且伴有噪聲[2]，使窄帶線性諧振系統收集方式在實際工程中俘能效果不理想[3]。多場耦合振動俘能器利用力-電-磁多物理場耦合來收集環境振動能量，具有較寬的響應頻帶和廣泛的適應能力。近年來基于多場耦合機理構建高效振動俘能器成為國內外的研究熱點[4]。

振動俘能器的性能研究一般是通過建立系統的機電耦合模型來確定系統能量轉換關系。常用的建模方法包括集中參數法和分布式參數法[5]。文獻[6]建立了雙穩態振動俘能器等效集中參數模型，得到了能量采集效率與外界激勵的變化關系。陳定方等[7]建立了振動俘能器分布式參數模型，分析了簡諧激勵下壓電能量收集器動力學方程，獲得了結構末端質量塊質量、結構尺寸對輸出能量的影響規律。Erturk[8]建立了對稱和非對稱壓電層合板懸臂式壓電俘能器的分布式參數模型，得到了簡諧激勵下穩態響應結果。集中參數法建模雖能便捷地建立整體模型轉換關系，但局限于單一振動模式，缺少耦合系統某些細節因素的影響關系，會造成系統動態響應誤差偏大。分布式參數法建模能有效得到系統具體結構參數的影響關系，為振動俘能器參數優化提供理論依據。

筆者建立了非線性磁振子模型，通過Taylor級數展開處理磁力非線性項，導出磁鐵間距與磁力間的相互變化規律。在此基礎上，利用廣義Hamilton原理建立系統分布式機電耦合模型，得到系統橫向自由振動和縱向自由振動下的非線性動力學方程，通過對動力學方程數值求解，得到不同初始條件下系統的響應特性和輸出性能，為低頻、低幅振動能量收集裝置的設計及開發提供理論依據。

1 俘能器非線性動力學建模

筆者研究的多場耦合多方向振動俘能器由4個線形-拱形組合梁、永磁鐵質量塊和可調磁鐵組成，如圖1所示。線形-拱形組合梁以金屬梁為基層，其表面貼有壓電換能元件，4個組合梁拱形端分別連接永磁鐵質量塊四個面，線形端固定在外殼上。外殼上下表面通過調節螺紋可調整磁鐵間距。其中：u為系統縱向激勵方向；w為系統橫向激勵方向。

圖1 多場耦合多方向壓電俘能器振動模型Fig.1 3D model and prototype of multi-field coupled multi-direction piezoelectric energy harvester

1.1 分布式參數模型建立

利用廣義Hamilton變分原理[9]建立多場耦合多方向振動俘能器分布式參數模型

(1)

其中：δT*為系統動能的變分；δW*為系統勢能的變分；δWnc為系統外力虛功的變分；δUm為系統磁力勢能的變分。

由于橫、縱向磁力模型不同，且為系統主要非線性項，故下節單獨進行建模分析。俘能器結構為4個相同的線形-拱形組合懸臂梁固定在中心質量塊上，假設系統永磁鐵質量塊不發生橫向偏移，此時系統相當于一個不發生橫向偏移的線形-拱形組合懸臂梁縱向振動，如圖2所示。

圖2 線形-拱形組合懸臂梁示意圖Fig.2 Schematic diagram of linear arched composite cantilever beam

系統動能T*為

(2)

系統勢能W*為

(3)

系統外力虛功Wnc為

(4)

1.2 系統振動磁力模型建立

大多數非線性振動俘能器建模中磁力模型均引入一個三次非線性項作為系統磁力輸入[10]，但是在系統振動過程中，永磁鐵之間作用面積及相對角度均會發生較大變化，而磁鐵之間的磁力是系統的主要非線性項，因此建立非線性磁力模型是建立精確的整體系統模型必不可少的內容[11]。選用兩個圓柱體磁鐵相互作用，如圖3所示，可等效為一個非線性彈簧，磁鐵吸引力可看做是拉伸彈簧，排斥力則為壓縮彈簧。

圖3 磁鐵磁力等效模型Fig.3 Magnetic equivalent model of magnet

磁鐵之間相互作用力Fmd[12]可表示為

(5)

其中：Br為磁鐵磁通密度；Am為磁鐵相對作用面積；l為磁鐵長度；Rm為磁鐵半徑；d為磁鐵間距；μ0為真空磁導率。

如圖4所示，使用圓柱形磁鐵分別粘貼在中心質量塊以及外殼上下內壁，為增大系統輸出及對低頻小幅值振動響應效率，磁鐵間的相互作用選為吸力作用。為簡化磁力計算過程，假設橫向振動時磁鐵不會偏轉，且上下相對距離不發生改變，uL,t為縱向振動中心磁鐵位移，wL,t為橫向振動中心磁鐵位移。

