壓電驅動三自由度柔順精密定位平臺研究*

2019-02-27 01:30:12東益沖蒲華燕李小毛

振動、測試與診斷 2019年1期

張泉，東益沖，任廣,2，孫翊，彭艷，蒲華燕，李小毛

(1.上海大學機電工程與自動化學院上海，200072) (2.廣州大學機械與電氣工程學院廣州，510006)

引言

精密定位技術廣泛應用于工業生產、集成電路及生物科學研究等領域，其中多自由度精密定位平臺是實現微納定位的核心技術[1-2]。柔順精密定位具有免裝配、無摩擦、無需潤滑的優點，克服了傳統傳動機構中由于鉸鏈間隙等原因引入的誤差，在壓電陶瓷等智能材料致動器的驅動下能夠實現高分辨率、高精度的納米級定位[3-4]，逐漸成為實現多自由度微納米定位的主流方式。隨著柔順鉸鏈的引入，柔順機構平臺的工作空間受限于柔順鉸鏈的彈性變形范圍。要實現大行程的納米級定位，目前存在兩種思路：a.宏微結構組合設計，先由傳統運動副驅動的宏定位平臺將柔順機構送入目標位置附近，接著由柔順機構對目標點進行微納定位補償;b.直接設計具有大行程的柔順機構。由于宏-微結構組合設計在宏運動進入微運動的過程中的非線性動力學特性、遲滯效應以及振動耦合效應造成定位精度降低[5-6]，所以具有大行程的柔順機構成為了研究熱點。

單、雙等少自由度柔順平臺一直受到眾多學者的關注。隨著制造工藝的進步，要求運動平臺能夠實現更加復雜的操作，比如極大規模集成電路的制造和封裝中，對于晶片的定位不僅需要平面內x，y方向的移動，還需要繞z軸的方位調整問題。因此，設計一種具有高精度、大行程和體積緊湊的平面三自由度柔順機構定位平臺具有理論意義和應用價值。Zhu等[7-8]基于微分運動學矢量的連續映射關系分析了全柔性三自由度柔順并聯機構和傳動三自由度并聯機構，利用Ansys軟件對兩種機構進行靜力學仿真分析，結果表明兩種結構在拓撲優化條件下具有相同的微分運動特征，且具有不同的運動矢量連續映射關系。張憲民等[9]基于視覺提出一種計算三自由度柔順平臺輸入耦合位移系數的實驗方法，實驗表明，顯微視覺測量結果和Ansys模擬仿真結果相符，為分析和設計三自由度柔順平臺提供了參考。Wang等[10]設計了一種具有對稱三級杠桿放大器的緊湊型平面三自由度柔順機構，實驗結果驗證了所提出的設計和建模方法，以及該平臺具有高剛度、大倍率、高精度圓跟蹤和高精度定位等優點。Jin等[11]在分析平面柔順并聯機構雅克比矩陣和剛度矩陣的基礎上，提出了一種適用于多自由度柔順機構的拓撲優化設計方法，通過數值算例和實驗研究，證明該方法具有復雜運動行為的最優拓撲結構的能力。馬立等[12]基于“偽剛體模型法”設計了一種由壓電陶瓷驅動、利用應變片進行檢測的平面三自由度納米定位平臺并進行了分辨率分析，證實了利用應變片來檢測3-PRR平臺運動的可行性。

筆者擬設計的平臺要求實現80 μm×80 μm的直線行程和6 μrad的轉動范圍。考慮壓電陶瓷的直線輸出特性，在所有能實現平面三自由度的機構構型中選取了3-PRR型結構，采用偽剛體模型法設計思路將每條支鏈采用半圓型柔性轉動鉸鏈和柔性直線鉸鏈代替傳統的轉動副和移動副，并在輸入端設計了柔性杠桿位移放大機構以提高平臺的工作空間。基于“偽剛體模型法”建立了柔順定位平臺的運動學模型,采用Ansys軟件對柔順并聯平臺進行了有限元分析，最后搭建了3-PRR三自由度柔順并聯平臺樣機并進行了點位實驗驗證。