圖4 非線性磁力模型Fig.4 Nonlinear magnetic model

縱向振動磁力Fmd為

(6)

磁力勢能變分可表示為

(7)

(8)

δwL,t

(9)

1.3 動力學方程的建立

由材料力學[13]可知，組合懸臂梁應力T1為

(10)

根據壓電材料能量轉換方式可知，選擇第2類邊界條件(機械夾緊、電學短路)，取應變S1和電場強度E3為自變量，應力T1和電位移D3為因變量，則系統壓電方程為

(11)

(12)

通過Rayleigh-Ritz法將梁的振動相對位移uX,t離散化后[14]，由于俘能器結構為組合懸臂梁結構，其長度與厚度之比較大，可近似為歐拉伯努利梁，實際振動過程中，振動形式主要表現為一階振型。故僅考慮組合梁的一階模態變形，根據壓電元件恒定電場假設及Euler-Bernoulli梁理論可得

uX,t=ψ1rXrt

(13)

(14)

(15)

其中：ψ1vY為縱向振動電勢分布函數；vt為廣義電壓模態函數；ψ1rX為組合懸臂梁縱向振動第1階模態振型函數；rt為廣義模態坐標。

將式(10)～(15)代入式(2)～(4)可得

(16)

(17)

(18)

將式(13)代入式(7)，在r=0處泰勒展開有

K1r+K2r3+or5δr

(19)

其中

(20)

(21)

設系統基礎激勵為yt=y0sinω0t,將式(16)～(19)代入式(1)，可得動力學方程

(22)

θr+Cpv+q=0

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

將式(24)代入式(22)和式(23)，可得

?u=-ρsinΩt

(29)

(30)

同理可得橫向振動動力學方程為

(31)

θ′r+Cp′v+q' = 0

(32)

2 多場耦合振動俘能器動態響應數值求解

2.1 一階模態振型函數求解

由式(24)～(28)可知，動力學方程(29)，(30)中參數均為ψ1rX的函數，故數值分析前須進行一階模態振型函數求解?？蓪D1中線形-拱形組合懸臂梁分為線性直梁(AB段)和拱形曲梁(BC段)兩部分，兩者分斷面(B面)通過約束條件連接，故線性直梁(AB段)一階模態振型函數Yx[15]為

ψr1x=Yx=C1sinβx+C2cosβx+

C3sinhβx+C4coshβx

(33)

拱形曲梁(BC段)一階模態振型函數Yθ為

(34)

聯立式(33)和(34)，其中參數C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8由式(35)～(37)邊界條件確定。

固定端邊界條件為

(35)

分斷面邊界條件為

(36)

自由端邊界條件為

(37)

2.2 動力學響應計算

數值仿真中結構參數均使用實驗裝置實際尺寸參數，如表1所示。采用四五階龍格庫塔算法對無量綱動力學方程(29)和(30)進行數值模擬，得到系統有磁力和無磁力作用時，磁鐵間距d和激勵幅值ρ對系統橫、縱向輸出性能的影響結果。

表1多場耦合多方向振動俘能器結構參數

Tab.1Structureparametersofmulti-fieldcoupledmulti-directionpiezoelectricenergyharvester

類型參數類型參數線形-拱形組合梁鈹青銅質量塊鑄鐵磁鐵釹鐵硼壓電材料PVDF線形梁長度/mm15線形PVDF長度/mm10半圓拱形梁半徑/mm10拱形PVDF半徑/mm10.2半圓拱形梁弦長/mm20拱形PVDF弦長/mm10組合梁寬度/mm8PVDF寬度/mm6組合梁厚度/mm0.2PVDF厚度/mm0.2組合梁密度/(kg·m-3)8 800壓電應變常數/(10-12C·N-1)23組合梁彈性模量/Pa1.33×1011圓柱磁鐵尺寸/(mm*mm)12×2組合梁慣性矩/mm45.33×10-3剩余磁通密度/T1.25質量塊尺寸/(mm*mm*mm)15×15×15真空磁導率/(H·m-1)4π ×10-7

將仿真參數代入求解模型，可得ζ=0.1，?=0.12，?=0.051，選取激勵參數ρ=1，Ω=0.8，圖5為磁鐵不同距離時縱向振動系統的響應。對比系統無磁力、磁間距d分別為20 mm和15 mm時的響應情況可以看出，隨著磁吸力的加入和磁間距的縮小，系統振動響應加速度增大，輸出電壓增大。當d=15 mm時，系統響應加速度近似為無磁力作用的4倍，輸出電壓近似為無磁力作用的5倍。當磁間距為15 mm時，系統響應最大振幅達到13 mm。由于系統利用磁吸力作為磁鐵相互作用力，此時繼續減小間距會使得響應位移幅值大于間距值，系統無法正常工作。

圖5 磁鐵不同距離時縱向振動系統的響應Fig.5 Response at difference distance of the horizontal magnet system

圖6 不同激勵幅值時縱向振動的系統響應加速度Fig.6 Acceleration response of the vertical system at different excitation amplitude

圖6為不同激勵下縱向振動過程中系統響應加速度?？梢钥闯觯敿钫穹龃髸r，系統響應加速度、輸出電壓增大，當激勵幅值a=1 m/s2時，系統響應輸出很小，能量轉換效率很低，此時加入磁吸力作用可增大系統響應電壓輸出，約為無磁力輸入時電壓輸出的5倍，提高系統對低幅振動時的能量轉換效率。

圖7為不同磁鐵間距橫向振動過程中系統的響應。可以看出，系統在無磁力、d=20 mm和d=15 mm吸力作用時，由于磁吸力的加入，系統橫向振動響應加速度會隨著磁吸力的作用減小。由于系統橫向剛度大于縱向剛度，所以系統橫向振動響應隨著磁吸力的作用，減小的輸出量遠小于縱向振動增加的輸出電壓。

圖8為不同激勵下橫向振動過程中系統的響應加速度?？梢钥闯?，當激勵振幅增大時，系統響應加速度、輸出電壓增大。由于磁吸力在振動過程中會抑制橫向振動振幅，所以有磁力作用時增幅比例相對無磁力作用時要小。

圖8 不同激勵幅值時橫向振動系統的響應加速度Fig.8 Acceleration response of the horizontal system at different excitation amplitude

3 實 驗

3.1 實驗平臺搭建

為驗證上述理論分析結果，建立了多場耦合多方向振動俘能器性能測試平臺，如圖9所示，由上位機、振動控制器、功率放大器、激振臺、監測傳感器、待測壓電俘能器以及功率分析儀組成。測試系統通過粘貼在質量塊上的監測傳感器來獲得裝置輸出響應，通過功率分析儀獲得裝置輸出電壓。由于監測傳感器安裝固定于質量塊上端，系統加入磁吸力則采用下方單側加入。待測壓電俘能器詳細參數如表1所示。

圖9 多場耦合多方向振動俘能器性能測試平臺Fig.9 Multi-field coupled multi-direction piezoelectric energy harvester performance test platform

本實驗通過改變磁鐵距離，測試不同激勵頻率和激勵幅值條件下振動俘能器的響應加速度和響應電壓，以及系統響應頻譜特性及輸出。與理論模型的仿真解對比，從而驗證模型的正確性。最后，對系統在低頻、低幅激勵下的收集能力給出評定。

圖10 不同磁間距時系統響應頻譜特性和輸出電壓Fig.10 System response spectrum and output voltage at different magnetic spacing

3.2 實驗結果

選取縱向振動激勵幅值為2 m/s2，測得多場耦合多方向振動俘能器的響應頻譜特性和輸出電壓如圖10所示。系統在加入磁吸力作用時，不僅增大了系統諧振時的響應輸出，而且隨著磁力間距的減小，系統磁力作用增大，諧振頻率降低。

選取縱向振動激勵幅值為2 m/s2，系統諧振輸出時，測得不同磁鐵間距的振動俘能器響應加速度和輸出電壓如圖11所示。由于實驗磁吸力為單側輸入，所以響應加速度和輸出電壓為上下非對稱?？梢钥闯?，系統做周期運動，加入磁吸力作用時，系統響應加速度增大、頻率減??；磁鐵距離為15 mm時，輸出電壓峰值達到1V左右，近似為無磁力作用電壓輸出的5倍。

圖11 不同磁鐵間距時系統響應加速度和輸出電壓Fig.11 System response acceleration and output voltage at different magnet spacing