1 3-PRR柔順并聯平臺的設計

3-PRR柔順并聯平臺的結構圖如圖1所示，整個平臺包含有動、靜平臺和3條運動支鏈，其中每一條支鏈的鉸鏈由移動副(P)和轉動副(R)組成，采用柔性鉸鏈代替傳統剛性鉸鏈來傳遞運動。

該平面三自由度柔順平臺中每一條支鏈的力和運動的傳遞先由壓電陶瓷輸出，經柔性杠桿位移放大機構將該位移放大后輸入到3-PRR柔順并聯機構中，最終由動平臺實現三自由度的定位輸出。

圖1 三自由度柔順并聯機構平臺Fig.1 The 3-DOFs compliant Positioning stage

3-PRR柔順并聯平臺的長、寬、高整體尺寸為230 mm×220 mm×12 mm。柔順定位平臺由3條在同一平面內沿著動平臺中心呈120°對稱布置的相同結構支鏈組成，且每條支鏈包括低耦合且靈敏度較好的等截面對稱柔順四桿機構、一個一級柔性杠桿位移放大機構和一根傳動連桿，其結構如圖2所示。

圖2 包含位移放大機構的3-PRR支鏈Fig.2 The sub chain of the 3-PRR platform with displacement amplification mechanism

圖3 4種基本柔性轉動鉸鏈模型Fig.3 Four typical rotary flexure hinges

1.1 柔性轉動鉸鏈設計

每條傳動支鏈中包含有柔性轉動鉸鏈和柔性直線鉸鏈，首先分別對兩種鉸鏈進行分析和選型。柔性轉動鉸鏈單元主要由其截面的形狀特性進行劃分，如圖3所示，按截面形狀可以主要劃分為半圓型、雙曲線型、橢圓型以及直角型4種不同類型。

不同的柔性鉸鏈切口輪廓形狀對柔性鉸鏈的剛度有著重要影響。選擇不同的切口輪廓形狀在相同的輸入力作用下、不同柔性鉸鏈的輸出位移作為研究對象，利用Solidworks三維軟件進行建模，4種模型柔性鉸鏈厚度且均為h=10 mm，在旋轉處的厚度為t=1 mm，鉸鏈的寬度為b=7 mm，鉸鏈垂直于轉軸的長度相等均為c=6 mm，選擇材料為304不銹鋼。將三維模型圖導入Ansys進行仿真分析，結果如圖4所示。

圖4 4種柔性轉動副鉸鏈輸出位移與輸入力的關系Fig.4 The relationship between output displacement and input force of the four typical rotary flexure hinges

可以看出，4種基本柔性轉動鉸鏈的輸入力和彈性變形量皆成線性關系，其中直角型柔性鉸鏈在相同變量的輸入力ΔF下輸出位移變量ΔS最大，橢圓型柔性鉸鏈次之，然后是半圓型柔性鉸鏈，雙曲線型柔性鉸鏈則相對變化較小。柔性鉸鏈的設計還要考慮應力集中和加工等因素。其中:直角型柔性鉸鏈轉動時會因應力集中而容易發生斷裂；橢圓型以及雙曲線型柔性鉸鏈則對加工精度的要求較高，且雙曲線型柔性鉸鏈的剛度相對較大。筆者選擇半圓型鉸鏈作為柔性轉動副，不僅能夠容易保證加工精度、具有良好的應力分布，也能達到柔度要求。

1.2 柔性直線鉸鏈設計

目前主要用四桿柔性鉸鏈和平行板移動鉸鏈實現柔性直線位移，四桿移動副要考慮交叉耦合位移現象，即當力作用于四桿機構上時，在垂直于位移輸出的方向產生位移，而對稱四桿柔性鉸鏈機構由于機構對稱，在力的作用下兩邊會產生對稱的交叉耦合位移，從而能夠相互抵消。對稱四桿柔性鉸鏈機構既能夠克服耦合誤差，又具有機構簡單、靈敏度高、線性度好及加工方便等優點，被廣泛應用到精密微位移定位平臺中。同樣，不同的切口輪廓形狀對對稱四桿柔性鉸鏈機構輸出位移的影響不一樣，按照切口輪廓劃分可分為直角型、圓弧型和倒圓角型，其中圓弧型又分為半圓型、橢圓型和雙曲線型。直角型、圓弧型以及倒圓角型數學模型如圖5所示。