選取系統磁鐵間距為15 mm，縱向振動時，測得不同激勵幅值下振動俘能器的響應頻譜特性和輸出電壓如圖12所示。在磁吸力作用下，系統響應輸出隨著激勵幅值增加而增大，響應頻帶變寬。

圖12 不同激勵幅值時系統響應頻譜特性和輸出電壓Fig.12 System response to the spectral characteristics and output voltage at different excitation amplitudes

選取系統磁鐵間距為15 mm，縱向振動系統諧振輸出時，測得不同激勵幅值下振動俘能器的響應加速度和輸出電壓如圖13所示。隨著激勵幅值的增大，系統響應加速度增大、輸出電壓增大；激勵幅值為2 m/s2時，輸出電壓峰值達到1V左右，約為激勵幅值為1 m/s2時輸出電壓的3倍。

圖13 不同激勵幅值時系統響應加速度和輸出電壓Fig.13 System response acceleration and output voltage at different excitation amplitude

為測試壓電俘能器在小激勵幅值下的系統響應，選取縱向振動激勵幅值為0.5 m/s2，系統諧振輸出時，測得不同磁鐵間距的振動俘能器響應加速度和輸出電壓如圖14所示。可以看出，系統由于磁力輸入較小，使得小幅值振動下響應輸出低，由于理論分析中磁間距小于15 mm，系統無法正常工作。故系統應通過增加磁力輸入來增大響應輸出。

圖14 激勵幅值0.5 m/s2系統響應加速度和輸出電壓Fig.14 System response of acceleration and output voltage when the excitation amplitude is 0.5 m/s2

將俘能器永磁鐵厚度增加至兩倍，選取縱向振動磁鐵間距15 mm、激勵幅值0.5 m/s2時，測得不同磁力輸入下振動俘能器響應頻譜特性和輸出電壓如圖15所示?？梢钥闯?，當增加磁力輸入后，系統響應輸出增大，諧振頻率減小，響應頻帶變寬。

圖15 不同激勵幅值時系統響應頻譜特性和輸出電壓Fig.15 System spectral response characteristics and output voltage at different excitation amplitudes

圖16 激勵幅值0.5 m/s2系統響應加速度和輸出電壓Fig.16 System response of acceleration and output voltage when the excitation amplitude is 0.5 m/s2

選取縱向振動激勵幅值為0.5 m/s2，系統諧振輸出時測得不同磁力輸入的振動俘能器響應加速度和輸出電壓如圖16所示?？梢钥闯?，無磁力和單個磁力輸入時，系統在激勵幅值為0.5 m/s2時，響應輸出很小；增加至雙磁力輸入(近似兩倍磁力)時，系統輸出增大，響應頻率降低，響應加速度近似為無磁力輸入的6倍，此時系統輸出電壓峰值達到1.2V，為無磁力輸入的6倍，提高了能量轉換效率。

3.3 實驗誤差分析

對比發現，多場耦合多方向振動俘能器響應輸出實驗結果與理論結果存在誤差，但整體趨勢正確。通過分析，誤差來源于：a.小正振動俘能器為線形-拱形組合梁結構，在加工過程中無法保證拱形部分曲率一致性，導致模型剛度與實際剛度存在誤差，使系統輸出存在偏差；b.實驗過程中，由于振動俘能器性能測試使用接觸式測量，雖然傳感器質量小，但傳感器信號線在振動過程中對俘能器有一定影響，后續研究中考慮非接觸測量。

4 結 論

1) 在振動俘能結構中引入線形-拱形組合梁和非線性磁吸力，提高了俘能器的響應頻帶和能量轉換效率，解決了俘能器在低頻、低幅值環境激勵的響應輸出性能低等問題。

2) 提出了一種復雜結構懸臂梁建模方法，利用廣義Hamilton變分原理建立了多場耦合多方向振動俘能器的非線性動力學模型，通過數值求解得到系統在不同初始條件下的響應輸出特性。

3) 搭建了振動俘能器性能測試平臺，開展了多場耦合振動俘能器頻譜特性及響應輸出的分析實驗。當磁鐵間距減小或激勵幅值增大時，系統響應輸出增大，加入磁吸力不僅增加了系統輸出，而且降低了系統諧振頻率，拓寬了響應頻帶。當磁鐵間距為15mm、激勵幅值為0.5m/s2時，相比無磁力輸入情況，系統響應電壓提高了6倍左右，諧振頻率從18 Hz降至9.5 Hz左右，解決了振動俘能器頻帶窄、響應頻率高和輸出電壓低等問題。