不同的柔性鉸鏈切口輪廓形狀對柔性鉸鏈的輸出位移有著重要的影響，這里以不同的切口輪廓形狀時，柔性直線鉸鏈在相同作用力下的輸出位移作為研究對象。將3種模型在Solidworks環境下建模，其中每個鉸鏈在最薄處的寬度均為t1=1 mm，鉸鏈的厚度為h=10 mm，連接鉸鏈的基座寬度為b=7 mm，鉸鏈的軸向長度相等均為L=6 mm，選擇材料為304不銹鋼。再將三維模型圖導入Ansys進行仿真分析。圖6為不同切口輪廓柔性直線鉸鏈在幾組不同驅動力作用下對輸出位移的影響。

圖5 3種對稱四桿機構切口輪廓Fig.5 The three typical symmetrical four-bar mechanism

圖6 不同切口輪廓鉸鏈輸出位移與輸入力的關系Fig.6 The relationship between the output displacement and the input force of the three typical symmetrical four-bar mechanism

如圖6所示，3種不同構型的對稱四桿機構隨著輸入力的增加，其輸出位移會隨之增大，其中直角型切口輪廓柔性鉸鏈的輸出位移變化量ΔS在相同的輸入力變化量ΔF下最大，倒角型柔性鉸鏈次之，圓弧型柔性鉸鏈則相對變形有限。柔性直線鉸鏈要實現低交叉耦合位移現象的一個條件是結構上的高度對稱，該結構設計中主要考慮靈敏度和便于加工能夠保證對稱性，故采用直角型柔性直線鉸鏈，該類型鉸鏈不僅具有較高的靈敏度，而且在加工的時候能保證較高的結構對稱性。本結構在設計中采用直線型對稱四桿柔性機構作為柔性直線鉸鏈。

柔性直線鉸鏈的尺寸參數如圖5(c)所示。當存在外部載荷時，柔性直線鉸鏈會產生相應的位移變形量，根據變形量可以計算出柔性直線鉸鏈的剛度表達式[13]為

(1)

其中：E為柔性直線鉸鏈的彈性模量；h為厚度；t1為最薄處的厚度；L為鉸鏈的長度。

通過分析結構參數變化對剛度變化量的影響，得出各結構參數的變化對結構靈敏度的影響，即在相同尺寸變化量的情況下結構輸出位移變化量越大。由式(1)可得影響機構剛度的結構參數為L，h和t1。利用Matlab軟件對式(1)進行求解，得到如圖7所示的各結構參數的變化對結構剛度的影響。

圖7 結構參數對柔性移動鉸鏈剛度的影響Fig.7 The effect of the structural parameters on stiffness of the translational flexure hinge

由圖7可以看出，當柔性直線鉸鏈的最薄處t1的值一定時，長度L的變化比厚度h變化的靈敏度高，即在相同的尺寸變化量下，轉動剛度的變化幅度最大；當柔性直線鉸鏈的厚度h的值一定時，t1的變化要比長度L的變化靈敏度要高；當柔性直線鉸鏈的長度L一定時，t1的變化要比厚度h的變化靈敏度要高。所以，柔性直線鉸鏈結構參數中轉動處t1變化的靈敏度最高，長度L的變化次之，厚度h的變化靈敏度最小。

將以上分析結果作為參考，整體式平面三自由度柔順并聯機構平臺的轉動副和移動副分別采用半圓型柔性鉸鏈和直角型柔性直線鉸鏈，且在平臺的輸入端加入了柔性杠桿位移放大機構。

2 3-PRR柔順并聯平臺運動學建模

圖8 三自由度柔順機構平臺的簡圖Fig.8 The Schematic diagram of the 3-DOFs compliant mechanism platform

2.1 柔性杠桿位移放大機構逆運動學建模

圖9為柔性杠桿位移放大機構的偽剛體模型簡圖，固定坐標系為O′xy固定連接在固定平臺。θi1為BiDi與x正軸之間的夾角，i=1,2,3；θi2為x正軸與DiEi之間的夾角；θi3為EiFi與x正軸之間的夾角。

圖9 柔性杠桿位移放大機構示意圖Fig.9 The schematic diagram of the displacement amplification mechanism with flexure hinges

設壓電陶瓷驅動器的輸入位移為ρi，由位移放大機構放大后在點Gi的輸出位移為di。

在O′xy坐標系下，由柔性杠桿位移放大機構閉環約束方程可得

由圖9與式(2)可得

(4)

由圖9與式(3)可得

(5)

由于每個柔性鉸鏈的角度變化量很小，根據三角函數關系可以看作sinΔθi～Δθi,cosΔθi～1,則式(4)可以寫為

盡管證明公式不是好的問題，但還是花時間讓學生證明，這是回避不了的，其中①②求角的正弦和余弦的證明方法，是為后面的探究做準備，這種準備的功效在思路6上得以體現，可以說，沒有這個準備，學生不可能想到思路6，而沒有思路6，前面的準備也失去意義．教學中首先要順應學生的思維習慣，幫助學生學會思考，同時還要不斷發展學生的思維，用新的方法、新的思想豐富學生的思維，促進學生不斷更新、完善自己的認知結構．思路6就是基于這種考慮的產物．

(6)

式(5)可以寫為

(7)

由式(6)與式(7)得到θi1,θi2,θi3的角度變化量為

(8)

將式(8)帶入式(7)，得到壓電陶瓷驅動器的放大后的輸出位移di為

(9)

由式(9)可以看出，柔性杠桿位移放大機構的輸出位移隨著壓電陶瓷的輸出增大程線性增大，并且位移放大機構中的桿L2+L3與L2的比值是影響放大倍數的關鍵因素。

2.2 3-PRR并聯機構運動學逆解分析

3-PRR柔順并聯平臺的位姿逆解分析，即通過末端執行器的輸出位移u=[xp,yp,φp]T來求解輸入位移d=[d1,d2,d3]T的過程。平面三自由度柔順并聯機構具有分別沿x和y方向的移動及繞z軸轉動3個自由度。壓電陶瓷驅動器的輸入位移ρ經位移放大機構放大以后在移動副Gi處作用于3-PRR平面并聯機構，如圖10所示。

圖10 3-PRR柔順并聯機構偽剛體模型Fig.10 The Pseudo-rigid body model of the 3-PRR compliant mechanism platform

圖中：xOy為靜坐標系，靜坐標系原點O位于整個平臺的中心處;x′Py′為固定于動平臺中心的動坐標系，動平臺的頂點為3個鉸接點J1,J2,J3;Hi和Ji分別代表相應的轉動關節；di為每個壓電陶瓷驅動器的輸入位移ρi由柔性杠桿位移放大機構放大后的輸出位移，與x正軸的夾角為αi;βi為x正軸與剛性連桿HiJi的夾角;φi為x正軸與剛性連桿JiP的夾角;φP為動平臺繞z軸的轉動角。

基于偽剛體模型法，由3-PRR柔順并聯機構閉鏈約束可得約束方程為

lOP+lPJi=lOGi+lGiHi+lHiJi

(10)

由圖10與式(10)可得

(11)

平臺動、靜坐標系在初始位置重合，P點的三自由度位置坐標用向量形式記為u。對式(11)進行數學整理，中間變量βi可得到在工作空間內的任意位姿u下3個壓電陶瓷驅動器的位置逆解為

(12)

其中

(13)

根據式(12)可以看出，對于動平臺任意一點的輸出u=[xp,yp,φp]T，原則上每一條支鏈都有兩組可能的解，這樣總共會有8組解。最終的取值還要根據壓電陶瓷驅動器剛開始的位置和運動的連續性來選擇符合條件要求的解。根據機構的結構特點，輸入逆解取

(14)

2.3 3-PRR并聯機構運動學正解分析

對3-PRR柔順并聯機構運動學正解的求解，即根據輸入位移d=[d1,d2,d3]T求解末端執行器的輸出位移u=[xp,yp,φp]T的過程。

由式(11)中兩個式子消去中間變量βi可得

(15)

將i=1,2,3代入式(15)分別得到

(16)

(17)

(18)

將式(16)，(17)和(18)兩兩相減，得到關于xp和yp的關系為

(19)

其中

(20)

將式(19)代入式(15)，得到關于包含轉動角度φp的關系式為

(21)

根據上述多項方程式可以求得6個φp的值，即對應每一組輸入則有6種位姿，此時需要根據機構的結構布置、初始運動條件及輸入的情況判斷出符合實際情況的一組運動學正解。

2.4 三自由度柔順并聯機構的雅克比矩陣

(22)

(23)

其中

(24)

3-PRR柔順并聯機構由三條支鏈構成，該機構的雅克比方程的矩陣形式可以寫為

(25)

由式(9)可以得到

(26)

將式(26)帶入式(25)，得到整個三自由度柔順并聯機構的速度雅克比矩陣和加速度雅克比矩陣。

(27)

3 三自由度柔順機構有限元仿真分析

采用Ansys軟件對3-PRR柔順并聯平臺進行有限元分析。根據柔性杠桿位移放大機構放大倍數關系式(9)和3-PRR柔順并聯機構的運動學正解式(16)和式(18)，得到關于整個三自由度平面柔順并聯機構的輸入ρ=[ρ1,ρ2,ρ3]T與位姿輸出u=[xp,yp,φp]T的關系，再通過Ansys仿真軟件在相同壓電陶瓷輸入條件下進行有限元仿真。

壓電陶瓷的行程為0～65 μm，圖11和圖12為當3個壓電陶瓷的輸出位移分別為40，20和10 μm時，柔順機構的變形圖以及動平臺中心分別沿x正負方向和y正負方向的位移。

圖11 柔順機構路徑x方向位移Fig.11 The displacement along x axis of the compliant mechanism

圖12 柔順機構路徑y方向位移Fig.12 The displacement along y axis of compliant mechanism

由于無法在Ansys/Workbench中直接表示出柔順機構動平臺中心轉角的大小，因此通過建立路徑來標記相關點的位移變化，以推導出動平臺中心的轉角大小。該路徑在動平臺表面，起點在動平臺中心，長度為l=10 mm，其指向與靜坐標的y正軸相同。該參考路徑的起點位置為(0,0,12)如圖11中的點1，終點位置為(0,10,12)如圖11中的點2。動平臺中心點P的轉動角度可以通過以下公式計算獲得。

(28)

其中：Δx1,Δx2分別為標定路徑起點和終點在x軸方向的位移變化；l為標定路徑的長度。

4 三自由度柔順機構性能測試

根據柔順并聯機構的尺寸參數加工三自由度定位平臺，并搭建了平臺的測試實驗系統，如圖13所示。平面三自由度柔順并聯機構硬件裝置由計算機、3個閉環封裝式壓電陶瓷(PSt150/7/80 VS12)、模塊化壓電控制器(E01.C3)、激光多普勒干涉儀(MCV-5005S)、隔振平臺及并聯機構樣機等組成。

圖13 平面三自由度柔順并聯機構硬件組成圖Fig.13 The experimental setup of the 3-DOFs compliant mechanism

在實驗過程中，每個壓電陶瓷的位移由芯明天科技有限公司E01系列自帶的PID控制器進行控制。壓電陶瓷驅動器配有位置傳感器，可以實現自身的閉環控制。對3-PRR柔順并聯平臺進行點位控制實驗，通過激光干涉儀對三自由度柔順機構動平臺中心點P在不同壓電陶瓷輸入位移下的x,y方向輸出位移，然后基于x,y的值估算得到平臺相應的轉動角φp的值[12]。表1為實驗測量結果、有限元仿真分析結果與理論計算結果的對比。

可以看到,仿真分析結果相對于實驗測量結果在x方向的最大相對誤差為10.12%，在y方向的最大相對誤差為6.82%，在φp偏轉角的最大相對誤差為6.43%。理論計算結果相對于實驗測量結果在x方向的最大相對誤差為10.81%，在y方向的最大相對誤差為9.66%，在φp偏轉角的最大誤差為9.79%。上述誤差均在可接受的范圍內，證明了運動學模型理論分析的正確性，為此類柔性并聯平臺采用偽剛體模型法進行運動分析提供了思路。在未來的工作中將進一步采用實驗數據對運動學模型進行參數標定，以提高運動定位精度。